安徽省河南省皖豫聯(lián)盟體2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)（理科）試卷

20202021學(xué)年安徽省、河南省皖豫聯(lián)盟體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，則A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）2.已知為虛數(shù)單位，若，則的共扼復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.3.已知橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（）A.3 B.5 C.7 D.84．“x＞0”是“sinx＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．10張獎(jiǎng)券中有4張“中獎(jiǎng)”獎(jiǎng)券，甲乙兩人先后參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人從中不放回抽取一張獎(jiǎng)券，甲先抽，乙后抽，在甲中獎(jiǎng)條件下，乙沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為（）A. B. C. D.6.如圖，圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式可能是（）A. B.C. D.7.已知－1，a，b，－4成等差數(shù)列，－1，c，d,e，－4成等比數(shù)列，則＝（）A.B.－ C.D.或－8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+?+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），則a2+2a3+?+2019a2020+2020a2021＝（）A．2019?22019 B．2019?22020 C．2020?22019 D．2020?220209．3男3女六位同學(xué)站成一排，則3位女生中有且只有兩位女生相鄰的不同排法種數(shù)是（）A．576 B．432 C．388 D．21610.（）A. B.8C.D.11.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.12.若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在題中的橫線上．13.已知單位向量滿足，則___________.14．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y的最小值為．15．已知三棱錐P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，，O1為△ABC的外接圓的圓心，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為．16．已知點(diǎn)M為雙曲線在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，則雙曲線C的離心率為；若MF，MO分別交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，記直線PM與PQ的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（一）必考題：共60分．17．如圖，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且．（1）求△ACD的面積；（2）若，求AB的長(zhǎng)．18．在2021年高考體檢中，某校隨機(jī)選取了20名男生，測(cè)得其身高數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：序號(hào)12345678910身高168167165186abcd178158序號(hào)11121314151617181920身高166178175169172177182169168176由于統(tǒng)計(jì)時(shí)出現(xiàn)了失誤，導(dǎo)致5，6，7，8號(hào)的身高數(shù)據(jù)丟失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知這4個(gè)人的身高都在（160，182）之間（單位：cm），且這20組身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s＝7．（1）為了更好地研究本校男生的身高數(shù)據(jù)決定用這20個(gè)數(shù)據(jù)中在區(qū)間（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)，重新計(jì)算其平均數(shù)與方差，據(jù)此估計(jì)，高校男生身高的平均值與方差分別為多少（方差保留兩位小數(shù)）？（2）使用統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)說(shuō)明，（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)對(duì)比有什么特點(diǎn)（主要用平均數(shù)與方差進(jìn)行說(shuō)明）？（參考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．點(diǎn)M在棱PD上，且DM＝2MP，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)．（1）證明：直線MN∥平面PAB；（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．20．已知點(diǎn)P（﹣2，y0）為拋物線C：x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)Q，且△FPQ面積為2．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)（2，5）交拋物線C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求證：∠MPN的大小為定值．21．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)λ＝2時(shí)，求證：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；（3）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝4cosθ．（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1），圓C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的值．23．已知函數(shù)f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上遞減，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，則A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故選：D．2．已知i為虛數(shù)單位，若，則z的共軛復(fù)數(shù)＝（）A．cosθ﹣isinθ B．cosθ+isinθ C．sinθ+icosθ D．sinθ﹣icosθ解：＝＝cosθ﹣isinθ，故z的共軛復(fù)數(shù)＝cosθ+isinθ，故選：B．3．已知橢圓，長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8解：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，顯然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m＝8故選：D．4．“x＞0”是“sinx＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：當(dāng)x＝時(shí)，sinx＝﹣1＜0，當(dāng)x＝﹣時(shí)，sinx＝1＞0，∴“x＞0”推不出“sinx＞0”；“sinx＞0”推不出“x＞0”；故“x＞0”是“sinx＞0”的既不充分也不必要條件，故選：D．5．10張獎(jiǎng)券中有4張“中獎(jiǎng)”獎(jiǎng)券，甲乙兩人先后參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人從中不放回抽取一張獎(jiǎng)券，甲先抽，乙后抽，在甲中獎(jiǎng)條件下，乙沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為（）A．? B．? C．? D．?