安徽省淮北市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

淮北市2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考試務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求得集合B，再根據(jù)并集的概念計(jì)算即可.【詳解】由可得，即，而，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可化簡，由共軛的定義即可求解.【詳解】由得，故，故選：A3.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，且，則 B.若，且，則C.若，且，則 D.若，且，則【答案】D【解析】【分析】構(gòu)建正方體，利用其特征結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】如圖所示正方體，對于A，若對應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故A錯誤；對于B，若對應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故B錯誤；對于C，若對應(yīng)直線與平面，平面，顯然符合條件，但，故C錯誤；對于D，若，且，又，是兩個不同的平面，則，故D正確.故選：D4.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，即可充要條件的定義求解.【詳解】若是遞增數(shù)列，則公差，所以，故，所以為遞增數(shù)列，若為遞增數(shù)列，則，則，故，所以是遞增數(shù)列，故“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C5.已知定義在上奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)出函數(shù)的周期，的范圍，利用已知和推導(dǎo)出的關(guān)系將所求轉(zhuǎn)化為內(nèi)求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且滿足.所以，即，所以，所以是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)?所以所以.故選：B6.已知雙曲線的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到雙曲線的漸近線過圓心，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】由圓的方程，可得圓心為，半徑為又由雙曲線，可得其中一條漸近線方程為，即，因?yàn)殡p曲線的漸近線交圓于兩點(diǎn)，且，所以圓心在直線，即，可得，則雙曲線的離心率為.故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋⒁獾剑?又，所以.故選：A.8.已知方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有解，即函數(shù)與圖象有兩個交點(diǎn)，結(jié)合過定點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)AB，再將方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個解，由，即可判斷選項(xiàng)C，結(jié)合基本不等式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，方程轉(zhuǎn)化為，令，則，令，則，因?yàn)椋?，所以為增函?shù)，且.所以當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，且，時，，，，時，，，，所以可得圖象如圖所示，方程有兩個不相等實(shí)根，即直線與函數(shù)圖象有兩交點(diǎn)，又直線過定點(diǎn)，故.AB錯誤；又方程轉(zhuǎn)化為，令.，而在上為增函數(shù)，且，故當(dāng)時，即在上為減函數(shù)，當(dāng)時，即在上為增函數(shù)，故又，又有兩個解，即，不妨設(shè)，故，而，所以即.C正確；由C知，，所以，D錯.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用舉反例和不等式得性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)為負(fù)數(shù)時A可能不成立，例如但是錯誤的.因?yàn)楦鶕?jù)不等式性質(zhì)可得正確.因?yàn)椋运约此怨蔆錯誤.因?yàn)?，所以，所以正確.故選：BD10.已知函數(shù)，，（）A.存在實(shí)數(shù)使得在單調(diào)遞減B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則的最小值為2C.若，將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象D.若，的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，因?yàn)?，，因?yàn)?，所以不存在?shí)數(shù)使得在單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以，所以，，因?yàn)?，所以的最小值?，故B正確；對于C，若，，將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象，則，故C正確；對于D，若，，，，當(dāng)時，的最大值為，故D正確.故選：BCD.11.如圖，邊長為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，，，.（）A. B.存在點(diǎn)，使C.若，則點(diǎn)的軌跡長度為2 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解A，根據(jù)共線即可得矛盾求解B，根據(jù)共線即可求解C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合圖形關(guān)系即可求解D.【詳解】設(shè)為正六邊形的中心，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得且四邊形均為菱形，，故A正確，假設(shè)存在存在點(diǎn)，使，則,其中點(diǎn)為以為鄰邊作平行四邊形的頂點(diǎn)，所以在直線上，這與點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)矛盾，故B錯誤，當(dāng)時，，取,則,所以點(diǎn)的軌跡為線段,其中分別為過點(diǎn)作與的交點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，所以,故點(diǎn)的軌跡長度為1，C錯誤，由于,,過作于，則,所以此時，由于分別為上的分量，且點(diǎn)點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，所以當(dāng)位于時，此時同時最小，故的最小值為故選：AD12.已知，，，四點(diǎn)在球心為，半徑為5的球面上，且滿足，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則（）A.點(diǎn)有可能在上B.線段的長有可能為7C.四面體的體積的最大值為20D.四面體的體積的最大值為56【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)，分析出點(diǎn)、軌跡即可得出點(diǎn)是否能在上；B項(xiàng)，對點(diǎn)、位置進(jìn)行變換，即可得出線段的長的可能值；C項(xiàng)，求出面積和點(diǎn)到面最大值，即可得出四面體的體積的最大值；D項(xiàng)，作出四面體，即可得出四面體的體積的最大值.【詳解】由題意，注意到點(diǎn)、軌跡分別為以為球心，以4、3為半徑的兩同心球面上，、分別為兩球面的切線.A項(xiàng)，點(diǎn)在內(nèi)球面上，線段是中球面切線，所以點(diǎn)不可能在線段上，選項(xiàng)A錯誤.B項(xiàng)，最大，此時，選項(xiàng)B正確.C項(xiàng)，∵，點(diǎn)到面最大值為5，∴最大值為20，選項(xiàng)C正確.D項(xiàng)，當(dāng)，最大時，四面體體積最大.