高等數(shù)學(xué)曲線積分與曲面積分

關(guān)于高等數(shù)學(xué)曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分的概念1.定義第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.存在條件：3.推廣第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天注意：第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天三、對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天類似地定義第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.存在條件：3.組合形式第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4.推廣第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).四、對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天五、對面積的曲面積分的定義1.定義第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天六、對面積的曲面積分的性質(zhì)第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天基本概念觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天七、對坐標(biāo)的曲面積分的定義第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天被積函數(shù)積分曲面類似可定義第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天存在條件:組合形式:物理意義:第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天八、對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天九、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天對弧長曲線積分的計(jì)算定理第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天注意:特殊情形第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天推廣:第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1解第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例2解例3解第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例4解由對稱性,知第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天特殊情形第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例5計(jì)算其中L為擺線上對應(yīng)t從0到2

的一段弧.提示:第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例6計(jì)算其中

由平面y=z

截球面提示:

因在

上有故原式=從z軸正向看沿逆時(shí)針方向.第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天十、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有對面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例7解第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))對坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算:一投、二代、三定號(上正下負(fù))則有

?

若第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天解:

把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例8.計(jì)算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.第39頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共43頁，2024年2