八年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：三角形全等的判定5（HL）（教師版）

專題12.2.5三角形全等的判定5（HL）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“HL”條件判定兩個三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識精講知識精講知識點(diǎn)01三角形全等的判定5（HL）知識點(diǎn)直角三角形全等的判定：HL文字：在兩個直角三角形中，如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：HL）圖形：符號：在Rt與Rt中，【微點(diǎn)撥】證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．在直角三角形中，只須找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應(yīng)邊相等）【知識拓展1】HL判定三角形全等的條件例1．（2022·湖南懷化·八年級期中）如圖，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件_____.【答案】BD＝BC（或AD＝AC）【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，具備了一組斜邊、一組角相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等．【詳解】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD故答案為：BD＝BC（或AD＝AC）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【即學(xué)即練】1．（2022·河南周口·八年級期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件_____．【答案】AB＝AC【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等即可解答．【詳解】解：還需添加條件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．故答案為：AB＝AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．【知識拓展2】利用HL證明三角形全等（求線段的長度）例2．（2022·山東青島·一模）如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的長為（）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】作DF⊥AB于點(diǎn)F，由題意得到△ADB是等腰三角形，則∠ABD＝∠A＝40°，AB＝2AF＝2BF，再證明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），BF＝BE＝2，得到AB的長．【詳解】解：如圖，作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD＝BD∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°∴AB＝2AF＝2BF∵，，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°，∴∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°∴∠DBE＝∠ABD∵∴∠DE＝DF∵BD＝BD∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）∴BF＝BE＝2∴AB＝2BF＝4故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定方法等知識，難度不大，屬于常考題型，關(guān)鍵是證明兩直角三角形全等．【即學(xué)即練】2．（2022?西城區(qū)八年級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點(diǎn)，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點(diǎn)F．若CD＝3，則求CE的長．【分析】證明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．在Rt△BDC與Rt△AEC中，，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．3.（2022?承德八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一點(diǎn)，且BE＝BC，過E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，則AD+DE等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)HL證Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的性質(zhì)和判定，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，判斷直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【知識拓展3】利用HL證明三角形全等（求角的度數(shù)）例3．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，ABC中，，，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F為AB延長線上一點(diǎn)，且，，則（

）A．58° B．60° C．65° D．70°【答案】D【分析】先證明Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°，然后根據(jù)AB＝BC，∠ABC＝90°可得∠ACB的度數(shù)，即可求出∠ACF的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，在Rt△ABE與Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF＝25°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACF＝25°＋45°＝70°，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用HL證明Rt△ABE≌Rt△CBF是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】3．（2022·湖北孝感·八年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，則∠CEF＝_____°．【答案】45【分析】證明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），進(jìn)而證明是等腰直角三角形即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，△AEF是等邊三角形，，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，∵∠C＝90°，∴∠CEF＝45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明Rt△ABE≌Rt△ADF是解題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西·紫陽縣師訓(xùn)教研中心八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，，，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且．(1)求證：；(2)過點(diǎn)B作，且，求∠FBA度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)65°【分析】（1）證明即可得證；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)全等的性質(zhì)可得，由，，即可求解．（1）證明：，D為AB延長線上一點(diǎn)，在Rt△ABE和Rt△CBD中，，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，由（1）知，∴，，∴．∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．【知識拓展4】利用HL證明三角形全等（證明類）例4．（2022·湖南常德·八年級期中）如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=BC，∠1=∠2．(1)求證：Rt△ADE≌Rt△BEC；(2)△CDE是不是直角三角形？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)△DEC為直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平角的定義解答即可．