江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)卷高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【詳解】由題得又因?yàn)?，所以．故選：D2.下列調(diào)查方式中，可用普查的是（）A.調(diào)查某品牌電動(dòng)車市場(chǎng)占有率 B.調(diào)查2023年杭州亞運(yùn)會(huì)的收視率C.調(diào)查某校高三年級(jí)的男女同學(xué)的比例 D.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率【答案】C【解析】【分析】根據(jù)普查適合調(diào)查對(duì)象數(shù)目較少的情況來(lái)判斷即可.【詳解】選項(xiàng)ABD調(diào)查對(duì)象的數(shù)目較多，適合采用抽查；C調(diào)查對(duì)象的數(shù)目較少，適合采用普查.故選：C3.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，則函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)．故選：B.4.已知，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】由題可知，為增函數(shù)，再由，所以，根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，零點(diǎn)在范圍內(nèi)．故選：B.6.國(guó)家高度重視青少年心理健康問(wèn)題，某校為了調(diào)查學(xué)生的心理健康狀況，決定從每班隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．若某班有45名學(xué)生，將每一學(xué)生從01到45編號(hào)，從下面所給的隨機(jī)數(shù)表的第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個(gè)數(shù)字，則選取的第三個(gè)號(hào)碼為（）隨機(jī)數(shù)表如圖：251263176323261680456011243253270941145720425332373227073607742467624281219137263890014005232617301423102118A.32 B.37 C.27 D.07【答案】C【解析】【分析】利用隨機(jī)數(shù)表法，按照給定條件一次選取符合要求的號(hào)碼即可.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個(gè)數(shù)字，去掉超過(guò)45和重復(fù)的號(hào)碼，選取的前3個(gè)數(shù)依次為32、37、27，故選取的第三個(gè)號(hào)碼為27.故選：C7.地震的震級(jí)直接與震源所釋放的能量大小有關(guān)，可以用關(guān)系式表達(dá)：，其中為震級(jí)，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級(jí)地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級(jí)地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（）倍（參考數(shù)據(jù)：）A.110 B.115 C.120 D.125【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.【詳解】第一次，即①，第二次，即②，①②得，，即由題可知，，故選：D．8.已知（且且），則函數(shù)與的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，討論的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的單調(diào)性，即可得到答案.【詳解】由，即為，即有；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，選項(xiàng)B滿足；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，四個(gè)圖象均不滿足，在同一坐標(biāo)系中的圖象只能是B．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.從某市高一年級(jí)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，下列說(shuō)法不正確的是（）A.總體指的是該市高一年級(jí)考試的全體學(xué)生 B.樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)C.樣本容量指的是2000名學(xué)生 D.個(gè)體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生【答案】ACD【解析】【分析】從總體，個(gè)體，樣本和樣本容量的定義逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A：總體指的是該市高一年級(jí)考試全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B正確；對(duì)于C：樣本容量指的是2000，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：個(gè)體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故D錯(cuò)誤．故選：ACD.10.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】借助奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：定義域或，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故D正確．故選：ABD.11.2023年8月8日是我國(guó)第15個(gè)“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意識(shí)，讓健身成為一種習(xí)慣和風(fēng)俗，為倡導(dǎo)健康生活方式，某大學(xué)社團(tuán)聯(lián)合學(xué)生會(huì)倡議全校學(xué)生參與“每日萬(wàn)步行”健走活動(dòng)．下圖為該校甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）甲、乙步數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)小于乙的日步數(shù)的中位數(shù)B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的日步數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是12400【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)折線圖得到這一星期內(nèi)甲，乙的日步數(shù)，都從小到大進(jìn)行排列，得到中位數(shù)后即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式，計(jì)算出這一星期內(nèi)甲，乙的日步數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)圖象觀察甲的波動(dòng)程度較大，故方差較大，從而判斷選項(xiàng)C；把乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大進(jìn)行排列，并計(jì)算，故第六個(gè)數(shù)為所求，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由折線圖可得甲一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，所以中位數(shù)為12600；由折線圖可得乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，所以中位數(shù)為12600；故這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600，A錯(cuò)誤；這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：，這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：，因?yàn)?，故B正確；由圖知，甲的波動(dòng)程度較大，故方差，標(biāo)準(zhǔn)差較大，故C正確；乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是13800，故D錯(cuò)誤．