2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末綜合測試卷（解析版）

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末綜合測試卷

高一數(shù)學(xué)

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共9小題，每小題4分，共36分

1.（2022?河北唐山?高二期末）直線依+k1=。的傾斜角為30。，貝!!。=

（）

A.-在B.好C.YD.0

33

2.（2022?天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高二期末）①直線y+l=2x在y軸上

的截距為1;②直線》8'+1=0的傾斜角為150;③直線y=6-3a必過定

點(diǎn)（3,0）；④兩條平行直線3尤-2股1=0與3尤-2y+l=。間的距離為半.以上

四個命題中正確的命題個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022?天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高二期末）在四棱錐P-ABCD中，

底面A5c。是正方形，E為PD中點(diǎn)，若PA=a,PB=b，PC=c,貝!IBE=

—a+—b+—cB.一〃——b——

4.（2022?天津和平?高二期末）在等比數(shù)列他J中，T“表示前〃項(xiàng)和，若

&=2T#1,&4=2T3+1,則公比q等于

A.一3

5.（2022?江蘇?連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末）若雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

（5,0）,（-5.0）,漸近線方程為尸土不，則雙曲線的方程是（）

A.^-―=1B.--^=1C.=1D.=-t=1

9169169393

6.（2022?北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高二期末）已知直線/："-y+l-左=0和圓

2

C:X+/-4X=0,則直線/與圓C的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

7.（2019?福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)高二期末（理））如圖，

A4G-ABC是直三棱柱，ZBCA=90°,點(diǎn)R,片分別是A與，AG的中點(diǎn),

若BC=CA=CG,則與4耳所成角的余弦值是（）

A.—B.|C.—D.—

1021510

8.（2022?天津河?xùn)|?高二期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減

等問題：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到

其關(guān).要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.意為：某人步行到378里的要

塞去，第一天走路強(qiáng)壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他

所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一

半，走了六天才到達(dá)目的地.請仔細(xì)計(jì)算他每天各走多少路程?在這個問題

中，第四天所走的路程為（）

A.96B.48C.24D.12

22

9.（2022?天津和平?高二期末）已知橢圓C：「+[=1（〃>6>0）的左、右焦點(diǎn)

ab

分別為耳，瑞，下頂點(diǎn)為A,直線人工與橢圓。的另一個交點(diǎn)為5,若BF、A

為等腰三角形，則橢圓C的離心率為（）

A.B.6C.D.—

133122

第II卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

10.（2022?天津河北?高二期末）已知數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式

2

an=[\"器表則數(shù)列｛里｝的前5項(xiàng)為_____.

["+1,〃為偶數(shù)

11.(2021?甘肅?測試?編輯教研五高二期末(文))拋物線x=的準(zhǔn)線方程

為.

12.(2022?天津?靜海一中高二期末)數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和為S,,=2幾2+3n+l,

則該數(shù)列的通項(xiàng)公式%=

13.(2022?天津和平?高二期末)在空間直角坐標(biāo)系中，A(W)、以2,3,4),

平面BCD的一個法向量是(-1,2,1)，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為

14.(2022?河北唐山?高二期末)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

%=(T)"(2〃-l)(〃eN*),其前〃項(xiàng)和為臬，則$=.

15.(2022?江西南昌?高二期末)若直線/：ox—y+2—a=0與圓C：(*-3)2

+3-1尸=9相交于A,5兩點(diǎn)，且NAC5=90。，則實(shí)數(shù)a的值為

三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

16.(2022?北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高二期末)已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,0),

且與軸相切，直線/過(。，4)與圓C交于“、N兩點(diǎn)，且1MM=2上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求直線/的方程.

17.(2022?天津和平?高二期末)設(shè)｛a〃｝是等差數(shù)列，a；=-10,且w+lO,

的+8,a4+6成等比數(shù)列.

(I)求｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

(H)記｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S”，求S"的最小值.

18.(2022?天津?靜海一中高二期末)如圖，在長方體-48CR中，

AB=AD=1,M=2,E是棱的中點(diǎn).

(1)求證：BCLAB,.

(2)求平面ME與平面ABCD夾角的余弦值;

(3)在棱CQ上是否存在一點(diǎn)F,使得跖與平面4與E所成角的正弦值為

8,若存在，求出c尸的長；若不存在，請說明理由.

3

19.(2022?天津和平?高二期末)已知數(shù)列｛q｝中4=1,%M2%+3,〃eN*.

(1)證明：數(shù)列幾+3｝是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為2=(〃+1)(%+3),〃eN*,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)

和S.；

(3)若c”=log2(4+3),求數(shù)列<」一的前n項(xiàng)和Tn.

[c,￡+J

22

20.(2022?云南?羅平縣第一中學(xué)高二期末)設(shè)橢圓c0+方=l(a”>0)的

右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),且其離心率為，

⑴求橢圓。的方程；

⑵若在'軸上的截距為2的直線/與橢圓。分別交于A3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，且直線的斜率之和等于12,求直線的方程.

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)方程和傾斜角分別求出直線的斜率，進(jìn)而得到。的值.