（1）證明：∵∠1=∠2，∴ED=CE，∵∠A=∠B=90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）解：△CDE是直角三角形，理由如下：證明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED=∠BCE，∵∠B=90°，∴∠BCE+∠CEB=90°，∴∠AED+∠CEB=90°，∴∠DEC=180°-90°=90°，∴△DEC為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)HL證明Rt△ADE≌Rt△BEC是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF．則下列結(jié)論中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正確的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ADB=90°，然后可證△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∴，∵BF∥AC，∴，∴，即，∴，即AD是△ABC的高，故①正確；∵，AD=AD，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴，即AD是△ABC的中線，故②正確；∵BF∥AC，∴，∵，∴△DEC≌△DFB（AAS），∴ED＝FD，故③正確；過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，如圖所示：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，∴，∵AD=AD，∴（HL），∴，同理可知，∵，∴，故④正確；綜上所述：正確的個數(shù)有4個；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022?萬柏林區(qū)八年級月考）如圖，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求證：DE⊥AB．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：設(shè)AB與DE相交于點(diǎn)M，∵AC∥BD，∴∠C+∠DBE＝180°，∵∠C＝90°，∴∠DBE＝90°，在Rt△ACB與Rt△EBD中，，∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），∴∠ABC＝∠D，∵∠D+∠MEB＝90°，∴∠ABC+∠MEB＝90°，∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，∴DE⊥AB．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)HL判定Rt△ACB≌Rt△EBD是解題的關(guān)鍵．能力拓展能力拓展考法01利用HL判定三角形全等（動態(tài)全等問題）【典例1】（2021·北京市師達(dá)中學(xué)八年級期中）如圖，，cm，cm，點(diǎn)P在線段AC上，以每秒2cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)向C運(yùn)動，到點(diǎn)C停止運(yùn)動，點(diǎn)Q在射線AM上運(yùn)動，且，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為_________秒時，△ABC才能和△PQA全等．【答案】2或4【分析】據(jù)全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，∵，，∴當(dāng)AP=BC=4cm，時，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；當(dāng)AP=AC=8cm，時，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，綜上，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為2或4秒時，△ABC才能和△PQA全等．故答案為：2或4．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握證明直角三角形全等的HL定理，利用分類討論思想是解答的關(guān)鍵．變式1．（2021·湖南·長沙市八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△中，，，，一條線段，，兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)且垂直于的射線上運(yùn)動，要使△和△全等，則_____．【答案】12cm或6cm##6cm或12cm【分析】當(dāng)AP＝12cm或6cm時，△ABC和△PQA全等，根據(jù)HL定理推出即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①當(dāng)AP＝6cm＝BC時，在Rt△ACB和Rt△QAP中∵，∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②當(dāng)AP＝12cm＝AC時，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案為：12cm或6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．變式2.（2021?蘭山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q兩點(diǎn)分別在邊AC和射線AX上移動．當(dāng)PQ＝AB，AP＝時，△ABC和△APQ全等．【分析】分情況討論：①AP＝BC＝8cm時，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此時AP＝AC＝15cm．【解答】解：①當(dāng)P運(yùn)動到AP＝BC時，如圖1所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝B＝8cm；②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時，如圖2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），即AP＝AC＝15cm．綜上所述，AP的長度是8cm或15cm．故答案為：8cm或15cm．【點(diǎn)評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論，以免漏解．考法02利用HL證明三角形全等（探究類）【典例2】（2021?西湖區(qū)校級月考）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說明理由；（2）試判斷CE和DE的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，根據(jù)證明直角三角形全等的“HL”定理，證明即可；（2）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，再根據(jù)題意，∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，又∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，所以，∠AED+∠BEC＝90°，即可證得∠DEC＝90°，即可得出．【解答】解：（1）結(jié)論：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，而∠A＝∠B＝90°，AE＝BC∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE＝CE，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）結(jié)論：DE＝CE且DE⊥CE，理由如下：∵∠1＝∠2∴DE＝CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，又∵∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，∴2（∠AED+∠BEC）＝180°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥CE．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等時，關(guān)鍵是根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)臈l件．變式1.（2021?城北區(qū)校級月考）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點(diǎn)，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點(diǎn)F．試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關(guān)系，并說明你猜想的正確性．【分析】猜想：BF⊥AE，先證明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，從而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．∴在Rt△BDC與Rt△AEC中，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【點(diǎn)評】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性質(zhì)．猜想問題一定要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)圖形先猜后證．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）如圖，已知，，．則的理由是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】利用直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】證明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，∴∠C＝∠D＝90°，在Rt△CAB和Rt△DBA中，，∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)八年級期末）如圖，在Rt△ABC的斜邊AB上截取AD＝AC，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BC于E，則有（