解：根據(jù)題意，10張獎(jiǎng)券中有4張“中獎(jiǎng)”獎(jiǎng)券，甲先抽，并且中獎(jiǎng)，此時(shí)還有9張獎(jiǎng)券，其中3張為“中獎(jiǎng)”獎(jiǎng)券，則在甲中獎(jiǎng)條件下，乙沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率P＝＝，故選：B．6．如圖，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意，用排除法分析：對(duì)于B，在區(qū)間（0，1）上，sinx＞0，cosx＞0，x2＞0，（4x﹣4﹣x）＞0，則必有f（x）＞0，不符合題意，對(duì)于C，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，不符合題意，對(duì)于D，在區(qū)間（0，1）上，sinx＞0，＞0，必有f（x）＞0，不符合題意，故選：A．7．已知﹣1，a，b，﹣4成等差數(shù)列，﹣1，c，d，e，﹣4成等比數(shù)列，則＝（）A． B．﹣ C． D．或﹣解：∵﹣1，a，b，﹣4成等差數(shù)列，∴3（b﹣a）＝﹣4+1＝﹣3∴d＝b﹣a＝﹣1∵﹣1，c，d，e，﹣4五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，∴d2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，d＝（﹣1）q2＜0，∴d＝﹣2，則＝．故選：C．8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+?+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），則a2+2a3+?+2019a2020+2020a2021＝（）A．2019?22019 B．2019?22020 C．2020?22019 D．2020?22020解：∵（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+……+a2020x2019+a2021x2020，∴2020（x+1）2019＝a2+2a3x+……+2019a2020x2018+2020a2021x2019，令x＝1得，2020?22019＝a2+2a3+……+2019a2020+2020a2021，故選：C．9．3男3女六位同學(xué)站成一排，則3位女生中有且只有兩位女生相鄰的不同排法種數(shù)是（）A．576 B．432 C．388 D．216解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將3名男生排好，有A33＝6種排法，排好后有4個(gè)空位，②將女生分為1﹣2的兩組，有C31＝3種分組方法，安排到4個(gè)空位中，考慮2個(gè)女生一組的順序，有2×A42＝12種情況，則有3×24＝72種排法，則有6×72＝432種不同排法，故選：B．10．（+x2）dx＝（）A． B． C．8 D．2π解：＝＝＝2π．故選：A．11．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：由＞60＝1，6＜8＝2，故1＜a＜2，b＝log78+log5649＝+≥2＝2＞2，7b+24b＝25c≥2＞2×7×24＝336，可得1＜c＜2，由于a比c更靠近2一些，故a＞c，所以b＞a＞c．故選：A．12．若函數(shù)f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，） B．（1，） C．（0，1）∪（1，） D．（0，1）∪{}解：令f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3＝0，即2a?+（）2﹣（a﹣1）＝0，設(shè)t＝g（x）＝，令g′（x）＝＝0，則x＝，即有g(shù)（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，則t＜g（）＝，原方程可化為t2+2at﹣（a﹣1）＝0，設(shè)方程兩根為t1＜t2，則0＜t2＜，t1＜0，設(shè)h（t）＝t2+2at﹣（a﹣1），則，解得1＜a＜，故選：B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在題中的橫線上．13．已知單位向量滿足，則＝90°．解：因?yàn)閱挝幌蛄繚M足，所以＝，所以5﹣4＝5，所以＝0，所以＝90°．故答案為：90°．14．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y的最小值為2．解：設(shè)變量x、y滿足約束條件，在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域△ABC，A（1，1），B（3，1），C（2，0），則直線z＝x+2y，過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)C（2，0）時(shí)的最小值，目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y的最小值為：2．故答案為：2．15．已知三棱錐P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O1為△ABC的外接圓的圓心，cos∠PAO1＝，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為14π．解：因?yàn)椤螧AC＝90°，O1為△ABC的外接圓的圓心，所以O(shè)1為BC的中點(diǎn)，則AO1＝，因?yàn)锳B＝AC＝2，PB＝PC，所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，又AO1∩PO1＝O1，AO1，PO1?平面PAO1，所以BC⊥平面PAO1，又BC?平面ABC，故平面ABC⊥平面PAO1，作PH⊥平面ABC，垂足為H，因?yàn)镻∈平面PAO1，則PH?平面PAO1，又平面ABC∩平面PAO1＝AO1，則H∈AO1，所以AH＝PAcos∠PAO1＝，因?yàn)椤螧AC＝90°，所以ABHC是矩形，取PA的中點(diǎn)O，連結(jié)OO1，則OO1∥PH，從而OO1⊥平面ABC，則點(diǎn)O即為三棱錐P﹣ABC也就是四棱錐P﹣ABHC的外接球的球心，球的半徑R＝，所以三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為＝14π．故答案為：14π．16．已知點(diǎn)M為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，則雙曲線C的離心率為4；若MF，MO分別交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，記直線PM與PQ的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝15．解：設(shè)M（x0，y0），由已知可得，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，則，＝，即M（），把M代入雙曲線方程，可得，即4b2c2﹣45a2c2＝16a2b2，又b2＝c2﹣a2，代入上式可得4c4﹣65a2c2+16a4＝0，即4e4﹣65e2+16＝0，解得e2＝16或（舍），所以雙曲線C的離心率e＝4；設(shè)P（x1，y1），則Q（﹣x0，﹣y0），所以＝，把P、M的坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，得，兩式作差,可得，由e＝4，得，即c2＝a2+b2＝16a2，所以．∴k1k2＝15．故答案為：4；15．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（一）必考題：共60分．17．如圖，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝2，CD＝6，cosB＝．（1）求△ACD的面積；（2）若BC＝6，求AB的長(zhǎng)．解：（1）∵cosB＝，0＜B＜π，可求：sinB＝．∴sinD＝sin2B＝2sinBcosB＝．∴S△ACD＝?AD?CD?sinD＝4．…（2）∵AD＝2，CD＝6，cosD＝2cos2B﹣1＝﹣，∴在△ACD中，由余弦定理知，AC＝＝＝4，∵在△ABC中，BC＝6，可得：cosB＝＝＝，整理可得AB2﹣4AB+24＝0，∴解得：AB＝2．…18．