【詳解】由已知得直線的斜率^=tan3(T=，=F,

故選:A.

2.B

【分析】由直線方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.

【詳解】對于①，直線y+i=2x,令x=o,則,=-1,直線在了軸上的截距為-

1,則①錯誤；

對于②，直線x+6y+i=0的斜率為-3，傾斜角為150,則②正確；

3

對于③直線>=3),由點(diǎn)斜式方程可知直線必過定點(diǎn)(3,0),則③

正確；

對于④，兩條平行直線3x-2y-l=0與3x-2y+l=0間的距離為"=?4=噌1,

V9+413

則④錯誤.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】BE=+BD)=-；PB+；(BA+BC)

=--PB+-BA+-BC=--PB+-(PA-PB)+-(PC-PB)

222222

311131

=--PB+-PA+-PC=-a--b+-c.

222222

故選：c.

4.D

【詳解】試題分析：因?yàn)?=2Tz+l,”=213+1兩式相減得么-d=-2"，從而求

得2=3.故應(yīng)選D.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、公式q=S〃—-九之2)的應(yīng)用.

5.B

c2=25

【分析】由題得。=5,根據(jù)漸近線方程及Ac關(guān)系得到方程組，解出即

3

可.

【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，且。=5,設(shè)雙曲線的方程為

22

下一七=1（?！?力〉0）,

ab

則雙曲線的漸近線方程為：y=±-x,又漸近線方程為、=±：尤，所以

a3a3

22

c2=b2+a2=25,解得a=3/=4,所以雙曲線的方程為上一匕=i.

916

故選：B.

6.A

【解析】求出直線過的定點(diǎn)廠坐標(biāo)，確定定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷.

【詳解】直線方程整理為心-1）7+1=。，即直線過定點(diǎn)P（U）,

而P+p一4>1=—2<0,尸在圓C內(nèi),

直線/與圓C相交.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系.關(guān)鍵點(diǎn)有兩個：一是確

定動直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定點(diǎn)到圓的位置關(guān)系：圓C的一般方程為

f（x,y）=x2+y2+Dx+Ey+F=0,點(diǎn)尸（尤0,%）,則/（無。,％）<。o點(diǎn)P在圓。內(nèi)，

二（々,兀）=0Q點(diǎn)P在圓。上，

/（x0,%）>0o點(diǎn)p在圓。外.

7.A

【分析】以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】以。為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=C4=CG=2,則4(2,0,0),8(0,2,0),D,(I,I,2),7<(1,0,2),

可得西=。-1,2),麗=(-1,0,2),

A"3屈

cos〈5￡)i，A耳)=

西|陽娓.下10

此時，與做所成角的余弦值是吟.

故選：A

8.C

【分析】每天所走的里程構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，設(shè)第一天走了,里，利用

等比數(shù)列基本量代換，直接求解.

【詳解】由題意可知：每天所走的里程構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列.

第一天走了x里,

第4天走了192x24.

故選：C.

【分析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點(diǎn)8坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)

在橢圓上，可得離心率.

【詳解】如圖所示：

J

w務(wù)

A

因?yàn)榧磧榈妊切?，且跖門盟|=*

又用+忸胤+|盟=4〃，所以|AB|=+，

所以巾=2優(yōu)2|,

過點(diǎn)5作5MLt軸，垂足為

貝！|AOF2BMF2,

由A(Oj),g(c,o),得8臣5

因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓。上，所以/+余=1,

所以￡=:，

a23

即離心率6，=走，

a3

故選：B.

10.2,3,2,5,2

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?=]I所以數(shù)列｛?的前5項(xiàng)為2,3,2,5,2.

[〃+1,”為偶數(shù)

故答案為：2,3,2,5,2

11.x=-l

【分析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而利用拋物線的性質(zhì)求得準(zhǔn)線方

程.

【詳解】整理拋物線方程得天=4x,

,P=2,

???準(zhǔn)線方程為x=-l,

故答案為：X=-l.

f6,n=1

a

12."~\^n+l,n>2

【分析】根據(jù)。“與s,關(guān)系求解即可.

【詳解】當(dāng)〃=1時，4=5\=2+3+1=6,

22

當(dāng)〃22時，??=5?-^1=2?+3?+1-[2（?-1）+3（?-1）+1]=4/7+1,

檢驗(yàn):%=5wH,

6,〃=1

所以為=

4w+l,n>2

6,〃=1

故答案為：冊=

4n+1,n>2

13.V6

\n-AB\

【解析】利用點(diǎn)到平面的距離公式d=(〃為平面BCD的一個法向量)可

\n\

求得點(diǎn)A到平面BCD的距離.

【詳解】由已知條件可得AB=(123),平面BCD的一個法向量為〃

\n-AB\|-lxl+22+3xl|「

所以，點(diǎn)到平面的距離為d=/、2,卜二.

ABCDH7(-0+2+1

因此，點(diǎn)A到平面8CQ的距離為新.