故選：BC.12.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)存在零點(diǎn)D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】計(jì)算即可得A，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方式可得B，由可得C，結(jié)合單調(diào)性可得不等式，解出可得D.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，、，且都上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，，函數(shù)沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由前可知，不等式滿足或或，解得，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域解不等式即可求解.【詳解】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可知，解不等式得，因此函數(shù)的定義域是.故答案為：.14.某校有高級(jí)教師90人，中級(jí)教師150人，其他教師若干人．為了了解教師的健康狀況，從中抽取60人進(jìn)行體檢．已知高級(jí)教師中抽取了18人，則從中級(jí)教師中抽取的人數(shù)是______．【答案】30【解析】【分析】由題意可先計(jì)算抽樣比，再由抽樣比求出結(jié)果．【詳解】由題意知，抽取的比例為，則中級(jí)教師抽取人.故答案為：3015.已知函數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】判斷的奇偶性和單調(diào)性，再結(jié)合一元二次不等式的求解方法，求解即可.【詳解】易知的定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故為奇函數(shù)，，又均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故為上的增函數(shù)；即，故．故答案為：.16.已知函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)于任意，當(dāng)時(shí)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，說(shuō)明其在單調(diào)遞減，又將化為，令，則，又，從而利用函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，則,又因?yàn)?，，所以，則，令，則，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?，所以可變?yōu)?，即①，令，則①可變?yōu)棰?，又因?yàn)?，故②變?yōu)?，又在?nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，則．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)，變形為，從而構(gòu)造函數(shù)，并說(shuō)明其為單調(diào)減函數(shù)，由此可解決問(wèn)題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用指數(shù)冪的運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算即可.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】.18.已知函數(shù)（1）在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】（1）圖見解析；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域?yàn)?【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征即可畫出所求分段函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象觀察可知即可得出結(jié)果.【詳解】（1）利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征即可畫出分段函數(shù)的圖象為：（2）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的值域?yàn)?9.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者．某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值和樣本成績(jī)的四分位數(shù)；（2）已知落在的平均成績(jī)是65，方差是11，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是16，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．【答案】（1），65，75，84（2）71，38【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；（2）由和組的平均數(shù)和方差即可求得總平均數(shù)和總方差.【小問(wèn)1詳解】利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得．四分位數(shù)分別第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，設(shè)第百分位數(shù)為，則；設(shè)第百分位數(shù)為,則；設(shè)第百分位數(shù)為,則；所以該數(shù)據(jù)的四分位數(shù)分別為65，75，84.【小問(wèn)2詳解】由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，所以；由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為．20.已知函數(shù)，（，且）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上取得最大值2？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.（2）先令，并求值域，再分別對(duì)進(jìn)行分類求的最大值，進(jìn)而求的值.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，令，則，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線當(dāng)，函數(shù)在上遞增，在上遞減．所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，（，且）.令，由，得，則的值域?yàn)?（?。r(shí)，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值為，則，，滿足題意.（ⅱ）時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，滿足題意．綜上所述：的值為或.21.芯片是現(xiàn)代科技發(fā)展的重要組成部分，它的出現(xiàn)和發(fā)展對(duì)科技領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響．芯片的應(yīng)用非常廣泛，從智能手機(jī)、電腦、平板電腦到汽車、醫(yī)療設(shè)備、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為進(jìn)一步激勵(lì)國(guó)內(nèi)科技巨頭加大科技研發(fā)投入的力度．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部還需另投入10萬(wàn)元．若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬(wàn)部并能全部銷售完；平均每萬(wàn)部的銷售收入為萬(wàn)元，且（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)部）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）（2）當(dāng)產(chǎn)量為40萬(wàn)部時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為550萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果；（2）利用分段函數(shù)的最值，先求出和范圍內(nèi)的最值