2023-2024學(xué)年天津市高二年級(jí)上冊(cè)1月階段測(cè)試期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市高二上冊(cè)1月階段測(cè)試期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.圖中的直線444的斜率分別為勺，月，&，則有（）

A.ki<k2<k3B.kl>k2>ki

C.匕<&<&2D.k,<ki<k2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.

【詳解】由圖象可得，ki<O<k3<k2,

故選：C

2.｛%｝是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，如果%=3M則〃等于（）.

A.2020B.2021C.2022D,2023

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意求出｛α,,｝通項(xiàng)公式即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可知｛《,｝的通項(xiàng)公式為。“=3",當(dāng)4,=32°”時(shí)，?=2023

故選：D

22

3.橢圓工+工=1的離心率是（）

94

A.WB.更C,-D.I

9393

【正確答案】B

【分析】求出〃、C的值，可得出橢圓的離心率的值.

22

【詳解】在橢圓F?^-=1中，α=3,b=2,則c=—6?='

94

因此，橢圓￡+其=1的離心率為e=g=@.

94a3

故選：B.

4.在等差數(shù)列｛4｝中，a3+a1=6,則出+4=（）.

A.3B.4C.6D.8

【正確答案】C

【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)即可確定答案.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知.4+6=%+%=6

故選：C.

5.已知點(diǎn)A（2,0）,B（λ√3）,則直線A3的傾斜角為（）

A.30oB.60oC.120°D.150°

【正確答案】B

【分析】求出直線AB的斜率即得解.

【詳解】解：由題得直線A8的斜率上=且二2=6，

3-2

設(shè)直線的傾斜角為α,.?.tana=G,a∈[0,180）,

所以a=60.

故選：B

6.雙曲線的漸近線方程是（）.

169

91634

A.y=±—XB.y=±—xC.y=?-xD.y=±-x

16943

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接得出該雙曲線的漸近線方程.

【詳解】在雙曲線鳥-4=1中，a=4"=3,因此,該雙曲線的漸近線方程為y=±紇=fx.

169a4

故選：C.

7.在數(shù)列｛〃”｝中，%,an=1-------〃≥2”CN+,則"23=（）

a

2,i-?

A.?B.1C.-ID.2

【正確答案】A

【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng),推導(dǎo)出｛%｝為周期數(shù)歹∣J,從而得到生⑼

的值

【詳解】%=1=1-2=-1,α=I-----=1+1=2,α=1-----=I-J=不，

3422

ala2a3

可得數(shù)列｛《｝是以3為周期的周期數(shù)列，????3=?674+l

故選：A

8.已知拋物線r=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】D

【詳解】試題分析：拋物線?√=4y焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線

方程為y=T,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+1=5,因?yàn)閽?/p>

物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.

本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生

的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)

化運(yùn)算.

9.如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)N為棱AP的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱BC上，且滿足CM=23”,

設(shè)PA=a,P8=仇PC=c,則MN=()

C.——a+-b——c

233

【正確答案】A

【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)N為棱AP的中點(diǎn)，CM=2BM,設(shè)P4=α,P8=6,PC=c,

所以MN=MB+BP+PN=LCB-PB+LPA

32

1I1?I101

=-(PB-pc]-PB+-PA=-PA——PB——PC=-a——b——c.

3、,2233233

故選：A.

10.已知￡,尸2是雙曲線W-A=Ia>06>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)6關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰

ab

好落在以尸2為圓心，I。KI為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為()

A.√2B.√3C.2D,6+1

【正確答案】C

【分析】先求解B到漸近線的距離，結(jié)合04〃尸2加，可得NF/MF2為直角，結(jié)合勾股定理

可得解

【詳解】由題意,F∕(-C,0),F2(C,0),

設(shè)一條漸近線方程為產(chǎn)2x,則B到漸近線的距離為-TT=T=b.

a√α^+h-

設(shè)B關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為MBM與漸近線交于A,J.?MFl?^2b,

A為的中點(diǎn)，又。是BF2的中點(diǎn)，

.?.OA//F2M,：.NFlMF2為直角，

...△MF/2為直角三角形，

二由勾股定理得4c2=c2+4b2

3c2-4(c2-a2),.*.c2=4o2,

.".c=2a,e=2.

故選：C

二、填空題

11.已知直線4：2x+W)，+l=0與33x-y-l=0平行，則機(jī)的值為.

