第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程

第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程第1頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第二篇流體動(dòng)力學(xué)基本原理及流體工程流體動(dòng)力學(xué)微分形式基本方程流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程伯努利方程及其應(yīng)用量綱分析和相似原理流動(dòng)阻力與管道計(jì)算邊界層理論

流體繞過(guò)物體的流動(dòng)

氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第2頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月流體動(dòng)力學(xué)的基本方程可以對(duì)系統(tǒng)建立，也可以對(duì)控制體建立，所謂系統(tǒng)是指確定不變的物質(zhì)的組合。所謂控制體是指相對(duì)于某一坐標(biāo)系固定不變的空間體積，它的邊界面稱(chēng)為控制面。三大守恒定律的原始形式是對(duì)系統(tǒng)建立的，但在許多流體力學(xué)實(shí)際問(wèn)題中如對(duì)控制體建立方程，應(yīng)用起來(lái)更為方便。所以流體動(dòng)力學(xué)中討論的基本方程多數(shù)是對(duì)控制體建立的。求解對(duì)有限控制體建立的積分形式基本方程，可以給出流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的總體性能關(guān)系，如流體與物體間作用的合力和總的能量交換等。本章討論流體動(dòng)力學(xué)的積分形式基本方程。

第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第1頁(yè)第3頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第2頁(yè)第一節(jié)連續(xù)性方程如圖6.1所示，令為控制體體積，A為控制面面積，為法線單位向量，w和

分別為流體速度和密度。將質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于控制體可知，單位時(shí)間內(nèi)流入控制體的質(zhì)量等于控制體內(nèi)質(zhì)量的增加，控制面外其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式（6.1）稱(chēng)為積分形式連續(xù)性方程。對(duì)于定常流動(dòng)，上式等號(hào)右邊為零。若控制體由流管及其進(jìn)出口橫截面A1，A2構(gòu)成，且假設(shè)進(jìn)出口、、、均為常數(shù)，則（6.1）式變?yōu)椋?.1）截面上流動(dòng)參數(shù)均勻，即

（6.2）式中為流管內(nèi)的質(zhì)量流量（kg/s）。該式僅適用于定常流動(dòng)。如流體是不可壓縮的，則（6.2）式可寫(xiě)成（6.3）第4頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第3頁(yè)第一節(jié)連續(xù)性方程圖6.1控制體和控制面wnpndAAn1n2w2A2A1w1qRd

RRoF

q

式中Q為流管內(nèi)的體積流量（m3/s）。應(yīng)該指出，對(duì)不可壓縮流體，所以（6.3）式也適用于不定常流動(dòng)。應(yīng)該指出，對(duì)不可壓縮流體，第5頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如圖6.1所示，令為流體應(yīng)力，即外部作用于控制面上單位面積的力，p為壓力，為外部作用于控制體上單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力。在重力場(chǎng)中，為重力加速度。將動(dòng)量守恒定律應(yīng)用于控制體可知，單位時(shí)間內(nèi)流入控制體的動(dòng)量與作用于控制面及控制體上外力之和等于單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量的增加。

第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第1頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

一、靜止控制體的動(dòng)量方程作用于控制體上的力為

作用于控制面上的力為

單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量的增量為

單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流入控制體的動(dòng)量為

第6頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第2頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

按照動(dòng)量守恒定律可寫(xiě)出靜止控制體的動(dòng)量方程：

對(duì)于定常流動(dòng)，則（6.4）式變?yōu)?/p>

（6.5）（6.4）（6.5）式表示定常流動(dòng)時(shí)作用于控制面和控制體上的力之和等于單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量。例題6.1如圖6.2所示，不可壓流體定常流過(guò)截面積為A的等截面彎管，求流體作用于彎管上的力F。已知進(jìn)出口截面流動(dòng)均勻，忽略質(zhì)量力，且已知w1，A，

，p1，p2及出口截面方向

。第7頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第3頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

