2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬數(shù)學(xué)沖刺卷（新高考II卷）（解析版）

2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬試卷?沖刺卷(新高考II卷)

第I卷選擇題部分(共60分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A=1不：<1｝,3=卜卜=。｝,則AB=()

A.[-1,2)B.[0,2)C.[1,2)D.[0,3)

K答案UB

R解析U由題意可知A=(-8,2),8=[0,+O>),則A?=[0,2).

故選：B.

2.(2-i)(l+i)=()

A.3+iB.l-2iC.3-iD.3

R答案2A

[[解析U由題意可得：(2-i)(l+i)=2+i-i2=3+i.

故選：A.

3.孫子定理出自古代名著《孫子算經(jīng)》，其研究正整數(shù)的整除問題，其實(shí)質(zhì)構(gòu)成一個(gè)等差

數(shù)列，例如三三數(shù)之剩一(被3除余1)的正整數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列｛3〃-2｝.若滿足四四數(shù)之剩

三且六六數(shù)之剩五(被4除余3且被6除余5)的正整數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛4｝,則｛《,｝的前〃項(xiàng)

和S”=()

A.12/—6〃B.6?2+5n

C.6n2-3/iD.6n2-2n

K答案XB

K解析H被4除余3且被6除余5的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成首項(xiàng)為11，公差為3x4=12的等差數(shù)列，

所以a“=ll+12x("-l)=12"-l,S,=11〃+"("7)X12=6〃2+5”.

2

故選：B.

4.向量a=(2,0),6=(x,y),若b與匕一〃的夾角為30。，則忖的最大值為()

A.2B.2百C.4D.—

3

R答案』C

R解析』由題意，記CB=a,CA=分，則匕一a=C4-CB=BA，

故由向量加減的三角形法則可得a，h與人-a構(gòu)成三角形ABC,

則b與人-a的夾角等于A,則A=30。，

百CACB砥帆lai

由正弦定理=丁二—;可得11=11,

sinBsinAsinBsinA

又a=（2,0）,則k|=2,

所以W=-J_J^sinB=2，dsin8=4sin8W4'即M的最大值為4.

故選：C.

5.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名杭州亞運(yùn)

會(huì)志愿者到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地

至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

K答案1C

K解析》①游泳場(chǎng)地安排2人，則不同的安排方法有C；A；=6種，

②游泳場(chǎng)地只安排1人，則不同的安排方法有C；C；A；=18種，

所以不同的安排方法有6+18=24種.

故選：C

6.若tana=cosa,則sin(2a+H]=()

3-sina\2)

2187

-u-

A.3-39D.-9

K答案XD

?cosa_,sinecost?

K解析力因?yàn)閠ana=；；~；—,r所rr以>----=-~；—即3sina-sin2a=cos2a,

3-sinacosa3-sina

所以3sina=sin2a+cos%=1,即sina=；,

27

所以sin(2a+]=cos2a=1-2sina=一

9

故選：D.

7.已知四邊形ABC。的對(duì)角線AC,B0的長(zhǎng)分別為2g和6,且8。垂直平分AC把

△AC4沿4c折起，使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P,則三棱錐P-A8C體積最大時(shí)，其外接球半徑為

()

A.2B.75C.如D.—

2

K答案』B

K解析力如圖，設(shè)ACBO交于點(diǎn)E,BE=x,DE=PE=6-X,

要使三棱錐尸-ABC體積最大，則PE_L平面ABC,其體積為：

；S板.PE='AC.8E.PE=4x(6-x)=-*(x-3)2+3出，

則當(dāng)x=3,即PE=BE=3時(shí)，三棱錐尸-ABC體積最大.

注意到此時(shí)，一K4cM84。，且均為等邊三角形,

設(shè)二8AC外心為。一外心為?！高^分別作平面BAC,平面雨C垂線，交點(diǎn)為

0,

則。為三棱錐P-ABC外接球球心.又。2為△PAC重心，則O2E=^PE=\,

結(jié)合四邊形0/00是矩形，則

2

op=O2E=1.又一B4C外接圓半徑為。①=O,B=qBE=2,

則三棱錐P-ABC外接球半徑為OA=Jo闈+OO；=J1+4=后.

故選：B.