在2021年高考體檢中，某校隨機(jī)選取了20名男生，測(cè)得其身高數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：序號(hào)12345678910身高168167165186abcd178158序號(hào)11121314151617181920身高166178175169172177182169168176由于統(tǒng)計(jì)時(shí)出現(xiàn)了失誤，導(dǎo)致5，6，7，8號(hào)的身高數(shù)據(jù)丟失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知這4個(gè)人的身高都在（160，182）之間（單位：cm），且這20組身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s＝7．（1）為了更好地研究本校男生的身高數(shù)據(jù)決定用這20個(gè)數(shù)據(jù)中在區(qū)間（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)，重新計(jì)算其平均數(shù)與方差，據(jù)此估計(jì)，高校男生身高的平均值與方差分別為多少（方差保留兩位小數(shù)）？（2）使用統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)說(shuō)明，（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)對(duì)比有什么特點(diǎn)（主要用平均數(shù)與方差進(jìn)行說(shuō)明）？（參考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））解：（1）由平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為s＝7，所以區(qū)間（﹣2s，+2s）＝（158，186），不在該區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有158和186，剔除后，剩余18個(gè)數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為：＝，（2）（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)對(duì)比，有以下特點(diǎn)：①（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)占總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的90%，說(shuō)明該校90%左右的男生身高都在區(qū)間（158，186）以內(nèi)；②（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)對(duì)比，平均數(shù)沒(méi)變，即平均身高沒(méi)有變化；③原數(shù)據(jù)的方差為49，而（﹣2s，+2s）以內(nèi)的數(shù)據(jù)的方差約為32.67，方差變小了，說(shuō)明剔除兩個(gè)極端數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)更趨于集中，更具有代表性．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．點(diǎn)M在棱PD上，且DM＝2MP，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)．（1）證明：直線MN∥平面PAB；（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．解：（Ⅰ）證明：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)閤，y，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）．顯然，是平面ABP的一個(gè)法向量，，故，即，又因?yàn)镸N?平面PAB，故直線MN∥平面PAB．（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為，又，由，得取z＝2，可得．由已知，可得．設(shè)平面PDN的法向量為，有，取z＝1，可得．所以，因此．所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值為．20．已知點(diǎn)P（﹣2，y0）為拋物線C：x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)Q，且△FPQ面積為2．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)（2，5）交拋物線C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求證：∠MPN的大小為定值．解：（1）因?yàn)椤鱂PQ面積為2．所以|FQ|?2＝2，即|FQ|＝2，x2＝2py即y＝的導(dǎo)數(shù)為y′＝，可得P處的切線的斜率為，切線的方程為y﹣y0＝﹣（x+2），令x＝0，可得y＝y(tǒng)0﹣＝﹣＝﹣，所以+＝2，解得p＝2，所以拋物線的方程為x2＝4y；（2）證明：設(shè)M（x1，），N（x2，），設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣2）+5，由可得x2﹣4kx+8k﹣20＝0，所以x1+x2＝4k，x1x2＝8k﹣20，因?yàn)镻（﹣2，1），＝（x1+2，﹣1），＝（x2+2，﹣1），所以?＝（x1+2）（x2+2）+（﹣1）（﹣1）x1x2+2（x1+x2）+4+﹣+1＝8k﹣20+8k+﹣+5＝0，所以⊥，所以∠PMN的大小為定值90°．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx+（λ∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)λ＝2時(shí)，求證：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；（3）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）＝﹣＝，令g（x）＝x2﹣λx+1，△＝λ2﹣4，當(dāng)λ＜﹣2時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)﹣2≤λ≤2時(shí)，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)λ＞2時(shí)，△＞0，設(shè)方程g（x）＝0的兩個(gè)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＝＞0，x2＝＞0，當(dāng)0＜x＜x1或x＞x2時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，故f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（0，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)λ≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)λ＞2時(shí)，f（x）在（，）上單調(diào)遞減，在（0，）和（，+∞）上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）可得，當(dāng)λ＝2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）＞f（1）＝0，故f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．（3）證明：由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＞，當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞，要證（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，只需證（ex﹣1）＞x2，只需證ex＞x2+x+1，令h（x）＝ex﹣x2﹣x﹣1（x＞0），h′（x）＝ex﹣x﹣1，h″（x）＝ex﹣1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以h′（x）＞h′（0）＝0，所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，h（x）＞h（0）＝0，即ex＞x2+x+1，故當(dāng)x＞0時(shí)，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．（另解）要證當(dāng)x＞0時(shí)，