圖6.2流體流過(guò)等截面彎管p1w2yw1Fyx

p2Fxo解：選取流體與彎管壁面的交界面及進(jìn)出口截面為控制面，并選取xoy坐標(biāo)系。已知，，，，

，，，，，這里Ab為彎管壁面面積，代入（6.5）式得又由連續(xù)性方程（6.3）可知

第8頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第4頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

代入上式得到流體對(duì)彎管的作用力

二、運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量方程控制體速度為，流體在控制體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度為，其絕對(duì)速度為，參照靜止控制體的動(dòng)量方程（6.4），可推導(dǎo)出

運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量方程。流入控制體的動(dòng)量為

單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量的增加

（b）（a）第9頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第5頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

將式（a），（b）代入式（6.4）得到

由連續(xù)性方程可知，則（c）式變?yōu)?/p>

（6.6）式稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)控制體的動(dòng)量方程。（c）（6.6）例題6.2求如圖6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。解：首先求火箭發(fā)動(dòng)機(jī)排出氣體對(duì)火箭殼體的作用力。選取燃燒室內(nèi)的氣體作為控制體，由于火箭不需要空氣，所以控制面沒(méi)有進(jìn)口。

第10頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第6頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

w圖6.3垂直上升的火箭UppamRFxAwpAmRgFdFxpa (b)(a)(c)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴嘴的截面積為A，燃燒室內(nèi)氣體的質(zhì)量為mf，排出氣體的質(zhì)量流率為、相對(duì)速度為w、壓力為p，火箭殼體對(duì)氣體的作用力為Fx，大氣壓力為pa，如圖6.3（b）所示。若燃燒室內(nèi)的流動(dòng)是穩(wěn)定的，則由（6.6）式可以得到現(xiàn)在考慮火箭殼體的受力，火箭的質(zhì)量為mR、受阻力Fd（圖6.3（c）），則第11頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第7頁(yè)第二節(jié)動(dòng)量方程

由于燃燒室內(nèi)氣體的質(zhì)量相對(duì)于火箭總質(zhì)量為一微量，則由上面兩式可以求得火箭運(yùn)動(dòng)的加速度為第12頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第1頁(yè)第三節(jié)動(dòng)量矩方程

如圖6.1所示，o為某一參考點(diǎn)，R為o點(diǎn)到控制面或控制體的向徑，其它符號(hào)同前。將動(dòng)量矩守恒定律應(yīng)用于控制體可知：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入控制體的動(dòng)量以及作用于控制體與控制面上的外力對(duì)參考點(diǎn)o之矩等于單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩的增量。

作用于控制面上的力矩為

作用于控制體上的力矩為

通過(guò)控制面流入控制體的動(dòng)量矩為

單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量矩的增量

按動(dòng)量矩守恒定律得到其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

（6.7）（6.7）式稱(chēng)為積分形式的動(dòng)量矩方程，對(duì)于定常流動(dòng)，（6.7）式等號(hào)右端為零。第13頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月處葉輪進(jìn)出口圓周為控制面，由于對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)對(duì)軸心取力矩時(shí)，重力和壓力的力矩為零。第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第2頁(yè)第三節(jié)動(dòng)量矩方程

2圖6.4離心壓縮機(jī)葉輪u2

r2u1c2w2

1c1w1r1o例題6.3如圖6.4所示，離心壓縮機(jī)葉輪轉(zhuǎn)速為，帶動(dòng)流體一起旋轉(zhuǎn)，圓周速度為，流體沿葉片流動(dòng)速度為，流量為Q，流體密度為，求葉輪傳遞給流體的功率。解：流體絕對(duì)速度為

當(dāng)葉片足夠多時(shí)，可認(rèn)為流動(dòng)是穩(wěn)定的。取，設(shè)葉輪作用于流體的力矩為M，由（6.7）式可以得到

第14頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第3頁(yè)第三節(jié)動(dòng)量矩方程