8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足〃x)+/(—x)=0,/(l-x)=/(l+x),〃x)在區(qū)間

(0』內(nèi)單調(diào)且/[“X)—2'+2一[=32022

,貝！1￡夕■伏)=()

*=1

5055

A.----B.5055

2

5055x1011

C2D.1011

K答案UA

K解析H由題知/(x)在(05內(nèi)單調(diào)，且xw(0,l]時(shí)，有/[/(x)_2?+2-']=|,由此可

知—2、+2一7(04],

當(dāng)XG(0,l]時(shí).2X-2-X<f(x)<\+2x-2-x,得

，/[/(1)-2+2,]=/[/(1)-|]=|,

且在(0,1]內(nèi)單調(diào)，可得/(1)=|,

/(l-x)=/(l+x),令X=l+x,則f(-x)=f(2+x)，X/(-X)=-f(x),

故/(2+x)=-/(x).令x+2=x.則/(x+4)=-/(x+2)=-/(-x)=/(x)，/(尤)的周期為

4.當(dāng)x趨于0時(shí)，有/(x)=0.故/(2+0)=-/(0)=0,

有"2)=0./(-1)=-/(1)=-|,

2022

/⑴+2/(2)+—+2020/(2020)+2021/(2021)+2022/(2022),

k=]

根據(jù)/⑶的周期性可知"⑴+3/⑶=1/(1)+3/(-1)=/(1)-3/(1)=-2/(1),

5/(5)+7/(7)=5/(1)-7/(-1)=-2/(1),

2022

故￡kf[k}=505x(-2)/(1)+2021/(2021)+2022/(2022)

hl

二505x(-2)x|+2021/(1)+2022/(2)

5055

2

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(》)=$出(5+9)］。>0,|初<口的最小正周期為萬(wàn),且圖象經(jīng)過點(diǎn)。(0,；),則

()

A.60=2

B.點(diǎn)(?,0)為函數(shù)y=/(x)圖象的對(duì)稱中心

C.直線x=2為函數(shù)y=/(x)圖象的對(duì)稱軸

6

7TTT

D.函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為k7t-—,k7r+—,keZ

3o

K答案》ACD

K解析U因?yàn)樽钚≌芷?=四=乃,所以0=2,所以A對(duì).

①

f(x)=sin(6t>x+°)=sin(2jc+cp).

因?yàn)?(0)=sine=2,所以0=1+2%乃?€2,又|夕|<5，所以9=5.

2626

所以/(X)=Sin(2x+3.

因?yàn)?(()=$也系=；,所以B錯(cuò).

因?yàn)?=sing=1，所以直線x=2為函數(shù)y=/(%)圖象的對(duì)稱軸，所以C對(duì).

<6；26

ITIT7T7TTT

由---F2E<2x+—<—+2E，得——+lai<x<—^-kji,keZ.

26236

TTjr

所以函數(shù)”X)的單調(diào)增區(qū)間為k7i--,kn+-，&eZ,所以D對(duì).

3o

故選:ACD

10.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線與C交于A、B兩點(diǎn),且A在x軸上

方，過A、B分別作C的準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為4、B',則()

A.OAVOB

B.若|AF|=5,則A的縱坐標(biāo)為4

C.若AF=2FB，則直線A8的斜率為2亞

D.以48,為直徑的圓與直線A8相切于F

K答案UBCD

R解析H由題意可得：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)廠(1,0),準(zhǔn)線/：x=-l,

設(shè)直線AB為》=叩+1,?手乂卜|>0）,8（李必），則%）,

x=my+1、

聯(lián)立方程y=4x，消去y可得：y-4沖-4=。,

貝！JA=16/7?+16>0,%+必=4機(jī),yxy2=-4,

uiruun

對(duì)A：?.?0A=[,,y}08=|勺y\，必，

47

uuriim（vv『

J0408="+一3-0,

1612

???OA,OB不相互垂直，A錯(cuò)誤;

對(duì)B：；網(wǎng)吟+1=5,則X=4或％=T（舍去）,

.??A的縱坐標(biāo)為4,B正確；

對(duì)C：?.?養(yǎng)=[11，-乂），隈且AP=2FB，

y=2應(yīng)V]=-2四

f=2y2

y+y=4m,解得,%=應(yīng)（舍去）,

；.-乂=2%，則，t2y2=或,

）書=-4V2近

tn=---m=----

44

故直線AB的斜率無=工=2應(yīng)，C正確；

m

對(duì)D：?；）'=4/77,1A'B'\="（y+必）2-4=+皆=^m2+1,

：.的中點(diǎn)“（T2m）到直線AB的距離d='片…=2府11=,

\lm+1，

又V\MF\=J4+4W=2，+1=：|A四,

故以A'B'為直徑的圓與直線AB相切于F,D正確;

故選：BCD.