）A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD【答案】B【分析】由“HL”Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．【詳解】解：如圖，連接AE，∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，在Rt△ACE和Rt△ADE中，∵AE=AE，AC=AD，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴DE=CE．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2022?寶安區(qū)八年級期中）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)直角三角形的全等的條件進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)AC＝AD時，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②當(dāng)∠ABC＝∠ABD時，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③當(dāng)BC＝BD時，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時直角三角形又是特殊的三角形，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．4.（2021?秦淮區(qū)期末）結(jié)合圖，用符號語言表達(dá)定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據(jù)條件可知，少一組斜邊，所以可添加為：AB＝DE．【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案為：AB＝DE．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的判定定理，5．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD與BE相交于點(diǎn)F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，則∠DBF的度數(shù)為_____．【答案】30°##30度【分析】首先根據(jù)“HL”證明Rt△BDF≌Rt△ADC，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC

（HL），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠DAB＝45°，∵∠ABE＝15°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握HL證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，連接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，則BE＝________．【答案】2【分析】根據(jù)HL證明，可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：AB⊥AD，CE⊥BD，，在與中，，，AD＝5，CD＝7，，BD=CD＝7，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握HL證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2022·廣西北?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF過點(diǎn)C，BE⊥EF于點(diǎn)E，DF⊥EF于點(diǎn)F，BE＝DF．求證：EC＝CF．【答案】見解析【分析】連接BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BC＝DC，根據(jù)HL證Rt△BCE≌Rt△DCF，即可得出答案．【詳解】證明：如圖，連接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，∵BE⊥EF于點(diǎn)E，DF⊥EF于點(diǎn)F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△BCE和Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），∴EC＝CF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．8．（2022·遼寧錦州·八年級期中）如圖，已知D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF，求證：AB＝AC．【答案】見解析【分析】利用“HL”證明△BDE和△CDF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠B=∠C，然后根據(jù)等角對等邊即可得證．【詳解】證明：∵D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，∴BD=CD，△BDE、△CDF均為直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了利用等角對等邊證明線段相等，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握HL證明直角三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．（2022·陜西渭南·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，AC平分，，交AD的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：是等腰三角形；(2)連接BE，求證：AC垂直平分BE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求出∠DCA＝∠DAC，由等腰三角形的判定可得結(jié)論成立；（2）證明Rt△CEA≌Rt△CBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AB，根據(jù)線段垂直平分線的判定即可得到AC垂直平分BE．（1）證明：∵ABDC，∴∠DCA＝∠CAB，∵AC平分，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴是等腰三角形；（2）∵AC是∠EAB的平分線，CE⊥AE，CB⊥AB，∴CE＝CB，∠CEA＝∠CBA＝90°，又∵AC＝AC，∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），∴AE＝AB，∴點(diǎn)A、點(diǎn)C在線段BE的垂直平分線上，∴AC垂直平分BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義和性質(zhì)，等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證．10．（2021·湖北咸寧·八年級期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于點(diǎn)O．(1)求證：Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)求證：AO＝DO．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由HL證明Rt△ABC≌Rt△DCB即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠DBC，再由等腰三角形的判定得BO=CO，即可得出結(jié)論．（1）∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DCB中∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴BO＝CO，∵AC＝BD，∴AC﹣CO＝BD﹣BO，∴AO＝DO．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識；熟練掌握等腰三角形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．題組B能力提升練1．（2022·陜西·咸陽市秦都區(qū)電建學(xué)校八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DB＝DC，，，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝DF．求證：．以下是排亂的證明過程：①∴∠BED＝∠CFD＝90°，②∴．③∵DE⊥AB，DF⊥AC，④∵在和中，，證明步驟正確的順序是（

