數(shù)列與不等式結(jié)合典型題

數(shù)列與不等式結(jié)合典型題1.數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，滿足，.數(shù)列滿足〔Ⅰ〕求數(shù)列、的通項(xiàng)；〔Ⅱ〕假設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：2．定義在〔－1，1〕上的函數(shù)時(shí)，有〔I〕判斷的奇偶性，并證明之；〔II〕令的通項(xiàng)公式；〔III〕設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，問是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的成立？假設(shè)存在，求出m的最小值；假設(shè)不存在，那么說明理由.3．〔本小題總分值14分〕設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕求及定義域；〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅲ〕Sn表示{bn}的前n項(xiàng)和，試比擬Sn與的大小.4.〔本小題總分值14分〕數(shù)列〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，試推斷是否存在常數(shù)A，B，C，使對(duì)一切都有成立？說明你的理由；〔3〕求證：5.設(shè)函數(shù)f〔x〕=〔aN*〕,又存在非零自然數(shù)m,使得f〔m〕=m,f〔–m〕<–成立.〔1〕求函數(shù)f〔x〕的表達(dá)式;〔2〕設(shè){an}是各項(xiàng)非零的數(shù)列,假設(shè)對(duì)任意nN*成立,求數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式;〔3〕在〔2〕的條件下,數(shù)列{an}是否惟一確定?請(qǐng)給出判斷,并予以證明6.函數(shù)的圖象過點(diǎn)A〔1，2〕和B〔2，5〕.〔1〕求函數(shù)的反函數(shù)的解析式；〔2〕記，試推斷是否存在正數(shù)k，使得對(duì)一切均成立？假設(shè)存在，求出k的最大值；假設(shè)不存在，說明理由.卷二一、選擇題：〔每題5分，共50分〕1、數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是〔〕A、B、C、D、2、等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，那么〔〕A、B、2C、D、3、等差數(shù)列前項(xiàng)和為且那么〔〕A、17B、18C、19D、204、，記，那么M與N的大小關(guān)系〔〕A、M<NB、M>NC、M=ND、不確定5、假設(shè)，那么以下不等式：中正確的選項(xiàng)是〔〕A、〔1〕〔2〕B、〔2〕〔3〕C、〔1〕〔3〕D、〔3〕〔4〕6、不等式的解集是〔〕A、B、C、D、7、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，假設(shè)〔〕A、B、C、D、8、在三個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①，=2\*GB3② =3\*GB3③，其中正確的個(gè)數(shù)是〔〕 A、0 B、1 C、2 D、39、目標(biāo)函數(shù)，變量滿足，那么有〔〕 A、 B、無最小值 C、無最大值 D、既無最大值，也無最小值10、在R上定義運(yùn)算假設(shè)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，那么〔〕 A、 B、 C、 D、二、填空題：〔每題5分，共25分〕11、等比數(shù)列公比,那么的前4項(xiàng)和___________等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，又，那么公比___________13、假設(shè),且，那么的最大值為___________14、實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，那么W=的取值范圍是_____________

15、關(guān)于的不等式的解集為三、解答題：〔本小題總分值12分〕等比數(shù)列中，，〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式;〔2〕假設(shè)分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.〔本小題總分值12分〕數(shù)列的前項(xiàng)和(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大或最小值.〔本小題總分值12分〕向量，假設(shè)·，〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和.〔本小題總分值12分〕在數(shù)列中，〔1〕設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列;〔2〕求數(shù)列的前項(xiàng)和.