11.在正方體ABCC-AMGA中，AQ=/nA8+mA￡>+"AA（鞏”e（0J）,則（）

A.AQVBD

B.8。與平面QAC所成角為45

C.當(dāng)點(diǎn)。在平面ABGR內(nèi)時(shí)，〃=1

D.當(dāng)〃=；時(shí)，四棱錐Q-AB耳A的體積為定值

R答案』AC

K解析U因?yàn)樵谡襟wABC。-AB|CQ|中，AQ=mAB+mAb+nAAt(m,ne(0,1])>

所以AQ=mAB+"[A￡>+〃A4,=,"AC+〃A4,,所以點(diǎn)Q在四邊形AACg內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)(不含

AC,AAt).

對(duì)于A,因?yàn)锳A，底面ABC。，3￡>u底面ABC。，所以AA，2。.

又AC，BD,ACCAA=4,AC，AAU平面A4,CG，

所以比平面A40G，AQU平面44,CG，

所以8OJ.AQ,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?。上平面MCG，設(shè)BOcAC=O,所以NO〃B為BR與平面A4CG所成

角，即為BR與平面QAC所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a,DO=BO=0a，RO=底，

D、B=2&a,

由余弦定理可得

cosNORB=/+.一%網(wǎng),+(*；/)；逑…45，故B錯(cuò)誤；

2x￡)10x￡)1B2xy/6ax2y/3a3

對(duì)于c,當(dāng)點(diǎn)。在平面aeGQ內(nèi)時(shí)，即點(diǎn)。在線段4G上，所以〃=1正確，故c正確；

對(duì)于D,當(dāng)〃=g時(shí)，取AM，GC的中點(diǎn)E,F,連結(jié)EF,點(diǎn)。在線段EF上運(yùn)動(dòng)，

因?yàn)樗倪呅蜛28M的面積為定值，EFA%A=E,所以點(diǎn)Q到平面A8g4的距離不是定

值，所以四棱錐Q-Asqa的體積不是定值，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.下列能使式子一二+J二（a>0力>0）最小值為1的是（）

〃+lb+1

A.a+b=2B.cib+b=2-aC.a=bD.a2+b2=2

K答案2AD

K解析[對(duì)于A：當(dāng)小=2,則（a+D+S+X,則誓+等③

則（_L+_L）.（四+空）」+a+3+U+2、LL1,

a+\h+l4444（a+l）4（b+l）42V44

當(dāng)且僅當(dāng)蔚T溫P即a=X時(shí)等號(hào)成立，故A正確;

對(duì)于B：由?！?6=2-。得，b=---

。+1

11111a+112G

貝1b+1a+\]]。+12-a+a+la+133，

a+1

當(dāng)且僅當(dāng)一1時(shí)，即。=6-1時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為柜，故B錯(cuò)誤;

a+l33

對(duì)于C：假設(shè)a=6=2,則上+，=2+!=]<1,故C錯(cuò)誤；

a+lb+1333

對(duì)于D：a>0,h>09

b=J2—a?>且2-々~之0,

即—\f2WaW5/2，

0<aK\p2,

由/+/=2得，（/了+（￡y=1'

a.

設(shè)&=sma,-j==cosa,即。=V^sina，b=6,cosa,

0<a<V2，

/.sina￡（0,1],g|jae（o.|

貝lj」一+，

a+lh+\

1

5/2sinez+1>/2cosa+1

5/2sin?+5/2cosa4-2

2sinacosa+&sina+V^cosa+l

加(sina+cosa)+2

(sina+cosa)2+V2(sina+cosa)

_V2(sina+cosa4-V2)

(sina+cosa)(sina+cosa+V2)

sina+cosa

1

40身,

.(兀)rV2

/.sina+—e——J,

I4)2

當(dāng)a="即a=垃sina=l,6=&cosa=l時(shí),取得最小值1，故D正確，

故選：AD.