）A．③→②→①→④ B．③→①→④→②C．①→②→④→③ D．①→④→③→②【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義得出∠BED=∠CFD=90°，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)A、選項(xiàng)C、選項(xiàng)D都錯誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直定義和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．2．（2022·廣東·普寧市紅領(lǐng)巾實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）如圖所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③【答案】B【分析】本題的關(guān)鍵是證明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．【詳解】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正確；在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正確；不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．難度一般．3．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在△ABC中，，，D為BC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，．若，則∠BAD的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)“HL”證明，得出，再根據(jù)為等腰直角三角形，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，，，，，∴和為直角三角形，∵在和中，，∴（HL），，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件證明是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?金水區(qū)校級月考）下列說法正確的有（）①兩個銳角分別相等的的兩個直角三角形全等；②一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等；③兩邊分別相等的兩個直角三角形全等；④一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法逐條判定即可得到結(jié)論，【解答】解：①兩個銳角分別相等的的兩個直角三角形不一定全等，故該說法錯誤；②如圖，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求證：△ABC≌△DEF，證明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等的說法正確；③兩對應(yīng)邊分別相等的兩個直角三角形全等，如果是一個直角三角形的兩條直角邊和另一個直角三角形的一條直角邊和一條斜邊分別相等，這兩個直角三角形不全等，故該說法錯誤；④一個銳角和一條邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形不一定全等，如果一個直角三角形的一條直角邊和另一個直角三角形的一條斜邊相等，這兩個直角三角形不全等，故該說法錯誤；故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握全等三角形判定方法是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇泰州·八年級期中）如圖，正方形中，是上一點(diǎn)，給出下列三條信息：①，②，③，請從上述三條信息中選擇兩個作為已知條件，選擇另外一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號）．【答案】②③，①【詳解】選擇的條件是：②，③，結(jié)論是：①，理由如下：如圖，連接BF，∵四邊形是正方形，∴∠C=90°，∠BDC=45°，又∵，∴為等腰直角三角形，∴DE=EF,∵,∴EF=CF，在和中，，∴，∴BE=BC，∵四邊形是正方形，∴AB=BC，∴BE=AB．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，正確做出輔助線并根據(jù)HL定理證明是解題關(guān)鍵．6．（2021·湖北·八年級期中）如圖，在中，，，，線段，，兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)且垂直于的射線上運(yùn)動，當(dāng)__________時，和全等．【答案】5或10【分析】當(dāng)AP＝5或10時，△ABC和△PQA全等，根據(jù)HL定理推出即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①當(dāng)AP＝5＝BC時，在Rt△ACB和Rt△QAP中∵，∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②當(dāng)AP＝10＝AC時，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案為：5或10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．7．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．(1)求證：∠1＝∠3；(2)試判斷線段BN與CM的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)答案見解析(2)CM＝BN；證明見解析【分析】（1）利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后證明即可；（2）利用“角邊角”證明△AEM和△AFN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM＝AN，然后列式整理即可得到CM＝BN．（1）證明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL），∴∠BAE＝∠CAF，∵∠1＝∠BAE﹣∠2，∠3＝∠CAF﹣∠2，∴∠1＝∠3；（2）CM＝BN，證明：∵Rt△ABE≌Rt△ACF，∴AE＝AF，在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN（ASA），∴AM＝AN，∵CM＝AC﹣AM，BN＝AB﹣AN，∴BN＝CM．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判斷方法并準(zhǔn)確識圖確定出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明≌，可得，再證明≌，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得，從而可得．（1）證明：連接CD，BD，如圖所示：為的垂直平分線，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，為的角平分線；（2）解：，理由如下：≌，，又，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．9．（2021·河北承德·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D為邊BC上的點(diǎn)，連接AD，∠BAD=α，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E．(1)∠B=°；(2)若線段AB=8cm，則BC=；(3)若DE=DC，求α的度數(shù)．【答案】(1)60(2)4cm(3)15°【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠B的度數(shù)；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BC＝，可得答案；（3）利用HL證明Rt△ADE≌Rt△ADC，得∠DAE＝∠DAC＝．（1）解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°，故答案為60；（2）解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝，∵AB＝8cm，∴BC＝4cm，故答案為：4cm；（3）解：在Rt△ADE與Rt△ADC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴∠DAE＝∠DAC＝，∴α＝15°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的安定與性質(zhì)等知識，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10．