〔本小題總分值13分〕某房地產(chǎn)開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費(fèi)為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．〔Ⅰ〕假設(shè)扣除投資和各種裝修費(fèi)，那么從第幾年開始獲取純利潤？〔Ⅱ〕假設(shè)干年后開發(fā)商為了投資其他工程，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時(shí)以46萬元出售該樓;②純利潤總和最大時(shí)，以10萬元出售該樓，問哪種方案盈利更多？〔本小題總分值14分〕數(shù)列滿足：，，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕令，求證：.答案卷一1．解：〔I〕時(shí)，1分 當(dāng)① ② 由②－①，有2分 從而， ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. ∴. ∴〔II〕當(dāng)時(shí)，1分∵ ，③ .④ 由③－④，得 1分 1分2．解：〔I〕令。 又當(dāng)時(shí)，。 ∴對(duì)任意。 為奇函數(shù)。 3分 〔II〕 。 在〔－1，1〕上是奇函數(shù)， 為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。 〔III〕 假設(shè)存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的，有. 即.只需 故存在正整數(shù)m，使得對(duì)成立. 此時(shí)m的最小值為10.3．解〔Ⅰ〕由∵∴…………2分∴…………6分〔Ⅱ〕∵∴………………8分∵∴∴………………10分〔Ⅲ〕∴∵∴當(dāng)…………12分當(dāng)當(dāng)時(shí)，對(duì)于……14分4.．〔總分值14分〕〔1〕由；那么數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又……4分〔2〕，恒成立，那么故存在常數(shù)A，B，C，滿足條件.………………9分〔3〕由〔2〕知：…………14分5.〔本小題總分值14分〕〔1〕由,得2分由〔1〕得m=,當(dāng)a=2時(shí),m=2,滿足〔2〕式;當(dāng)a=3時(shí),m=1,不滿足〔2〕式,舍去.得f〔x〕=〔x1〕.3分〔2〕由條件得∴an〔1–an〕=2Sn〔3〕,2分令n=1,得a1=–1,又an–1〔1–an–1〕=2Sn–1,∴〔an+an–1〕〔an+1–an–1〕=0,由an–an–1=–1,a1=–1,得{an}是首項(xiàng)為–1,公差為–1的等差數(shù)列,∴an=–1+〔n–1〕〔–1〕=–n.3分〔3〕由〔2〕知,滿足條件的數(shù)列不惟一.考慮到a11,由an=–an–1及an–an–1=–1和a1=–1,構(gòu)造數(shù)列{–1,–2,2,–2,–3,–4,…,–n+2,…}.2分用數(shù)學(xué)歸納法證明,該數(shù)列滿足〔3〕式,當(dāng)n=1,2,3,4,5時(shí),直接代入可得〔3〕式成立,假設(shè)n=k〔k5〕時(shí),〔3〕成立,那么n=k+1時(shí),Sk+1=Sk+ak+1=ak〔1–ak〕+ak+1=〔1+ak+1〕·[1－〔1+ak+1〕]+ak+1=ak+1〔1–ak+1〕.所以n=k+1時(shí)〔3〕式成立,即該數(shù)列滿足題設(shè)條件.得滿足條件的數(shù)列不惟一.注：構(gòu)造數(shù)列也可能是:{–1,1,–1,–2,–3,–4,…,–n,…};或{–1,–2,2,–2,2,–2,…,〔–1〕n–12,…}〔n>1〕等等.6.．解：〔1〕由得…………3分 令，由，………………5分〔2〕…………6分 設(shè)存在正數(shù)k，使成立 那么，………………8分 記，那么 是隨n的增大而增大………………12分 即k的最大值為…14卷二BABBCBADCC二、填空題：〔每題5分，共25分〕11、12、13、14、[－1,1)15、三、解答題：16、〔本小題總分值12分〕解：〔1〕設(shè)公比為，那么-----------------------6分〔2〕由〔1〕得那么-----------------------〔12分〕17、〔本小題總分值12分〕解：〔1〕當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n2時(shí)，故----------------------------------6分〔2〕由，于是有最小值是-576，此時(shí)；無最大值。------------12分18、〔本小題總分值12分〕解：(1)·------------6分(2)------------12分19、〔本小題總分值12分〕解：〔1〕由得是等差數(shù)列-----------------------4分-----------------------6分-----------------------8分〔1〕-〔2〕=----------------------12分20、〔本小題總分值12分〕解：〔1〕設(shè)第n年獲取利潤為y萬元n年共收入租金30n萬元，付出裝修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，共因此利潤，令