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第六章第4講[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.(2020年新課標(biāo)Ⅲ)復(fù)數(shù)eq\f(1,1-3i)的虛部是()A.-eq\f(3,10) B.-eq\f(1,10)C.eq\f(1,10) D.eq\f(3,10)【答案】D2.(2020年浙江)已知a∈R,若a-1+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-2))i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a=()A.1 B.-1C.2 D.-2【答案】C3.(2019年昆明質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1+i2,z)=1-i,則z=()A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【答案】C4.設(shè)復(fù)數(shù)z=eq\f(10,2-i)(其中i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.2 B.2iC.-2 D.-2i【答案】C5.(2019年廣東七校聯(lián)考)如果復(fù)數(shù)eq\f(m2+i,1+mi)是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)m等于()A.-1 B.0C.0或1 D.0或-1【答案】D【解析】方法一:eq\f(m2+i,1+mi)=eq\f(m2+i1-mi,1+mi1-mi)=eq\f(m2+m+1-m3i,1+m2),因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2+m=0,,1-m3≠0,))解得m=-1或0.方法二:設(shè)eq\f(m2+i,1+mi)=bi(b∈R且b≠0),則bi(1+mi)=m2+i,即-mb+bi=m2+i,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-mb=m2,,b=1,))解得m=-1或0.6.復(fù)數(shù)i(1+i)的實(shí)部為________.【答案】-1【解析】i(1+i)=-1+i,所以實(shí)部為-1.7.(2019年齊齊哈爾八中期末)已知復(fù)數(shù)z=i(4-3i2019),則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為________.【答案】-3-4i【解析】因?yàn)閕2019=(i4)504·i3=-i,所以z=i(4+3i)=4i+3i2=-3+4i,所以eq\o(z,\s\up6(-))=-3-4i.8.若復(fù)數(shù)z滿足z=(2-z)i(i是虛數(shù)單位),則z=________.【答案】1+i【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則a+bi=(2-a-bi)i,得a=b=1,所以z=1+i.9.在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i,若點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)為B,則向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________.【答案】-2+i【解析】因?yàn)锳(-1,2)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)B(-2,1),所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.[B級能力提升]10.(2019年安徽江南十校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)=|1-i|+i,則z的實(shí)部為()A.eq\f(\r(2)-1,2) B.eq\r(2)-1C.1 D.eq\f(\r(2)+1,2)【答案】A【解析】由z(1-i)=|1-i|+i,得z=eq\f(\r(2)+i,1-i)=eq\f(\r(2)+i1+i,1-i1+i)=eq\f(\r(2)-1,2)+eq\f(\r(2)+1,2)i,故z的實(shí)部為eq\f(\r(2)-1,2).11.(2020年江西七校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z=(2+ai)(a-i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,其中a∈R,i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-eq\r(2),eq\r(2)) B.(-eq\r(2),0)C.(0,eq\r(2)) D.[0,eq\r(2))【答案】B【解析】z=(2+ai)(a-i)=3a+(a2-2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a<0,,a2-2<0,))解得-eq\r(2)<a<0.12.(2020年成都質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)z1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,線段AB的中點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則|z|=()A.eq\r(5) B.5C.2eq\r(5) D.2eq\r(17)【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=2+6i,z2=-2i,z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A(2,6),B(0,-2),線段AB的中點(diǎn)C(1,2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=1+2i,則|z|=eq\r(12+22)=eq\r(5).13.(多選)(2020年日照模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=3+i(其中i是虛數(shù)單位),則()A.z的實(shí)部是2 B.z的虛部是2iC.eq\x\to(z)=1-2i D.|z|=eq\r(5)【答案】CD【解析】因?yàn)閦=eq\f(3+i,1-i)=eq\f(2+4i,2)=1+2i,所以eq\x\to(z)=1-2i,|z|=eq\r(5).故A,B錯誤,C,D均正確.14.(2020年山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)eq\f(2+i,i+1)-2i=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),則b-ai=()A.-eq\f(5,2)-eq\f(3,2)i B.eq\f(5,2)-eq\f(3,2)iC.eq\f(5,2)+eq\f(3,2)i D.-eq\f(5,2)+eq\f(3,2)i【答案】A【解析】因?yàn)閑q\f(2+i,i+1)-2i=eq\f(2+i1-i,i+11-i)-2i=eq\f(3,2)-eq\f(5,2)i=a+bi,所以a=eq\f(3,2),b=-eq\f(5,2),因此b-ai=-eq\f(5,2)-eq\f(3,2)i.15.定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))=ad-bc.若復(fù)數(shù)x=eq\f(1-i,1+i),y=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4ixi,2x+i)),則y=________.【答案】-2【解析】因?yàn)閤=eq\f(1-i,1+i)=eq\f(1-i2,2)=-i,所以y=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4ixi,2x+i))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4i1,20))=-2.16.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ,μ∈R),則λ+μ的值是________.【答案】1【解析】由條件得eq\o(OC,\s\up6(→))=(3,-4),eq\o(OA,\s\up6(→))=(-1,2),eq\o(OB,\s\up6(→))=(1,-1),根據(jù)eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→)),得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-λ+μ=3,,2λ-μ=-4,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=-1,,μ=2.))所以λ+μ=1.[C級創(chuàng)新突破]17.(多選)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=eq\f(3+2i,2-i),則以下為真命題的是()A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.z的虛部是-eq\f(7,5)C.|z|=3eq\r(5)D.若復(fù)數(shù)z1滿足|z1-z|=1,則|z1|的最大值為1+eq\f(\r(65),5)【答案】AD【解析】因?yàn)閦=eq\f(3+2i,2-i)=eq\f(3+2i2+i,2-i2+i)=eq\f(4,5)+eq\f(7,5)i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5),\f(7,5))),在第一象限,故A正確;z的虛部是eq\f(7,5),故B不正確;|z|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2)=eq\f(\r(65),5),故C不正確;設(shè)z1=x+yi,x,y∈R,由|z1-z|=1得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(4,5)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(7,5)))2=1,則點(diǎn)(x,y)在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5),\f(7,5)))為圓心,以1為半徑的圓上,則(x,y)到(0,0)的距離的最大值為1+eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2)=1+eq\f(\r(65),5),即|z1|的最大值為1+eq\f(\r(65),5),故D正確.18.(多選)下列命題正確的是()A.若復(fù)數(shù)z1,z2的模相等,則z1,z2是共軛復(fù)數(shù)B.z1,z2都是復(fù)數(shù),若z1+z2是虛數(shù),則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)C.“復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)”的充要條件是z=eq\o(z,\s\up6(-))(eq\o(z,\s\up6(-))是z的共軛復(fù)數(shù))D.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虛數(shù)單位),它們對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若eq\o(OC,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))(x,y∈R),則x+y=1【答案】BC【解析】對于A,z1和z2可
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