第H卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出曲線丫=/過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：,.

K答案U尸散y=v

K解析U當(dāng)x>0時(shí)，y=e',則y'=e",

曲線在點(diǎn)（冷e*）處的切線方程為y-爐=e"（x-為）.

若該切線經(jīng)過原點(diǎn)，RiJ-eA'=-x,er',解得4=1,此時(shí)切線方程為>=鉆.

當(dāng)x<0時(shí)，同理可得滿足題意的切線方程為'=

故K答案》為：y=ex；y=y

14.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)若直線/：3x-4y+5=0上總存在尸、Q

7T

兩點(diǎn)，使得NPMQZ］恒成立，則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍是

K答案》［6，H

K解析』要使得NPMQN］恒成立，則點(diǎn)”在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，

點(diǎn)尸、Q在直線3x-4y+5=0上，

,|6+4+5|

點(diǎn)加(2,-1)到直線/：3x-4y+5=0距離d=心+6盯=3，

以尸。為直徑的圓半徑的最小值為d=3,

所以PQ的最小值為6,則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍是［6,心)，

故K答案》為：［6,T8).

15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行自由式輪滑速度障礙賽決賽，采取五場(chǎng)三勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)比賽

時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束)，根據(jù)以往比賽成績(jī)可知，甲隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率為:，比賽

結(jié)果沒有平局，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲隊(duì)獲勝的情況下，比賽共進(jìn)行了四場(chǎng)的

概率為.

R答案1I

O

K解析》設(shè)事件A為''甲隊(duì)最終獲得勝利”，事件2為“比賽共進(jìn)行了四場(chǎng)”，

777R

①比賽進(jìn)行三場(chǎng)，甲隊(duì)均勝，^=-x-x-=—;

②比賽進(jìn)行四場(chǎng)，甲隊(duì)前三場(chǎng)恰好勝二場(chǎng)，輸一場(chǎng)，第四場(chǎng)勝，

g=c喧“-翡|哈;

③比賽進(jìn)行五場(chǎng)，甲隊(duì)第五場(chǎng)勝，前四場(chǎng)恰好勝二場(chǎng)，輸二場(chǎng)，

648/,xP(AB}3

則P(A)=R+鳥+&=嬴，P(AB)=P2=—,故所求概率為P(8網(wǎng)=4果=(

o127o

故K答案》為：

O

16.雙曲線的中心為原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在y軸上，耳,K分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過上焦點(diǎn)

尸2作斜率上=且的直線/交雙曲線上支于點(diǎn)仞,N,若△M-工，ANF\F］的內(nèi)心分別是

3

P,。，且|MN|=2G|PQ|,則雙曲線的離心率為.

R答案』恒二！

2

K解析』如圖所示，在ANFF。中,設(shè)邊MN,4邊上的切點(diǎn)分別為R,T,S,

則7,?？v坐標(biāo)相等,且|人固=|解|,|取?|=|丹/，閨刀=山S|,

由雙曲線的性質(zhì)可得加耳卜閃可=|NS|+忸S|-（|M?|+|瑪3）=出刀-內(nèi)刀=2,

設(shè)7（0，%）,貝丘+%-（。一%）=24,解得%=a,所以7（0,“）,

同理可得內(nèi)心P的縱坐標(biāo)也為“，則PQ，y軸，

設(shè)直線MN的傾斜角為6,則tan?=曰，/尸67=幺丁，/0鳥7=上詈,

2ctan—90

由tan0=-------■解得tan—=2->/3,

1-tan2—v?

