計(jì)算機(jī)算法基礎(chǔ)第七章

計(jì)算機(jī)算法基礎(chǔ)第七章CATALOGUE目錄引言算法基礎(chǔ)概念基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)排序算法查找算法圖論算法動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法總結(jié)與展望引言CATALOGUE01

目的和背景理解算法的重要性算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，學(xué)習(xí)算法有助于理解計(jì)算機(jī)如何解決問題，優(yōu)化程序性能。掌握基本算法思想通過本章學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)能掌握基本算法思想，如分治、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜算法打下基礎(chǔ)。培養(yǎng)算法設(shè)計(jì)和分析能力本章將培養(yǎng)讀者設(shè)計(jì)簡單算法并分析其性能的能力，為解決實(shí)際問題和進(jìn)行學(xué)術(shù)研究做好準(zhǔn)備。算法定義與分類算法設(shè)計(jì)技巧算法性能分析典型算法案例章節(jié)概述首先介紹算法的定義和分類，包括基本算法、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的算法、圖論算法等。闡述如何對算法性能進(jìn)行評估和分析，包括時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的概念及計(jì)算方法。介紹常用的算法設(shè)計(jì)技巧，如貪心算法、分治算法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等，通過具體實(shí)例闡述其原理和應(yīng)用。通過講解一些典型算法案例，如排序算法、查找算法等，讓讀者深入理解算法原理和實(shí)現(xiàn)過程。算法基礎(chǔ)概念CATALOGUE02算法定義算法是一系列解決問題的清晰指令，代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略、方法或過程。輸入項(xiàng)一個(gè)算法有0個(gè)或多個(gè)輸入，以刻畫運(yùn)算對象的初始情況，所謂0個(gè)輸入是指算法本身定出了初始條件。有窮性算法必須能在執(zhí)行有限個(gè)步驟之后終止。輸出項(xiàng)一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果。沒有輸出的算法是毫無意義的。確切性算法的每一步驟必須有確切的定義。可行性算法中執(zhí)行的任何計(jì)算步驟都是可以被分解為基本的可執(zhí)行的操作步，即每個(gè)計(jì)算步都可以在有限時(shí)間內(nèi)完成（也稱之為有效性）。算法定義與特性123通過設(shè)計(jì)高效的算法，可以顯著提高問題求解的速度和效率，降低計(jì)算資源的消耗。提高問題求解效率算法是軟件性能優(yōu)化的核心，通過改進(jìn)算法設(shè)計(jì)，可以提高軟件的運(yùn)行速度和響應(yīng)能力。優(yōu)化軟件性能算法設(shè)計(jì)與分析是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究領(lǐng)域，不斷推動(dòng)著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步。推動(dòng)計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展算法設(shè)計(jì)與分析重要性包括排序算法、查找算法、圖論算法等?；舅惴ㄈ珂湵?、樹、圖等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相關(guān)的算法。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相關(guān)算法算法分類及應(yīng)用領(lǐng)域用于解決數(shù)學(xué)問題的算法，如線性代數(shù)、微積分等。用于解決非數(shù)學(xué)問題的算法，如圖像處理、語音識別等。算法分類及應(yīng)用領(lǐng)域非數(shù)值計(jì)算算法數(shù)值計(jì)算算法計(jì)算機(jī)科學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，算法被廣泛應(yīng)用于各種軟件和應(yīng)用程序的開發(fā)中，如操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)、編譯器等。工程領(lǐng)域在工程領(lǐng)域中，算法被用于解決各種實(shí)際問題，如優(yōu)化問題、控制問題、信號處理問題等?？