2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章節(jié)綜合

2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與募函數(shù)章節(jié)綜合

1.（2023?北京房山?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（X）同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有

/（x）+f（-x）=0;②對(duì)任意實(shí)數(shù)小三，當(dāng)再+x,HO時(shí)，都有/=）+/（乜）＜0.則函數(shù)f（x）的解析式可能

xl+x2

為（）

A./（x）=2xB.f（x）=-2xC./（x）=2*D.f（x）=-2x

2.（2023?北京房山?統(tǒng)考一模）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是

95%~1∞%,當(dāng)血氧飽和度低于90%時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)

模型：S（r）=S°e”描述血氧飽和度S⑺隨給氧時(shí)間r（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中S。為初始血氧飽和

度，K為參數(shù).已知S。=60%,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%,則至少還

需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（）

（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：In2a0.69,In3≈1.10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

3.（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度丫（1^八）和燃料的質(zhì)量加（1^）

以及火箭（除燃料外）的質(zhì)量N（kg）間的關(guān)系為x21n（l+^）.若火箭的最大速度為12km∕s,則下列各數(shù)

中與2最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828）

N

A.200B.400

C.600D.800

4.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)

數(shù)學(xué)的三大成就.其中對(duì)數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)

家的壽命已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，則由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值（精確到0.001）,

可得N的值為（）

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

(X—C%≥O

5.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)設(shè)c∈R,函數(shù)/(X)=；一；若/U)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則C的取值范圍

[2,-2c,x<0.

是()

A.(0,1)B.(0}U[l,+∞)

C.(0,?)D.{0}U[g,+8)

6.(2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模)已知AX)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>O時(shí)，/(X)=Iog2X,則/(-2)=

()

A.-1B.0C.1D.2

7.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A./(x)=sinxB./(x)=2N

c.f(x)=xi+xD./(x)=∣(e^r-ev)

8.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)函數(shù)/(x)=e'-e-'的大致圖象是()

9.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)近年來純電動(dòng)汽車越來越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展

的風(fēng)口.PeUkert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：Ah),放電時(shí)間f(單位:h)與放電電流/(單

位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=I"?t,其中〃為PeUkert常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的PeUkert常數(shù)〃，在電

池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=2OA時(shí)，放電時(shí)間f=20h;當(dāng)放電電流/=5OA時(shí)，放電時(shí)間

∕=5h.若計(jì)算時(shí)取lg2*0.3,則該蓄電池的PeUkert常數(shù)〃大約為()

A.1.67B.1.5C.2.5D.0.4

10.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)如果函數(shù)/(x)滿足對(duì)任意s,re(0,E),有/(s+0<∕(s)+f。)，則稱

F(X)為優(yōu)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①g(x)=ln(l+X)(X>0)為優(yōu)函數(shù)；

②若/(x)為優(yōu)函數(shù)，≡/(2023)<2023/(1)；

③若"x)為優(yōu)函數(shù)，則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④若F(X)=△?在(0,+⑹上單調(diào)遞減，則/(X)為優(yōu)函數(shù).

X

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

11.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)函數(shù)"x)=√it+InX的定義域是

,,f(x-a+l)(x+l),Λ<l

12.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)/(幻={]八，,

lgx-a,x>1

①當(dāng)a=0時(shí)，/(/(D)=；

②若/(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

參考答案

1.B

【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有f(x)+∕(-X)=0,故函數(shù)為奇函數(shù);

對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)三，當(dāng)為+x,≠0時(shí)，都有〃為)+"■)<0,即"XJ+"τJ<0,即"芭)一二(XZ)<0,

X1÷x2X1-X2X1-X2

(X,≠Λ2),故函數(shù)單調(diào)遞減.

對(duì)選項(xiàng)A：/(x)=2x單調(diào)遞增，不滿足；

對(duì)選項(xiàng)B：/(x)=-2x單調(diào)遞減，且函數(shù)為奇函數(shù)，滿足；

對(duì)選項(xiàng)C：/(x)=2,單調(diào)遞增，不滿足；

對(duì)選項(xiàng)D：/(x)=-2*不是奇函數(shù)，不滿足.

故選：B

2.B

【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時(shí)間[的方程，解之即可求得給氧時(shí)間至少還需要的小時(shí)數(shù).

【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要f-l小時(shí)，

由題意可得60屋=80,60e~=90,兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，

f?λT=ln-=ln-=ln4-In3=21n2-ln3,ATr=In—=ln?=In3-ln2,

603602

則t=「二叱≈≈I.5,則給氧時(shí)間至少還需要0.5小時(shí)

21n2-ln32×0.69-1.10

故選：B

3.B

【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，求出K=e—’近似計(jì)算得解.

【詳解】由題意，火箭的最大速度為12km∕s時(shí)，可得12=21n(l+5)，

因?yàn)閑=2?71828,所以近似計(jì)算可得-1。402,

N

故選：B

4.C

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，N的70次方為83位數(shù)，所以N7%(d,1083),則Igd<]gW><lg]()83,即

82<701gN<83,整理得1.171<IgN<1.185,

根據(jù)表格可得Igl4=lg2+lg7=1.146<1.171,lg16=41g2=1.204>1.185,所以IgN=Ig15,即N=15.

故選：C.