2

【正確答案】-弓

【分析】根據(jù)給定條件利用兩直線平行是性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€4：2x+〃?y+l=O與g3x-y-l=0平行，

所以當(dāng)〃?=0時(shí)，兩條直線不平行，不符合題意;

22

當(dāng)∕n≠0時(shí)，---=3,解得m=—.

m3

,2

故答案為.-H

12.已知圓/+一4y-5=0與f+/+2才-1=0相交于A,B兩點(diǎn),則直線AB的方程

是.

【正確答案】y+i=0

【分析】根據(jù)兩相交圓與公共弦關(guān)系，兩相交圓方程相減所得方程即是公共弦方程.

【詳解】?jī)蓤A方程相減f+/+2x—1—(χ2+y+2x-4y-5)=0,得y+l=O

故y+l=0

13.數(shù)歹!]｛?！保那?項(xiàng)和S.=∕+”,"eN*,則。“=.

【正確答案】In

【分析】根據(jù)a,,=1：_S“>2來求得數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，α∣=S∣=2,

當(dāng)〃N2時(shí)，a“=S,,-S>∣=∕+"-[("-iy+("-l)]=2".

當(dāng)〃=1時(shí)上式也符合，

所以=2〃.

故2n

14.等比數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，前〃項(xiàng)的積為9,若幾=44,則//=.

【正確答案】2

【分析】由題意可得0<4<l,且勺>0,由條件可得4%…%=的心…%,化簡(jiǎn)得

4。%《243=4,再由4?45=40《3=4臼2，求得495的值.

【詳解】解：等比數(shù)列｛”"｝是遞減數(shù)列，其前〃項(xiàng)的積為7；(〃eN"),若兀=47；,設(shè)公比為

q,

則由題意可得0<4<l,且4>0?

.?.dχd--y...67j?-4α∣α)...a<),∣^∣2^∣3=4.

又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得G,%=q(>α∣3=q∣4∣2,???用?%5=2.

故2.

22

15.已知AB分別是Clz(x-l)+(y-3)=l,C∕(x+5)2+(y-l)2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

M是直線X-y=。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則IAMI+1M8∣的最小值為.

【正確答案】5

【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，畫圖確定最值位置，再求解最小值即可.

【詳解】如圖，圓Cs是圓Cl關(guān)于直線x-y=O的對(duì)稱圓，

所以圓G的方程為(x-3)。(尸1)2=1,圓心為C3(3,1),且由圖知,

∣M4∣+∣Mβ∣=∣M41∣+∣Mβ∣

.?.G,B,M,A1,C3五點(diǎn)共線時(shí)，IMAl+1"M有最小值，

2

止匕時(shí)，(IMA∣+1MB?)miι=C2C3-1-2=√8+0-3=5

所以p?4∣+∣M同的最小值為5.

故5.

三、解答題

16.已知等差數(shù)列｛%｝滿足%=9,其前11項(xiàng)和SU=I21；數(shù)列物,｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,

且滿足4+0=9,仇&=8.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式.

(2)求數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和Tn.

【正確答案】(D%=2"-l("eN*),?=2"-'(rteN?)

(2)^,=2^'-l

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由已知條件可得出關(guān)于卬、d的方程組，解出這兩個(gè)

量的值，可得出等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性與基本性質(zhì)可求得4、/

的值，可求得等比數(shù)列出｝的公比，進(jìn)而可得出數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用等比數(shù)列的求和公式可求得7.

'a5=al+4d=9r??

【詳解】⑴解：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由已知可得。IIXI(M…，解得1.，

S=1I1lq+----------=121[d=2

ll2

所以，%=q+("-l)d=2"-l("∈N)

bl+b4=9

4=1

因?yàn)閿?shù)列｛2｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，由已知可得外么=々2=8,解得

仇=8

b?<b*

所以，數(shù)列也｝的公比為4=，/=2,所以a=*g"T=2"T("∈N*).

(2)解.τ="'"F)=1Ξ≤=2"-I

"?-q1-2

17.已知圓C"2+y2-2y-4=0,直線/：∕nr-y+l-77F=0(∕77∈R).

(1)寫出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；

⑵設(shè)直線/與圓C交于4、8兩點(diǎn)，若直線/的傾斜角為120。，求弦AB的長(zhǎng).

【正確答案】(1)圓心(0,1),半徑石，/與圓相交：

(2)√17.