茖W(xué)研究在科學(xué)研究中，算法被用于處理和分析大量數(shù)據(jù)，以揭示自然規(guī)律和發(fā)現(xiàn)新知識。例如，在天文學(xué)、生物學(xué)、地球科學(xué)等領(lǐng)域中，算法被用于處理觀測數(shù)據(jù)和模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。算法分類及應(yīng)用領(lǐng)域基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)CATALOGUE03線性表是由n個(gè)具有相同特性的數(shù)據(jù)元素組成的有限序列。線性表的定義用一段地址連續(xù)的存儲單元依次存儲線性表的數(shù)據(jù)元素。線性表的順序存儲結(jié)構(gòu)用一組任意的存儲單元存儲線性表的數(shù)據(jù)元素，這組存儲單元可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。線性表的鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)包括初始化、插入、刪除、查找等操作，這些操作在順序存儲結(jié)構(gòu)和鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)上的實(shí)現(xiàn)方式有所不同。線性表的基本操作線性表及其操作實(shí)現(xiàn)棧的定義及基本操作01棧是一種特殊的線性表，其插入和刪除操作只能在表的一端進(jìn)行，這一端稱為棧頂，另一端稱為棧底。棧的基本操作包括初始化、入棧、出棧、取棧頂元素等。隊(duì)列的定義及基本操作02隊(duì)列也是一種特殊的線性表，其插入操作在表的一端進(jìn)行，而刪除操作在表的另一端進(jìn)行。隊(duì)列中沒有元素時(shí)，稱為空隊(duì)列。隊(duì)列的基本操作包括初始化、入隊(duì)、出隊(duì)、判斷隊(duì)列是否為空等。棧和隊(duì)列的應(yīng)用舉例03棧和隊(duì)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如表達(dá)式求值、括號匹配、迷宮問題、CPU任務(wù)調(diào)度等。棧和隊(duì)列及其應(yīng)用舉例要點(diǎn)三樹的定義及基本術(shù)語樹是一種非線性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，由n個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的有限集合。樹中的節(jié)點(diǎn)分為根節(jié)點(diǎn)、子節(jié)點(diǎn)、父節(jié)點(diǎn)、兄弟節(jié)點(diǎn)等。要點(diǎn)一要點(diǎn)二二叉樹的定義及性質(zhì)二叉樹是一種特殊的樹，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，分別稱為左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)。二叉樹具有一些重要的性質(zhì)，如二叉樹的第i層最多有2^(i-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)，深度為k的二叉樹最多有2^k-1個(gè)節(jié)點(diǎn)等。二叉樹的遍歷二叉樹的遍歷是指按某種規(guī)則訪問二叉樹中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)節(jié)點(diǎn)被訪問且僅被訪問一次。常見的遍歷方式有前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。要點(diǎn)三樹和二叉樹基本概念及性質(zhì)排序算法CATALOGUE04原理：插入排序是一種簡單直觀的排序算法，它的工作原理是通過構(gòu)建有序序列，對于未排序數(shù)據(jù)，在已排序序列中從后向前掃描，找到相應(yīng)位置并插入。插入排序法原理及實(shí)現(xiàn)過程實(shí)現(xiàn)過程1.從第一個(gè)元素開始，該元素可以認(rèn)為已經(jīng)被排序；2.取出下一個(gè)元素，在已經(jīng)排序的元素序列中從后向前掃描；插入排序法原理及實(shí)現(xiàn)過程3.如果該元素（已排序）大于新元素，將該元素移到下一位置；4.重復(fù)步驟3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；5.將新元素插入到該位置后；6.重復(fù)步驟2~5。01020304插入排序法原理及實(shí)現(xiàn)過程原理：選擇排序是一種簡單直觀的排序算法。它的工作原理是每一次從待排序的數(shù)據(jù)元素中選出最?。