2

又因?yàn)樽|=c-a,所以

2+2tan2夕

\PQ\=\PT\+\TQ\=(c-a)tan^45°-|']+tan^450+|11=(c-a)-------^=華(°一4),

-」1-tan一

2

所以|M7V|=8（c-a）,

22

設(shè)雙曲線方程為5-二=1,耳（0?）,6（0,。），M（3I），及々,%）,

ab

則直線/為y-c=￥（x-0）,即y邛x+c,

、2

yx

/丁=1

聯(lián)立得僅2-3/)f+2島2cx+3//=0,

產(chǎn)近X+C

.3

22222

則x.+x2=-29b1,xx=—_-<0>貝lj-3a<0,c=b+a<4a

'-b2-3a2'b2-3a1

所以|MN|=，（辦一々）2+（＞]-%』

RxJ「IW4伊一3叫,國(guó)口2咋4+3行8加

V3X忸—3叫2--(b2-3a2)2一比1-(c2-4?2)2~~^2-c2

所以辿即/+這一3/=0,

4a2-c2、'

所以e2+e-3=O,解得e=,

2

故K答案H為：巫二

2

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,,公差d為整數(shù)，§3=21,且4，生+1，%成等比

數(shù)列.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列二一的前〃項(xiàng)和卻

解：(1)因?yàn)镾3=3q+3d=21,所以q+d=7,

又因?yàn)?,a2+1,%成等比數(shù)列，所以(弓+lf=q%,

2

即(4+1+1)2=a,+6qd,所以+6a}d=64,

睬一、14+"=7解得已;

聯(lián)乂k+6a"=64

[a=J

所以％=4+5(及-1)=5〃-3.

5511

(2)由(1)可得〃一(5〃一3)(5、+2)-5/?-3-5〃+2'

所以+上+p______

"【21)[712j[12\1)\5n-35n+2J25n+210n+4,

18.在..4?C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2sinA+tanA=0.

(1)求4；

(2)若切inA=4sin8,且從21,求MC面積的取值范圍.

解：(1)因?yàn)?sinA+tanA=0,所以2sinA+>^^=0.

cosA

在一ABC中，sinA>0,所以2+—^=0,貝iJcosA=-4.

cosA2

因?yàn)?<4<兀，所以A=/27r.

(2)由加in4=4sin5及正弦定理，得ab=4b,所以。=4.

由余弦定理得。2=層+。2-次cosA2?c+0c,所以歷岑，

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=逑時(shí)，等號(hào)成立，所以14公工

33

因?yàn)橐籄BC的面積為g^csinA,所以一/1BC面積的取值范圍是牛.

19.某精密檢測(cè)儀器廠銳意改革，實(shí)施科學(xué)化、精細(xì)化管理，產(chǎn)量大幅提高.產(chǎn)品制成后

先去掉殘次品，然后隨機(jī)按每箱20件裝箱.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取4箱，測(cè)得其內(nèi)徑(單位：

cm),將結(jié)果分成4組：[L12,1.14),[1.14,1.16),[1.16,1.18),[1.18,1.20),并繪制出如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)這批產(chǎn)品每件內(nèi)徑的平均值于(殘次品除外，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)

間中點(diǎn)的值為代表)；

(2)若這批產(chǎn)品每件內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(〃,0.0001),其中，的近似值為產(chǎn)品每件內(nèi)徑

的平均值元，請(qǐng)估計(jì)1500箱產(chǎn)品中內(nèi)徑位于(1.1452,1.1752)內(nèi)產(chǎn)品的件數(shù)；

(3)規(guī)定這批產(chǎn)品中內(nèi)徑位于［114』.18)內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，視頻率為概率，隨機(jī)打開一

箱，記優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為g,求g的數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量則P(〃—C7<X<〃+b)=o.6827,

P(〃一2cr<X<〃+2cr卜0.9545.

解：⑴由頻率分布直方圖可知,0.02x(4+15+20+/n)=l,解得加=u,

估計(jì)這批產(chǎn)品每件內(nèi)徑的平均值為：

x=1.13x4x0.02+1.15x15x0.02+1.17x20x0.02+1.19x11x0.02=1.1652.

(2)由題意和第(1)問可知，XN(",0.0001),且〃xl.1652,cr=0.01,

/.1.1452,//+CT?1.1752,

??.P(1.1452<X<1.1752)?P(//-2O-<X</7+O-)

=；P(〃-cr<X<〃+<r)+gP(〃-2。<X<fJ+2<r)

」x0.6827+-x0.9545=0.8186,

22

估計(jì)1500箱產(chǎn)品中內(nèi)徑位于(1.1452,1.1752)內(nèi)產(chǎn)品有1500x20x0.8186=24558件.