上式化簡(jiǎn)得到

因?yàn)?/p>

所以所求葉輪傳遞給流體的功率為

第15頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第1頁(yè)第四節(jié)能量方程

一、能量方程的建立如圖6.1所示，為外部給予控制面上單位時(shí)間單位面積的傳導(dǎo)熱，為外部給予控制體上單位時(shí)間單位質(zhì)量流體非熱傳導(dǎo)的熱,如輻射熱、化學(xué)生成熱等，e為單位質(zhì)量流體的廣義內(nèi)能，如熱力學(xué)中的內(nèi)能，電磁能等，z為向上度量的鉛垂高度，其它符號(hào)意義同前。將能量守恒定律應(yīng)用于控制體可知：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入控制體的能量，外部傳入的熱量以及外力所作的功的總和等于單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)能量的增加。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

（6.8）式稱(chēng)為積分形式的能量方程。（6.8）第16頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第2頁(yè)第四節(jié)能量方程

二、能量方程的簡(jiǎn)化對(duì)于定常（）、絕熱（）、質(zhì)量力有勢(shì)（理想流體（）的流動(dòng)，（6.8）式簡(jiǎn)化為）、

但

而

由連續(xù)性方程，定常流動(dòng)時(shí)，因而。于是有

（6.9）（廣義高斯定理）第17頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第3頁(yè)第四節(jié)能量方程

（6.9）式是定常絕熱理想流體質(zhì)量力有勢(shì)時(shí)的能量方程。式中可視為單位質(zhì)量流體的總能量，它是內(nèi)能e、動(dòng)能、壓力勢(shì)能和質(zhì)量力勢(shì)U的總和。（6.9）式的物理意義是單位時(shí)間流進(jìn)和流出控制面的總能量的代數(shù)和為零。重力場(chǎng)中稱(chēng)為單位質(zhì)量的位能。對(duì)于細(xì)小流管，其截面上參數(shù)可認(rèn)為是均勻的，于是由（6.9）式可得到

（6.10）式可理解為定常絕熱理想流體質(zhì)量力有勢(shì)條件下，沿流線單位質(zhì)量流體的總能量保持不變。這就是伯努利方程。（6.10）對(duì)于質(zhì)量力為重力、理想不可壓縮流體非絕熱定常流動(dòng)，若滿(mǎn)足則控制體內(nèi)流體內(nèi)能的增量將由輻射熱提供，于是有，即

（6.11）第18頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第4頁(yè)第四節(jié)能量方程

據(jù)系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)公式（輸運(yùn)公式），有

穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)由式（6.11）、（6.12）可得

即由熱輻射引起的控制體內(nèi)流體內(nèi)能的增量等于通過(guò)控制面的流體所具有的內(nèi)能之和。將式（6.13）代入式（6.8），有

（6.14）（6.12）（6.13）對(duì)于微小流管及其任意兩個(gè)流通截面構(gòu)成的控制體，上式為

這就是常用的重力場(chǎng)中理想不可壓縮流體的伯努利方程式。（6.15）第19頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第5頁(yè)第四節(jié)能量方程

圖6.5充氣中的容器piTip0，T0，V例題6.4如圖6.5所示一容器體積為V，通過(guò)管道充氣，容器入口處的壓力為，溫度為，質(zhì)量流量為，容器內(nèi)初始狀態(tài)為、絕熱，不計(jì)重力及進(jìn)口動(dòng)能，求容器內(nèi)溫度的變化規(guī)律。解：取容器內(nèi)氣體為控制體。由連續(xù)性方程，即

上式積分得到t時(shí)刻容器內(nèi)流體的質(zhì)量為：由理想氣體狀態(tài)方程得到第20頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第6頁(yè)第四節(jié)能量方程

由題意知，，，則可由（6.8）式得到

因?yàn)?/p>

所以

上式化簡(jiǎn)為

其中為絕熱指數(shù)，

（a）第21頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第六章流體動(dòng)力學(xué)積分形式基本方程退出返回第7頁(yè)第四節(jié)能量方程

（a）式積分得到

即

初始條件為

，把初始條件代入（b）式得到

把（c）式代入（b）式得到

（