連結(jié)，，注意到，此時四面體體積為，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的作圖，位置的變化，四面體體積的求法，考查學(xué)生分析和處理問題的能力，作圖能力具有較強(qiáng)的綜合性.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)齊次式即可求解.【詳解】由可得，故，又，解得或，由于，，故，又，故，因此，故，故答案為：14.正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及等比中項(xiàng)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)的公差為，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.故答案為：15.已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù)____________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)共線，作，垂足分別為，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)知：共線，且，如下圖，作，垂足分別為，則，所以，又，則，所以，即，故.故答案為：216.記不超過的最大整數(shù)為.若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)的值可以是___________（寫出滿足條件的一個的值即可）.【答案】（答案不唯一，取內(nèi)得任一值即可）.【解析】【分析】根據(jù)題意取，，，則，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，然后，，和四種情況分析討論即可求出答案.【詳解】取，，.則.題意等價于在區(qū)間上既有最大值，又有最小值.當(dāng)時，在上為增函數(shù)，只有最小值，無最大值；當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，此時，有最小值，無最大值；當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，此時，最大值為，最小值為；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，有最大值，無最小值.綜上，的取值范圍是.故答案為：（答案不唯一，取內(nèi)得任一值即可）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化再結(jié)合余弦定理化簡即可得出答案.（2）在由余弦定理求出，即可得出，在中由余弦定理求解即可得出答案.【小問1詳解】由，得，即，.所以，故.【小問2詳解】在中，，，，由余弦定理可得：，化簡可得：，解得：或（舍去）.又因?yàn)?，?在中，，故.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的正切值為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面與平面的法向量，根據(jù)平面與平面夾角正切值求得參數(shù)，得幾何體的高，計(jì)算體積.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，【小?詳解】因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，過作，交于，結(jié)合題設(shè)，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)?，可設(shè)（），所以，，設(shè)面法向量為，則，令，得，易知平面法向量為，平面與平面夾角正切值為，所以余弦值為，故，解得，所以，故.19.某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？（2）求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．【答案】(1)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間;(2)見解析.【解析】【分析】（1）由題意知求出f（x）＞40時x的取值范圍即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，再說明其實(shí)際意義．【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時，，即，解得或，∴時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；說明該地上班族中有小于的人自駕時，人均通勤時間是遞減的；有大于的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)時，人均通勤時間最少．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論與分析問題、解決問題的能力．20.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，記、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，分為偶數(shù)和為奇數(shù)，兩種情況討論，分別求得的表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)，即可得證.【小問1詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，可得，可兩式相減，可得，所以，解得或，又因?yàn)閿?shù)列為遞增的等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，可得.當(dāng)為偶數(shù)時，.此時，.當(dāng)時，，所以成立.當(dāng)為奇數(shù)時，.檢驗(yàn)知，當(dāng)時，上式也成立.此時，，當(dāng)時，，所以成立.綜上所述，當(dāng)時，成立.21.已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形，即可結(jié)合余弦定理求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而可得直線方程，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】由題意得，得又，，在中化簡得，解得，所以得橢圓方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線有斜率且不為0時，設(shè)，，由消整理得：因橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交得，又為線段中點(diǎn)，所以所以，得由，消整理得：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得：整理得：（※）又，帶入（※）得，約去得即所以點(diǎn)在定直線上.當(dāng)直線斜率0時，則軸，此時,,由可得，則，點(diǎn)在定直線上.當(dāng)直線無斜率時，此時方程為，此時軸，則在軸上，故,由可得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)在定直線上.綜上可得：點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);若直線方程為(為定值),則直線過定點(diǎn)22.已知函數(shù)，，（）.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若有兩個不同極值點(diǎn)，分別記為，，且.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若不等式恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)的取值范圍.【答案】