5.7三角函數(shù)的應(yīng)用(二)導(dǎo)學(xué)案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的值（或范圍）；會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題.重點(diǎn)：根據(jù)性質(zhì)求參數(shù)的值（或范圍）難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【學(xué)習(xí)過(guò)程】導(dǎo)：請(qǐng)回顧三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并完成下面的題目思：完成下面的典型例題類(lèi)型（一）三角函數(shù)的周期性和奇偶性例1.（1）(多選)下列函數(shù)中，以2π為周期的函數(shù)有()A．y＝taneq\f(x,2)B．y＝sineq\f(x,2)C．y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin2x)) D．y＝coseq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))（2）函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是()A．φ＝eq\f(π,2)B．φ＝πC．φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z D．φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z已知函數(shù)的周期為，則＝________.（4）若為偶函數(shù)，則θ的值為_(kāi)_______．類(lèi)型（二）三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性例2.(1)記函數(shù)的最小正周期為T(mén).若eq\f(2π,3)＜T＜π，且y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則＝()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,2) D．3(2)已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為eq\f(π,2)，且，則＝________.類(lèi)型（三）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值或范圍例3.(1)若在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．Π(2)已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為()A．3B．4C．5 D．6（3）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍為()A．(0,1]B．(0,2]C．[1,2] D．(1,2)類(lèi)型（四）函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題例4（1）已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)，f(4)＝f(2)－6，且f(x)在[2,4]上單調(diào)．設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－1，且g(x)的定義域?yàn)閇－5，8]，則函數(shù)g(x)的所有零點(diǎn)之和等于________．（2）已知函數(shù).①求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；②若函數(shù)g(x)＝f(x)－a有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．議：例1、例2、例3、例4展：例1、例2評(píng)：例3、例4檢：(多選)已知函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝eq\f(π,12)，相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，則下列說(shuō)法正確的是()A．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)B．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在上單調(diào)遞減C．將函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象D．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（二）參考答案例1（1）ACD（2）C（3）1（4）解析：因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ))＋eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－θ))是偶函數(shù)，所以有f(x)＝f(－x)，于是有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ))＋eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋θ))＋eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－θ))，化簡(jiǎn)得sinx(eq\r(3)sinθ＋cosθ)＝0，要想x∈R恒成立，只需eq\r(3)sinθ＋cosθ＝0?tanθ＝－eq\f(\r(3),3)?θ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z.例2(1)因?yàn)閑q\f(2π,3)＜T＜π，所以eq\f(2π,3)＜eq\f(2π,ω)＜π，解得2＜ω＜3.因?yàn)閥＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2))中心對(duì)稱(chēng)，所以b＝2，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)ω＋\f(π,4)))＋b＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)ω＋\f(π,4)))＝0，所以eq\f(3π,2)ω＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，又2＜ω＜3，所以eq\f(13π,4)＜eq\f(3π,2)ω＋eq\f(π,4)＜eq\f(19π,4)，所以eq\f(3π,2)ω＋eq\f(π,4)＝4π，解得ω＝eq\f(5,2)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x＋\f(π,4)))＋2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)×\f(π,2)＋\f(π,4)))＋2＝sineq\f(3π,2)＋2＝1.故選A.(2)∵函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為eq\f(π,2)，∴eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，得T＝π，即eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，∵0＜φ＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,4)cos\f(π,3)＋cos\f(π,4)sin\f(π,3)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(1,2)＋\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)))＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2).例3(1)f(x)＝cosx－sinx＝－eq\r(2)sinx－eq\f(π,4)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，即x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))單調(diào)遞增，則f(x)＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))單調(diào)遞減．∵函數(shù)f(x)在[－a，a]是減函數(shù)，∴[－a，a]?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴0<a≤eq\f(π,4)，∴a的最大值為eq\f(π,4).(2)由f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(π,6)))上單調(diào)，即eq\f(1,2)T≥eq\f(π,6)－eq\f(π,18)，可得T≥eq\f(2π,9)，則ω≤9；∵x＝－eq\f(π,4)為f(x)的零點(diǎn)，x＝eq\f(π,4)為y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)三角函數(shù)的圖象可知，零點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸之間距離為eq\f(1,4)T×(2k－1)，k∈N*.要求ω最大，則周期最小，∴(2k－1)×eq\f(1,4)T＝eq\f(π,2)，則T＝eq\f(2π,2k－1)，∴ω＝2k－1；當(dāng)ω＝9時(shí)，由|φ|≤eq\f(π,2)，則φ＝－eq\f(π,4)，可得f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9x－\f(π,4)))，易知f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,36)，\f(π,6)))上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)ω＝7時(shí)，則|φ|≤eq\f(π,2)，則φ＝eq\f(π,4)，可得f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,4)))，易知f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(3π,28)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,28)，\f(π,6)))上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)ω＝5時(shí)，由|φ|≤eq\f(π,2)，則φ＝－eq\f(π,4)，可得f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(π,4)))，易知f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(π,6)))上單調(diào)遞減，符合題意．（3）解析：選C當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))時(shí)，ωx＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,6)，eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,6)))，所以eq\f(π,6)ω＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)，解得ω≤2，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)))時(shí)，ωx＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)ω＋\f(π,6)，\f(π,2)ω＋\f(π,6)))，因?yàn)棣亍?，所以eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，所以eq\f(π,3)ω＋eq\f(π,6)≥eq\f(π,2)，解得ω≥1，綜上所述，1≤ω≤2.例4（1）f(x)＝3sin(ωx＋φ)，則－3≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤3，因?yàn)閒(4)＝f(2)－6，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝3，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4))＝－3，則f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減，且eq\f(T,2)＝2，T＝4＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(π,2)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝3，可得φ＝－eq\f(π,2)＋2kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，又|φ|<π，所以φ＝－eq\f(π,2)，即f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,2))).令t＝eq\f(π,2)x－eq\f(π,2)，畫(huà)出y＝3sint的圖象如圖，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5，8))時(shí)，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3π，\f(7π,2)))，g(x)＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3π，\f(7π,2)))上共有六個(gè)根，t1＋t2＋…＋t6＝－3π＋π＋5π＝3π，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x1－\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x2－\f(π,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x6－\f(π,2)))＝3π，則x1＋x2＋…＋x6＝12.[答案]12（2）①函數(shù)f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＋cos2x＝2sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＋cos2x＝eq\r(3)sinxcosx＋sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以f(x)min＝0，f(x)max＝eq\f(3,2).②因?yàn)間(x)＝f(x)－a有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)＝a有且僅有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝a的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．由圖象知，a＝eq\f(3,2)或a∈[0,1)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1)∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).檢：解析：選BC對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al