中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí) 模型17 全等三角形-胖瘦模型（SSA）-（原卷版+解析）

全等三角形模型（十七）——胖瘦模型（SSA）【條件】如圖，AB=AC，點P在線段BC上（P不是線段BC的中點）胖瘦模型——兩條邊對應(yīng)相等，一組角對應(yīng)相等，兩個角互補分析：△APB與△APC并不全等AB＝AC2條邊對應(yīng)相等AP＝AP1個角相等胖瘦模型∠B＝∠C2個角互補∠APC＋∠APC＝180°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)變胖（加等腰）變瘦（減等腰）找中間（加減后得直角三角形）◎結(jié)論1：（變胖）如圖，△ABQ≌△ACP,AP=AQ思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，AP＝AQ,△ABQ≌△ACP,相當(dāng)于△ABP(加了△APQ）變胖了，進而△ABQ≌△ACP◎結(jié)論2：（變瘦）如圖，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，AP＝AQ,相當(dāng)于△ACP(減了△APQ）變瘦了，進而△ABP≌△ACQ◎結(jié)論3：（找中間狀態(tài)）如圖，△ABM≌△ACM思路：過A作AM⊥BC，垂足為M，則△ABM≌△ACM相當(dāng)于△ABP（加了△APM）變胖了，相當(dāng)于△ACP（減了△APM）變瘦了胖的比瘦的多一個等腰三角形，瘦的加了一個直角三角形，胖的減了一個直角三角形eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)見胖瘦，變胖加等腰，變瘦減等腰，中間狀態(tài)加、減直角三角形?！究偨Y(jié)】滿足的條件為SSA.1．(2023·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點H．(1)求證：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長．2．(2023·江西吉安·八年級期末）如圖，AD平分∠MAN，，，垂足分別為B，C，E為線段AB上一點，在射線AN上有一點F，并使得與全等，若，則線段AE與AF的有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．(2023·江西撫州·八年級期中）如圖，已知點C是的平分線上一點，于E，B、D分別在AM、AN上，且．問：和有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．1．(2023·江蘇·八年級單元測試）已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC的延長線于點F．(1)求證：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的長．2．(2023·江蘇·八年級單元測試）在△ABC中，AB=AC，過點C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點B′與點B在直線AC的異側(cè)）點D是射線CB′上一動點（不與點C重合），點E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點E與點C不重合時，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．(2023·吉林四平·八年級期末）如圖，已知BN平分∠ABC，P為BN上的一點，PF⊥BC于F，PA=PC．(1)求證：∠PCB+∠BAP=180°；(2)線段BF、BC、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你探究的結(jié)論：_____________________．1．如圖，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．(1)證明：；(2)如果，，求AE、BE的長．2．如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點，于點，，交的延長線于點．(1)若點到直線的距離為5cm，求點到直線的距離；(2)求證：點在的平分線上．3．如圖，在四邊形中，平分于F，，交的延長線于點E．(1)求證：；(2)猜想與存在的的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)若，請用含有m，n的式子直接寫出的值．全等三角形模型（十七）——胖瘦模型（SSA）【條件】如圖，AB=AC，點P在線段BC上（P不是線段BC的中點）胖瘦模型——兩條邊對應(yīng)相等，一組角對應(yīng)相等，兩個角互補分析：△APB與△APC并不全等AB＝AC2條邊對應(yīng)相等AP＝AP1個角相等胖瘦模型∠B＝∠C2個角互補∠APC＋∠APB＝180°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)變胖（加等腰）變瘦（減等腰）找中間（加減后得直角三角形）◎結(jié)論1：（變胖）如圖，△ABQ≌△ACP,AP=AQ思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，AP＝AQ,△ABQ≌△ACP,相當(dāng)于△ABP(加了△APQ）變胖了，進而△ABQ≌△ACP◎結(jié)論2：（變瘦）如圖，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，AP＝AQ,相當(dāng)于△ACP(減了△APQ）變瘦了，進而△ABP≌△ACQ◎結(jié)論3：（找中間狀態(tài)）如圖，△ABM≌△ACM思路：過A作AM⊥BC，垂足為M，則△ABM≌△ACM相當(dāng)于△ABP（加了△APM）變胖了，相當(dāng)于△ACP（減了△APM）變瘦了胖的比瘦的多一個等腰三角形，瘦的加了一個直角三角形，胖的減了一個直角三角形eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)見胖瘦，變胖加等腰，變瘦減等腰，中間狀態(tài)加、減直角三角形。【總結(jié)】滿足的條件為SSA.1．(2023·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點H．(1)求證：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長．答案:(1)證明見解析(2)分析（1）過點作于點，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點作于點，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得．（1）證明：如圖，過點作于點，∵平分，，∴，在與中，，∴，，，．（2）解：如圖，過點作于點，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，在和中，，，，，解得，即的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．(2023·江西吉安·八年級期末）如圖，AD平分∠MAN，，，垂足分別為B，C，E為線段AB上一點，在射線AN上有一點F，并使得與全等，若，則線段AE與AF的有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:或，理由見解析分析分點F在C點左側(cè)時和點F在C點右側(cè)時兩種情況，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：有兩種情況：或，理由：∵AD平分，，，∴，∠DCA=∠DCN=∠DBE=90°，當(dāng)=3時，，此時，點F可在C點左側(cè)，也可在C點右側(cè)，如圖，當(dāng)點F可在C點左側(cè)時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵DB=BC,AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴AB=AC，∴；當(dāng)點F可在C點右側(cè)時，由（1）知，AC=AB=AE+3，∴AE+6=AF，即；∴線段AE與AF的數(shù)量關(guān)系是：或．