故答案為：面.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)A到平面8CQ的距離，方法如下：

(1)等體積法：先計(jì)算出四面體A8CD的體積，然后計(jì)算出公2。的面積，利

用錐體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)A到平面BCD的距離；

(2)空間向量法：先計(jì)算出平面BCD的一個法向量〃的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)A

\AB-4

到平面BCD的距離為d=.

14.-15

【分析】根據(jù)解析式，分別求得奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，綜合即可得答案.

【詳解】由題意得4=-1嗎=-5,4=-9-.，即奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為-1,公差為-4的等

差數(shù)列，

q+々3+,—F45=8x(—1)H———x(—4)——120,

4=3,&=7,，=h…，即偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,

7x6_

a?++,,?+64=7X3H———x4=105,

所以幾=q+4+，，，+%5=—12。+105=-15.

故答案為：-15

15.1或7

【分析】根據(jù)題干條件得到圓心C到直線I：ax-y+2-a^O的距離為坐廠,

利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】由題意，得圓心C(3,1),半徑r=3且NAC5=90。,

則圓心。到直線/：ax—y+2—a=0的距離為日r,

Hn|2a+l|3a

即E工解得:a=l或a=7.

故答案為：1或7.

16.(1)(X-2)2+/=4

⑵l+,一4=0或7]+y-4=0

【分析】(1)求出圓。的半徑，即可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用勾股定理計(jì)算出圓心。到直線/的距離，分析可知直線/的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為丁=丘+4,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于化的方程，解

出后的值，即可得出直線/的方程.

【詳解】(1)解：由題意可知，圓。的半徑為2,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-2)2+y2=4.

(2)解：設(shè)圓心。到直線/的距離為d,則4=

若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為了=。，此時圓心。到直線/的距離為

2,不合乎題意.

所以，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=依+4,即仙-y+4=0,

由點(diǎn)到直線的距離公式可得"=*4=血，解得左=-1或左=-7,

川+1

所以，直線/的方程為》=一%+4或y=-7x+4,即x+y-4=0或7x+y—4=0.

17.(I)an=2n-U;(II)-30.

【分析】(I)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得｛%｝

的通項(xiàng)公式；

(II)首先求得S“的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.

【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為(

因?yàn)?+10,"3+8，+6比數(shù)列9J^T(。3+8)=(a2+1。)(。4+6),

即(2d-2)2=d(3d-4),解得4=2,所以=-10+2(〃-1)=2〃-12.

(II)由(I)知an=2n-129

當(dāng)〃=5或者〃=6時，S.取到最小值—30.

【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題

的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.

18.(1)證明見解析(2)且(3)存在點(diǎn)F,CF=V6-1

6

【分析】⑴先證明8C1平面A即A,由A4u平面AB4A,可證明結(jié)論.

(2)以分別為羽y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面

ABCD的法向量，利用向量法求求解即可.

⑶設(shè)。尸=無，O<X<2,IJ!!]EF=(1,0,X-1),則由向量法結(jié)合條件可得答案.

【詳解】(1)在長方體ABCD-A|B|CQ中，ABJ_BC,BBt1BC

又AB?BB、B,所以8cl平面A即A

又A4u平面ABB,A,，所以3C，A局.

⑵以AB,9心分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)锳B=AD=1,M=2,E是棱的中點(diǎn).

貝!|A(0,0,0),4(L0,2),E(0,l,l)

則4=(0,0,1)為平面ABC。的一個法向量.

設(shè)巧=(x,y,2)為平面ME的一個法向量.

M=(l,O,2),AE=(O,l,l)

n?AB=0x+2z=0

所以＜2X即

n2?AE=0y+z=0

取z=—1,可得%=(2,1,-1)

/--\1t.rty—1v6

所以四件公t=研干前.可

如圖平面ABiE與平面ABCD夾角為銳角，所以平面ABiE與平面ABCD夾角的余弦

(3)設(shè)B=x,0<x<2,貝！)尸(1,1,X),歷=(1,0,%_1)

由(2)平面A8E的一個法向量%=(2,1,-1)

設(shè)用與平面A與E所成角為a

2-(x-1)#)

&xjl+(x-l)23

解得x=-l土#,取尤=?-1

所以存在點(diǎn)尸，CP="-1滿足條件.

19.(1)證明見解析

+2

(2)Sn=n-2"

⑶心一+

【分析】⑴結(jié)合已知條件利用等比數(shù)列定義證明即可；⑵結(jié)合⑴中條件，求出

地』的通項(xiàng)公式，然后利用錯位相減法求和即可；(3)結(jié)合(1)中條件，求出{g}

的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

(1)

'H口日E、3""+i+3_2a“+3+3,

證明：因?yàn)橐籺+3'〃eN

又叫+3=4,所以何+3｝為首項(xiàng)是4,公比為2的等比數(shù)列.

(2)

由⑴可知,%+3=2向，〃eN*,所以/=5+1)2"\〃eN*.

則S“=2"+3"+4-24++n-2"+(M+l)-2"+1,

2S?=2-23+3-24+4-25+.+M-2,1+1+(n+l)-2n+2,

以上兩式相減可得，—Sn=2,2?+2^+2，++2"+i—(幾+1),2"2=—YI?2-2,

所以S“=〃2+2

(3