ɑ蜃畲螅┑囊粋€(gè)元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的數(shù)據(jù)元素排完。實(shí)現(xiàn)過程1.在未排序序列中找到最?。ù螅┰兀娣诺脚判蛐蛄械钠鹗嘉恢?；2.從剩余未排序元素中繼續(xù)尋找最?。ù螅┰?，然后放到已排序序列的末尾；3.重復(fù)步驟2，直到所有元素均排序完畢。0102030405選擇排序法原理及實(shí)現(xiàn)過程原理：交換排序的基本思想是：兩兩比較待排序記錄的關(guān)鍵字，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)記錄的次序相反時(shí)即進(jìn)行交換，直到?jīng)]有反序的記錄為止。交換排序法原理及實(shí)現(xiàn)過程比較相鄰的元素。如果第一個(gè)比第二個(gè)大（升序），就交換他們兩個(gè)。對每一對相鄰元素做同樣的工作，從開始第一對到結(jié)尾的最后一對。這步做完后，最后的元素會是最大的數(shù)。針對所有的元素重復(fù)以上的步驟，除了最后一個(gè)。持續(xù)每次對越來越少的元素重復(fù)上面的步驟，直到?jīng)]有任何一對數(shù)字需要比較。1.冒泡排序選擇一個(gè)基準(zhǔn)元素,通常選擇第一個(gè)元素或者最后一個(gè)元素,通過一趟掃描，將待排序列分成兩部分,一部分比基準(zhǔn)元素小,一部分大于等于基準(zhǔn)元素,此時(shí)基準(zhǔn)元素在其排好序后的正確位置,然后再用同樣的方法遞歸地排序劃分的兩部分。2.快速排序交換排序法原理及實(shí)現(xiàn)過程查找算法CATALOGUE05010405060302原理：順序查找法是一種最簡單的查找方法，其基本思想是從表的一端開始，順序掃描，直到找到所查元素為止。實(shí)現(xiàn)過程1.從表的一端開始，順序掃描每一個(gè)元素。2.將掃描到的元素與要查找的元素進(jìn)行比較。3.如果相等，則查找成功，返回該元素的位置。4.如果掃描到表的另一端仍未找到，則查找失敗，返回空值或錯(cuò)誤信息。順序查找法原理及實(shí)現(xiàn)過程原理：二分查找法是一種在有序表中查找某一特定元素的查找算法。其基本思想是將表中間位置記錄的關(guān)鍵字與查找關(guān)鍵字比較，如果兩者相等，則查找成功；否則利用中間位置記錄將表分成前、后兩個(gè)子表，如果中間位置記錄的關(guān)鍵字大于查找關(guān)鍵字，則進(jìn)一步查找前一子表，否則進(jìn)一步查找后一子表。二分查找法原理及實(shí)現(xiàn)過程實(shí)現(xiàn)過程1.確定表的中間位置。2.將中間位置記錄的關(guān)鍵字與查找關(guān)鍵字進(jìn)行比較。二分查找法原理及實(shí)現(xiàn)過程010204二分查找法原理及實(shí)現(xiàn)過程3.如果相等，則查找成功，返回該元素的位置。4.如果中間位置記錄的關(guān)鍵字大于查找關(guān)鍵字，則在左半部分繼續(xù)查找。5.如果中間位置記錄的關(guān)鍵字小于查找關(guān)鍵字，則在右半部分繼續(xù)查找。6.重復(fù)以上步驟，直到找到元素或確定元素不存在為止。03VS哈希表查找法是一種利用哈希函數(shù)將查找關(guān)鍵字轉(zhuǎn)換成哈希地址，然后在哈希表中查找該地址的查找算法。其基本思想是通過哈希函數(shù)將關(guān)鍵字映射到一個(gè)唯一的哈希地址上，然后在哈希表中查找該地址對應(yīng)的元素。應(yīng)用舉例假設(shè)有一個(gè)哈希表，其哈希函數(shù)為H(key)=key%11（即關(guān)鍵字除以11取余數(shù)），現(xiàn)要在該哈希表中查找關(guān)鍵字為25的元素。根據(jù)哈希函數(shù)計(jì)算得到哈希地址為H(25)=25%11=3，于是在哈希表的地址為3的位置查找元素，如果找到了與關(guān)鍵字相等的元素，則查找成功；否則說明哈希表中不存在該元素，查找失敗。原理哈希表查找法原理及應(yīng)用舉例圖論算法CATALOGUE06圖的基本概念圖是由頂點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）和邊組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用于表示對象及其之間的關(guān)系。圖的表示方法圖可以使用鄰接矩陣或鄰接表來表示。鄰接矩陣是一個(gè)二維數(shù)組，表示頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系；鄰接表則使用鏈表或數(shù)組來表示每個(gè)頂點(diǎn)的鄰居頂點(diǎn)。圖的基本概念及表示方法03Bellman-Ford算法適用于有負(fù)權(quán)邊的有向圖，通過對所有邊進(jìn)行松弛操作來求解最短路徑。01Dijkstra算法適用于沒有負(fù)權(quán)邊的有向圖，通過貪心策略逐步確定起點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。