(3)由頻率分布直方圖可知，樣本中內(nèi)徑位于［114,1.18)的頻率為(15+20)x0.02=0.7,

用樣本估計(jì)總體，視頻率為概率，則隨機(jī)打開一箱，從中隨機(jī)抽取一件，這件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)

品的概率為夕=0.7,

一箱產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為自，則孑的所有可能取值為0,1,2,3,…，20,且J服從二

項(xiàng)分布8(20,0.7),

，所以J的數(shù)學(xué)期望為E/)=20x0.7=14.

20.如圖，在直三棱柱ABC-A8c中，底面443c是等腰直角三角，AC=BC=AA1=2,

D為側(cè)棱4A的中點(diǎn).

小

D

/C

A

(1)求證：BC工平面ACGA;

(2)求二面角片-co-G的正弦值.

(1)證明：因?yàn)镴3C是等腰直角三角形，S.AC=BC=2,則5CLAC,

因?yàn)樵谥比庵鵄BC-中，CG_L平面43C,

因?yàn)?Cu平面A8C,所以，BC1CC,,

因?yàn)锳CCC,=C,AC、CGu平面ACGA，故BC1平面4CCM.

(2)解：因?yàn)镃C1,平面ABC,AC1BC,

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC,所在直線分別為X、＞、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)、￡>(2,0,1)、4(0,2,2)、C,(0,0,2),

設(shè)平面B。。的法向量為加=(x,y,z),8=(2,0,1),CB,=(0,2,2),

m-CD=2x+z=0,、

則，取x=l,可得機(jī)=(1,2,—2),

m-CB}—2y+2z—0

易知平面CCQ的一個(gè)法向量為〃=(01,0),

因此，二面角片-CD-G的正弦值為興.

21.①離心率為立；②經(jīng)過點(diǎn)加,瓜*];③歸用=3,請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選擇一個(gè)

2\?

作為已知條件，回答下列問題.

已知橢圓=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，r2,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(虛,1),

(1)求橢圓的方程;

(2)過P的斜率為k(Z#O)的直線/與橢圓交于點(diǎn)。(異于點(diǎn)P),過耳與直線/垂直的直線交

橢圓于點(diǎn)A,B,記也中點(diǎn)為加(4y)，記A8的中點(diǎn)為N(%,/),求滿足

1=走空的直線/的斜率

解：(1)若選①，離心率為變,由題意得儼=從+。2,

2

c_V2

.a2

a=2

解得6=3,所以橢圓方程為工+zi=i.

r-42

c=v2

若選②，經(jīng)過點(diǎn)

將點(diǎn)網(wǎng)0,1)、△同代入橢圓方程得.；］，解得

H萬(wàn)印=

所以橢圓方程為三+上=1.

42

若選③，|P周=3.

丁+節(jié)=1a=2

ab

由題意得-a2=b2+c2,解得6=0,

7（V2+C）2+1=3c=\/2

所以橢圓方程為%

(2)由題意得直線/的方程為嚴(yán)+點(diǎn)。(七,力),

31

聯(lián)立直線/方程與橢圓方程42

y=%（工-0）+1

消去y并整理得（1+2X*+（耿-4辰卜+48一4瘋-2=0,

由△=（以一4&抬）2—4（1+2公）（以2-4^-2）

=1622+16&人+8=16&+孝）>0,則AH-日，

所以a+三=勺包二竺，則V也“四丁,

1+2公121+2公

由（1）知耳（-0,0）,

所以直線48的方程為尸-；（x+3）,即》=山-夜，

K

設(shè)點(diǎn)4（%，％），8（毛,%）,

11

---1---=1

聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程42

x=-ky-\/2

消去x并整理得（公+2）丁+2岳y-2=0,

因?yàn)锳>0,所以％+%=:受;，

因?yàn)镹是AB中點(diǎn)，所以％=筋，

：2."=K-irf2.

所以占=-佻-啦=^^-及，

2瓶/-2k_5

因?yàn)樯鲜?紙里，所以1_=名里，

Xz2-2V22

k2+2

化簡(jiǎn)得2右+缶2-2次-夜=0,則依2f（2Z+揚(yáng)=0,解得L=q（舍去）,

所以滿足條件的斜率&的值為-1或1.

2

22.己知函數(shù)f(x)=alnx+--------1.

x+1

3

(