（2021·湖北宜昌·八年級期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一點(diǎn)，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度數(shù)；(2)求證：BC＝2AB．【答案】(1)40°(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ECB=∠EBC=20°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案；（2）作EF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=2BF，證明Rt△ABE≌Rt△FBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC=20°，∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=20°，∵∠DEC是△EBC的一個外角，∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；（2）證明：過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA=EF，在Rt△AEB和Rt△FEB中，∵，∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL），∴AB=FB（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∵EB=EC，EF⊥BC，∴BC=2FB，∴BC=2AB．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2021·北京市海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）如圖，，分別是，上的點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，若，，則下面三個結(jié)論：①；②；③，正確的是（

）A．①③B．②③C．①②D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的判定，先證是的平分線，再證，可證得，成立．【詳解】解：如圖示，連接，，是的平分線，，①正確．，②正確．只是過點(diǎn)，并沒有固定，明顯③不成立．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分線的判定和平行線的判定，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)且OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四邊形AOCP．其中正確的為（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④【答案】A【分析】①連接OB，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得OB=OC=OP，即可解題；②根據(jù)周角等于360°和三角形內(nèi)角和為180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解題；③在AC上截取AE=PA，易證△OPA≌△CPE，可得AO=CE，即可解題；④作CH⊥BP，可證△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根據(jù)全等三角形面積相等即可解題．【詳解】解：①連接OB，如圖1，∵△ABC中高AD恰好平分邊BC，即AD是BC垂直平分線，∴AB=AC，BD=CD，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，∴∠APO+∠DCO=30°．故①正確；②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，∴∠POC=2∠ABD=60°，∵PO=OC，∴△OPC是等邊三角形，故②正確；③如圖2，在AC上截取AE=PA，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正確；④如圖3，作CH⊥BP，∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，∴∠PCH=∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD=S△CHP，∴CH=CD，∵CD=BD，∴BD=CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD=S△AHC，∵四邊形OAPC面積=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，∴四邊形OAPC面積=S△ABC．故④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東·珠海市文園中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知，延長BC交EF于點(diǎn)D，若BD＝5，BC＝4，則DE長是（

）A．2 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】連接AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF=DC=1，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AD．∵△ABC?△AEF，∴AF=AC，在Rt△ADF和Rt△ADC中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF=DC，∵BD=5，BC=4，∴CD=DF=5-4=1，∵EF=BC=4，∴DE=EF-DF=4-1=3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2022·河南洛陽·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，則∠ACF的度數(shù)為________°．【答案】61【分析】由“HL”可證Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝16°，即可求解．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE＝29°，∴∠BAE＝16°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF＝16°，∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，故答案為：61．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明Rt△ABE≌Rt△CBF是本題的關(guān)鍵．5．（2022·河南駐馬店·八年級期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，，若，則的度數(shù)為_____．【答案】【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，可證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵AB=AC，∴E是BC的中點(diǎn)，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運(yùn)用定理進(jìn)行判定是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，將矩形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A，C，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為．當(dāng)點(diǎn)落在x軸的正半軸上時，點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】連接，，證明，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，由題意得OA=BC=2，OC=AB=4，由旋轉(zhuǎn)可知，在和中，∴（HL），∴，∴坐標(biāo)為（4,0），故答案為：（4,0）．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)是證明．7．（2021·遼寧沈陽·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于點(diǎn)M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，則四邊形ABCD的周長為_____cm．【答案】13【分析】過C作CE⊥AD的延長線于點(diǎn)E，由條件可證△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．證明△ECD≌△MBC，由全等的性質(zhì)可得DE＝MB，BC＝CD，則問題可得解．【詳解】解：如圖，過C作CE⊥AD的延長線于點(diǎn)E