5.D

%,x≥0

【分析】根據(jù)題意利用函數(shù)與方程的思想,可將g(x)=圖象平移對(duì)參數(shù)C進(jìn)行分類討論即可得出

2x,x<0

其取值范圍.

[X?>0

【詳解】畫出函數(shù)g(M=2：χ[0的圖象如下圖所示:

函數(shù)f(X)=｛；：2二：0可由g(x)弋,比分段平移得到,

易知當(dāng)C=O時(shí)，函數(shù)/(χ)恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意;

當(dāng)c<0時(shí)，代表圖象往上平移，顯然沒有零點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)c>0時(shí)，圖象往下平移，當(dāng)0<2c<l時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)2c≥l時(shí)，/(χ)恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，即c≥’;

2

綜上可得C的取值范圍是｛0｝ug,+8).

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及所給函數(shù)解析式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)χ>0時(shí)，∕ω=∣og2χ,

所以"-2)=-42)=-log?2=7.

故選：A

7.D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)"x)=SinX為奇函數(shù)，但在定義域R上函數(shù)不單調(diào)，故A不符合；

對(duì)于B,7(x)=2N的定義域?yàn)镽,/(-X)=2H=2H=∕(X),則"x)=2W為偶函數(shù)，故B不符合;

對(duì)于C,/(x)=V+X的定義域?yàn)镽,f(-x)=-xi-x=-f(x),則/(x)=x3+x為奇函數(shù)，又函數(shù)

y=?√,y=χ在R上均為增函數(shù)，故/(x)=√l+x在R上為增函數(shù)，故C不符合；

對(duì)于D,"x)=geT-e")的定義域?yàn)镽,/(-%)=?(e1-e^t)=-/(x),則〃》)=；?,七)為奇函數(shù),

又函數(shù)y=e-，在R上為減函數(shù)，y=e*在R上為增函數(shù)，故/(x)=g(eT-e')在R上為減函數(shù)，故D符合.

故選：D.

8.B

【分析】分析給定函數(shù)F(X)的奇偶性、單調(diào)性即可判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=e*-eτ定義域?yàn)镽,f(-x)=e^jc-et=-(e?-e^jr)=-/(%),函數(shù)是R上的奇函

數(shù)，

函數(shù)F(X)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱，選項(xiàng)A,D不滿足；

因?yàn)楹瘮?shù)y=e，在R上單調(diào)遞增，y=e-在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，選項(xiàng)C不滿足,

B滿足.

故選：B

9.B

【分析】由已知可得出可得出=4,利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)

算法則計(jì)算可得”的近似值.

20"X20—C(s

【詳解】由題意可得二二，所以，20,,×20≈50,,×5,所以，二=4,

50",×5=C⑵

,/Ig421g221g22×0.3,.

π=log4=-≡-=-?=——--≈----------=1.5

所以,is15rIgIOl-21g2l-2×0,3

S2S4

故選：B.

10.①②④

【分析】①計(jì)算出g(s)+g(z)-g(s+f)=ln[l+τ^3j>lnl=0,故g(s)+g(f)>g(s+f),得到①正確;

②賺值法得到2"1)>"2),3∕(1)>∕(3),依次類推得到/(2023)<2023/⑴；

③舉出反例；

④由F(X)=U在(0,+8)上單調(diào)遞減，得到達(dá)生土D<5,整理變形后相加得到

XS+tSs+tt

(s+f)∕(s+f)<(s+f)"(s)+∕(f)],gp∕(s+r)<∕(s)+∕(r),④正確.

【詳解】因?yàn)閟j∈(O,+∞),

所以g(s)+g(f)-g(s+r)=ln(l+s)+ln(l+f)-In(I+s+r)=In0；'，川+】

[1+s+f+sr(st?八

=In-------------=I1n1λ÷--------->1In1I=0,

1+s+fI1+5+rJ

故g(s)+g(r)>g(s+r),故g(χ)=l∏(l+χ)(χ>0)是優(yōu)函數(shù),①正確;

因?yàn)?x)為優(yōu)函數(shù)，?∕(1)+∕(1)>∕(1+1),即2"1)>∕(2),

/(2)+∕(l)>∕(2+l)=∕(3),故3∕(1)>∕(3),

同理可得4"1)>”4)...........2023/(1)>∕(2023),②正確；

例如/(0=一/,X>0,滿足/(s+r)-/(s)—?(r)=_(s+/J+./+產(chǎn)=_2”<0,

即/(s+1)<f(s)+/(f),為優(yōu)函數(shù)，但"x)=T2在Xe(O,+∞)上單調(diào)遞減，

故③錯(cuò)誤；

若F(X)=/也在(0,+8)上單調(diào)遞減，

X

任取S∕∈(0,M),s+t>s,s+t>t,

+

則尸(s+f)<F(s),F(s+f)<F(f),即弋“<&2,/"好<改,

變形為V(S+f)C(S+z)∕(s}∕(s+∕)<(s+f)∕(r),

兩式相加得:(s+r)f(s+r)<(s+f)[∕(s)+∕(/)],

因?yàn)閟+r>O,所以y(6+r)<∕(s)+∕(f),

則Ax)為優(yōu)函數(shù)，④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律：

(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使

用書上的概念.

11.(0,1]

【分析】由被開方數(shù)大于