吉林省榆樹(shù)市第一高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期（老教材）期末備考卷（A）數(shù)學(xué)（理）試卷

20202021學(xué)年上學(xué)期高二期末備考卷理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．命題“存在，使得”的否定是（）A．對(duì)任意，都有 B．不存在，使得C．存在，使得 D．對(duì)任意，都有【答案】A【解析】命題“存在，使得”為特稱命題，該命題的否定為“對(duì)任意，都有”．故選A．2．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，．3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，，，由圖可知，，所以或．4．若直線（為參數(shù)）與直線平行，則常數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線（為參數(shù)）化為普通形式，因?yàn)閮芍本€平行，所以，即．5．已知雙曲線（，）的一條漸近線的斜率為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知，因此，該雙曲線的離心率．6．已知函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，求導(dǎo)得，∴，又∵，∴在處的切線方程為，即．7．已知為拋物線的準(zhǔn)線，拋物線上的點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，連接，，由拋物線定義，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取“”號(hào)，∴的最小值為．8．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前公元前年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡與圓位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解析】設(shè)，由，得，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為為圓心，為半徑的圓，兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個(gè)圓相交．9．已知，若方程表示圓，則此圓的圓心坐標(biāo)為（）A． B．C．或 D．不確定【答案】A【解析】∵方程表示圓，∴，解得或．當(dāng)時(shí)，方程化為．配方，得標(biāo)準(zhǔn)式方程，所得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；當(dāng)時(shí)，方程化為，其中，方程不表示圓．故選A．10．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，，若，且，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，，，，，即，解得，故選A．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如圖所示，則（）①以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；②以為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)；③，，（其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)共線；④若已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且已知點(diǎn)，則直線與該拋物線相切．則以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于①，設(shè)，，則，，所以線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故①正確；對(duì)于②，連接，，如圖，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，即，所以以為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③，設(shè)直線，，，將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)得，，則，又，，因?yàn)?，，所以，所以，，三點(diǎn)共線，故③正確；對(duì)于④，不妨設(shè)，則，則直線，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得，則，所以直線與該拋物線相切，故④正確．12．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，，，．令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，且，即，所以．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．曲線經(jīng)坐標(biāo)變換后所得曲線的方程為．【答案】【解析】由，得，代入，得，所以變換后所得曲線的方程為，故答案為．14．“”是“直線，垂直”的條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）．【答案】充分不必要【解析】∵直線和垂直，∴，解得或，故實(shí)數(shù)“”是“直線，垂直”的充分不必要條件．15．既要金山銀山，又要綠水青山，說(shuō)明了既要發(fā)展經(jīng)濟(jì)，又要保護(hù)環(huán)境，兩者兼得，社會(huì)才能又快又好的發(fā)展．現(xiàn)某風(fēng)景區(qū)在踐行這一理念下，計(jì)劃在如圖所示的以為直徑的半圓形山林中設(shè)計(jì)一條休閑小道（與，不重合），，相距米，在緊鄰休閑小道的兩側(cè)及圓弧上進(jìn)行綠化，設(shè)，則綠化帶的總長(zhǎng)度的最大值約為米．(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】【解析】如圖所示，設(shè)圓心為，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在半圓上，所以，所以，弧的長(zhǎng)為，所以綠化帶的總長(zhǎng)度為，，所以．令，得，所以．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以，故答案為．16．已知、是橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于短軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則下列四個(gè)命題中，其中正確的是．①直線與的斜率之積為定值；②；③的外接圓半徑的最大值為；④直線與的交點(diǎn)的軌跡為雙曲線．【答案】②③【解析】①設(shè)，，則，因此①不正確；②∵點(diǎn)在圓外，∴，所以，②正確；③當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)上時(shí)，最小且為銳角，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得．∴，∴的外接圓半徑的最大值為，③正確；④直線的方程為，直線的方程為，兩式相乘可得，化為，由于點(diǎn)不與，重合，∴的軌跡為雙曲線的一部分，∴④不正確，故答案為②③．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知命題：，，命題：，．（1）若為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）若為真：，解得，∵為真，∴為假，∴或．（2）由（1）得：真，若為真：，，∴，∵為假，為真，∴、一真一假．①真假：，∴；②假真：，∴，綜上：的取值范圍是．18．（12分）已知圓過(guò)點(diǎn)，且直線，圓與圓相切于原點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）求直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)及直線被圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）設(shè)，，則，所以圓的方程．（2）直線，，由，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，由（1）知，所以直線與軸垂直，，當(dāng)時(shí)弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程，曲線的參數(shù)方程；（2）若，分別為曲線，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求取得最小值時(shí)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）．【解析】（1）由，消去得，即的普通方程為；由，得，∴，即，∴的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（2）設(shè)，則的最小值即為到直線的距離，，其中，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，∴，即，此時(shí)點(diǎn)直角坐標(biāo)為．20．（12分）已知拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴根據(jù)拋物線的定義可知，，∴，∴拋物線的方程是．（2）由題意可知，直線不垂直于軸，可設(shè)直線，則由，可得，設(shè)，，則，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，即，∴，解得，∴直線，即．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)，點(diǎn)，若為銳角，求的面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意知，，解得，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)為，聯(lián)立，整理得，設(shè)，，則，，，由為銳角可知，，即，，解得，又點(diǎn)在第一象限，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以的面積，因?yàn)?，所以，令，，，在單調(diào)遞增，所以，，∴，綜上所述，的面積取值范圍是．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)