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理，利用角平分線的性質(zhì)證得DB=DC是解題關(guān)鍵，注意分類討論思想的運用．3．(2023·江西撫州·八年級期中）如圖，已知點C是的平分線上一點，于E，B、D分別在AM、AN上，且．問：和有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．答案:∠1與∠2互補，理由見解析分析作CF⊥AN于F，證明Rt△ACF≌Rt△ACE得到AF=AE，再證明△DFC≌△BEC，得到AF=AE，由已知條件從而證得．【詳解】解：∠1與∠2互補，理由是：如圖，作CF⊥AN于F，∵∠3=∠4，CE⊥AM，∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF=AE，∵AE=（AD+AB）=（AF-DF+AE+EB）=AE+（BE-DF），∴BE-DF=0，∴BE=DF，∴△DFC≌△BEC（SAS），∴∠5=∠2，∵∠1+∠5=180°，∴∠1+∠2=180°．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)，作輔助線得到三角形全等，并利用已知條件來求解是解題的關(guān)鍵．1．(2023·江蘇·八年級單元測試）已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC的延長線于點F．(1)求證：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的長．答案:(1)見解析(2)12分析（1）連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，DC=DB，利用HL可證Rt△DCF≌Rt△DBE，從而證出結(jié)論；（2）利用HL可證Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．（1）連接DB，∵點D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵點D在BC的垂直平分線上，∴DB=DC，在Rt△DCF與Rt△DBE中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE；（2）∵CF=BE=2，AB=16，∴AE=AB-BE=16-2=14，在Rt△ADF與Rt△ADE中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE=14，∴AC=AF-CF=14-2=12．【點睛】此題考查的是角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．(2023·江蘇·八年級單元測試）在△ABC中，AB=AC，過點C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點B′與點B在直線AC的異側(cè)）點D是射線CB′上一動點（不與點C重合），點E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點E與點C不重合時，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案:(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由見解析；②BE=CD+DE，理由見解析分析（1）先證明∠ADC=90°，再過點A作AF⊥BC于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，進一步計算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后證明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE(SAS)，即可求解．（1）解：∵點E與點C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；過點A作AF⊥BC于點F，∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF=AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案為：AD⊥CB′；；（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．(2023·吉林四平·八年級期末）如圖，已知BN平分∠ABC，P為BN上的一點，PF⊥BC于F，PA=PC．(1)求證：∠PCB+∠BAP=180°；(2)線段BF、BC、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你探究的結(jié)論：_____________________．答案:(1)見解析(2)2BF=AB+BC分析（1）過作PD⊥AB于點D，由角平分線的性質(zhì)可得PD=PF，由“HL”可證RtΔADP≌RtΔCFP，可得∠1=∠BAP，即可得結(jié)論；（2）由Rt△ADP≌Rt△CFP可得出AD=CF，PD=PF，結(jié)合PB=PB即可證出Rt△BPD≌Rt△BPF，進而得出BD=BF，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可得出2BF=AB+BC．（1）證明：作PD⊥AB于點D，∵BN平分∠ABC，PF⊥BC，∴PD=PF．又∵PA=PC，∴Rt△ADP≌Rt△CFP(HL)，∴∠1=∠BAP，∵∠PCB+∠1=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）解：2BF=AB+BC．由（1）知：Rt△ADP≌Rt△CFP，PD=PF，∴AD=CF，∵BP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPF（HL），∴BD=BF，∴2BF=BD+BF=AB-AD+BC+CF=AB+BC，∴2BF=AB+BC．故答案為：2BF=AB+BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定于性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及鄰補角，解題的關(guān)鍵是：（1）利用HL證明Rt△ADP≌Rt△CFP；（2）利用HL證明Rt△BPD≌Rt△BPF．1．如圖，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．(1)證明：；(2)如果，，求AE、BE的長．答案:(1)見解析(2)AE=4，BE=1分析（1）連接BD、CD，先由垂直平分線性質(zhì)得BD=CD，再由角平分線性質(zhì)得DE=CF，然后證Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出結(jié)論；（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，則CF=AF-AC=AE-AC，又因為BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，則AB-AE=AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE長，繼而求得BE長．（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵且平分BC，∴BD=CD，∵AD平分，于E，于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：∵AD平分，于E，于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∴CF=AF-AC=AE-AC，由（1）知：BE