【分析】(1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r,求出直線/經(jīng)過的定點(diǎn),

判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷/與圓的位置關(guān)系；

(2)求出圓心到直線的距離d,根據(jù)∣AB∣=2彳彳即可求弦長(zhǎng).

【詳解】(1)由題設(shè)知圓C:X2+(>-∣)2=5,

...圓C的圓心坐標(biāo)為c(θ,l),半徑為r=6?

又直線/可變形為：y-l=1),則直線恒過定點(diǎn)M(l,l),

V12+(1-1)2=1<5,

...點(diǎn)M在圓C內(nèi)，故直線/必定與圓相交.

(2)由題意知加*0,

直線I的斜率k=m=tan120°=—75,

.?.圓心C(0,1)到直線/：?∕ix+y-G-l=0的距離"=

ΛI(xiàn)AB∣=2y∣r2-d2=2%;=√Γ7.

18.已如數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S.,a,??,當(dāng)〃≥2時(shí)，5?S?.,=S?.,-S?.

(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求S.；

2"

⑵求數(shù)列彳不的前八項(xiàng)和為

【正確答案】⑴證明見解析，5,,=-±τ

n+

(2)Tn=n-2'

【分析】(D由S,Λττ=S,τ-S,可得9-￡二=1,即可證明數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公

差的等差數(shù)列，從而求出S,；

2"

(2)由(1)知F=5+1)?2",利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.

3“

【詳解】(1)解：當(dāng)〃22時(shí)，由SBi=Sa-S,,,得J=I,

?w?w-l

所以數(shù)列是以J=L=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

S“，4

所以1="+1,BPSn=-L-.

s“?+1

2"

(2)解：由(1)知?r=5+l)?2",

l,τ

所以［=2x2+3x22++n×2"-+(rt+l)×2,①

所以27；=2x22+3x2'++n×2π+(n+?)×2n+',②

①一②得=4+(22+23++2")-5+l)?2*'

=4+(2'm—4)-("+1>2'用=—n?2π+l,

所以C,="?'".

19.如圖，在直三棱柱ABC-Λ18∣G中，AClBC,BE=EB、,AB=CC、=2BC=2.

(1)證明：AClClEi

(2)求直線BBl與平面AEG所成角的正弦值；

(3)求平面AEa與平面ASE的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵回

IO

⑶巫

4

【分析】(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,CB,CG的方向分別為X，y，Z軸的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系C-孫Z,利用坐標(biāo)法證明即可;

(2)根據(jù)空間向量坐標(biāo)法求解即可；

(3)根據(jù)空間向量坐標(biāo)法求解即可；

【詳解】（1）解：依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,C8,CG的方向分別為X，Z軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系C-肛z,如圖，

則A(√3,0,0),A(√3,0,2),B(0,l,0),Bi(0,1,2),C1(0,0,2),E(0,l,l).

C4=(√3,0,0),C1E=(0,1,-1),

因?yàn)镃4<E=0,

所以AC,C∣E.

(2)解：結(jié)合(1)得AG=(―底0,2),AE=(—6,1,1),期=(0,0,2),

設(shè)平面AECi的法向量為m=(x∣,χ,zj,

m?AC.=-y∕3x,+2z.=0

則,r''

m?AE=-√3x1+yl+ZI=0

令%=2,得〃?=(2,后,百).

貝i=H咽加第T嚕

設(shè)直線BBI與平面AEC1所成角為Θ,

所以直線8B∣與平面4EG所成角的正弦值為畫.

(3)解：結(jié)合(1)BE=(0,0,1),

設(shè)平面A8E的法向量為"=（七,%，22），

n?BE=Z2=

+z=

n?AE=-GX2÷J22

令X2=l,則”=(1,6,0),

由(2)知平面AEG的法向量為zn=(2,6,石)

設(shè)平面AEF和平面EFC的夾角為α,

/??m?n?2+3回

貝γ°sα=3sM麗=標(biāo)=〒?

所以，平面AEF與平面EFC的夾角余弦值為叵.

4

22

20.已知橢圓C:]+親?=l(a>6>0)上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)用-6,0),E(G,0)的距離的

和為4.經(jīng)過點(diǎn)0(1,0)且不經(jīng)過點(diǎn)M(l,l)的直線與橢圓C交于P,。兩點(diǎn),直線MQ與直線x=4

交于點(diǎn)E,直線PE與直線MD交于點(diǎn)M

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：—EAW的面積為定值.

【正確答案】(l)W+y2=i

4'

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出C=G,根據(jù)橢圓的定義得