02Floyd算法適用于任意有向圖或無向圖，通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想求解任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。最短路徑問題求解方法從某一頂點(diǎn)開始，每次選擇一條連接已選頂點(diǎn)和未選頂點(diǎn)中權(quán)值最小的邊，直到所有頂點(diǎn)都被選中。Prim算法按照邊的權(quán)值從小到大的順序選擇邊，每次選擇一條連接兩個(gè)未連通集合的邊，直到所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)連通集合中。Kruskal算法每次選擇每個(gè)連通分量中的一條最小邊，將這些邊加入最小生成樹中，并合并連通分量，直到只剩下一個(gè)連通分量。Boruvka算法最小生成樹問題求解方法動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法CATALOGUE07大問題的最優(yōu)解可以由小問題的最優(yōu)解推出，且這個(gè)性質(zhì)在問題的所有規(guī)模下都成立。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)邊界狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程確定問題的邊界條件，即最小規(guī)模問題的解。描述大問題如何由小問題的最優(yōu)解推出，是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心。030201動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本原理與思想0-1背包問題物品不可分割，每種物品只有一個(gè)。使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解，定義狀態(tài)dp[i][j]表示前i個(gè)物品，總重量不超過j的情況下，能得到的最大價(jià)值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分別為第i個(gè)物品的重量和價(jià)值。完全背包問題物品可以分割，每種物品有無限個(gè)。同樣使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解，定義狀態(tài)dp[i][j]表示前i種物品，總重量不超過j的情況下，能得到的最大價(jià)值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])，其中k為選擇第i種物品的數(shù)量。背包問題求解方法問題描述給定兩個(gè)序列X和Y，找出X和Y的一個(gè)最長公共子序列。要點(diǎn)一要點(diǎn)二動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解定義狀態(tài)dp[i][j]表示X的前i個(gè)字符與Y的前j個(gè)字符的最長公共子序列長度。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1(當(dāng)X[i]==Y[j]時(shí))，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])(當(dāng)X[i]!=Y[j]時(shí))。最終dp[m][n]即為X和Y的最長公共子序列長度，其中m和n分別為X和Y的長度。最長公共子序列問題求解方法總結(jié)與展望CATALOGUE080102算法設(shè)計(jì)與分析基礎(chǔ)介紹了算法的基本概念、算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度分析方法，以及常見的算法設(shè)計(jì)策略。排序算法詳細(xì)講解了插入排序、選擇排序、冒泡排序、快速排序、歸并排序等經(jīng)典排序算法的原理、實(shí)現(xiàn)及性能分析。查找算法介紹了線性查找、二分查找、哈希查找等查找算法的原理和實(shí)現(xiàn)，以及它們在各種場景下的應(yīng)用。圖論算法講解了圖的表示方法、圖的遍歷算法（如深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索）、最短路徑算法（如Dijkstra算法和Floyd算法）以及最小生成樹算法（如Prim算法和Kruskal算法）等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃闡述了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想、原理和實(shí)現(xiàn)方法，通過多個(gè)經(jīng)典案例（如背包問題、最長公共子序列等）深入剖析了動(dòng)態(tài)規(guī)劃在解決最優(yōu)化問題中的應(yīng)