四川省綿陽市綿陽中學高三上學期第一學月考試數(shù)學（理）試題

綿陽中學高2020級高三上期第一學月考試數(shù)學（理科）試題命題人：趙志明徐娟謝金芮康微一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分）1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解出不等式即可求出答案.【詳解】因為所以故選：D【點睛】本題考查的是集合的運算，較簡單.2.設向量，，則的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】由題得.所以.所以的夾角等于.故選：【點睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3.已知命題，則命題的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：A.4.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】第一步，由函數(shù)為偶函數(shù)，排除C、D選項；第二步，通過,排除B選項.【詳解】由函數(shù)得，即，故函數(shù)的定義域為，且對都有，成立，所以函數(shù)是偶函數(shù)，，排除C、D選項；又,排除B選項.故選：A.5.按照“碳達峰”?“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關系的經(jīng)驗公式：，其中n為Peukert常數(shù)，為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，兩式相比結合對數(shù)式與指數(shù)式的互化及換底公式即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得，，兩式相比得，即，所以.故選：B.6.如圖，在梯形中，，，為線段的中點，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)向量的線性運算法則求解即可．【詳解】解：由題意，根據(jù)向量的運算法則，可得，故選：D．7.設當時，函數(shù)取得最大值，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由輔助角公式可確定，從而得到；利用同角三角函數(shù)平方關系可構造出方程組求得結果.【詳解】，其中，即又【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的最值求解三角函數(shù)值的問題，關鍵是能夠確定三角函數(shù)的最值，從而得到關于所求三角函數(shù)值的方程，結合同角三角函數(shù)關系構造方程求得結果.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由最值可求得，根據(jù)最小正周期可求得，由可求得，從而得到解析式；由三角函數(shù)平移和伸縮變換原則可得.【詳解】由圖象可知：，最小正周期，，，，，解得：，又，，；將圖象向右平移個單位長度可得：；將橫坐標變?yōu)樵瓉肀兜茫?故選：A.9.已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造，，研究其奇偶性及單調(diào)性，進而可求得結果.【詳解】令，，因為，所以，所以為奇函數(shù)，又因為當時，，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又因為，，，，所以，即.故選：A.10.在直角三角形中，，，，在斜邊的中線上，則的最大值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，寫出各點坐標，利用向量的坐標運算轉為求二次函數(shù)的最值.【詳解】以為坐標原點，以，方向分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標系，則，，BC中點D(則直線AD方程為y=設,所以，，，.則當x=時的最大值為.故選B【點睛】本題考查數(shù)量積在平面幾何中的應用，建立坐標系是常用的方法，屬于基礎題.11.若存在唯一的正整數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉化為在時有唯一的正整數(shù)解，研究（）單調(diào)性，進而可得只需即可滿足題意.【詳解】由題意知，在時有唯一的正整數(shù)解.設（），則，又，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以要滿足在時有唯一的正整數(shù)解，則只需要，又，，所以.故選：D.12.已知函數(shù).若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先運用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并作出圖象，再根據(jù)圖象列出函數(shù)有4個零點所需的條件.【詳解】函數(shù)，函數(shù)性質分段討論如下：當時，最小值為1，當時，令解得：，所以函數(shù)遞減，函數(shù)遞增,且時，綜合以上分析，作出函數(shù)圖象，如圖.由圖可知，函數(shù)有兩個零點，和（*），再考察函數(shù)的零點，由（*）可知，或，即或根據(jù)題意，這兩個方程共有四個根，結合函數(shù)圖象，解得，.故選：B【點睛】思路點睛：本題主要考查了函數(shù)零點的判定，以及函數(shù)的圖象和性質，并運用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結合函數(shù)圖象得出零點個數(shù)，具有一定的綜合性，屬于難題.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝3，a5+a6＝12，則a9+a10＝___．【答案】48【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，即可直接列式求得結果.【詳解】由等比數(shù)列的性質可得：a1+a2，a5+a6，a9+a10，成等比數(shù)列．∴a9+a10＝＝48．故答案為：48．【點睛】本題考查等比數(shù)列性質的應用，屬簡單題.14.向量，滿足，，且，則，夾角的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)兩邊平方，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式進行求解即可．【詳解】因為，所以，即，所以，故．故答案為：【點睛】本題重點考查了數(shù)量積的概念、運算法則及夾角等知識，屬于基礎題．15.已知定義在上的函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，又，，則_________.【答案】1【解析】【分析】由可得的周期，進而可得、，結合的圖象關于點對稱與可得關于對稱，進而可求得，從而運用周期性求值即可.【詳解】因為，所以，所以，即是以3為周期的函數(shù).所以，，又的圖象關于點對稱，所以，又已知，所以，所以關于對稱，即為偶函數(shù)，則，所以，所以.故答案為：1.16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結論：①；②若，則函數(shù)的最小正周期為；③當時，存在使得關于的方程在區(qū)間上有個不相等的實數(shù)解；④若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為，其中所有正確結論的編號為_________【答案】①②④【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的額關系式和三角函數(shù)的圖象變換，結合正弦型函數(shù)的性質，函數(shù)的零點和方程的根的關系，逐一判斷，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，對于①中，由，可得，所以①正確：對于②中，由，所以函數(shù)的對稱方程，則，所以函數(shù)的最小正周期為，所以②正確；對于③中，關于的方程有幾個實數(shù)解，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，所以只需驗證，周期最小的時候的實數(shù)解個數(shù)，當時，在區(qū)間上的實數(shù)解為共有三個，所以③錯誤；對于④，函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，所以，所以，解得且滿足，即，解得，故，所以④正確.故答案為：①②④.三、解答題（本大題共5小題，共70分）17.已知,，函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求的值；（2）已知，，分別為中角，，的對邊，且滿足，，求周長的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式及三角恒等變換化簡可得函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的周期，可得的值；（2）由，可得，再根據(jù)余弦定理，結合基本不等式可得的最大值，及周長的最大值.【小問1詳解】由,，則，又函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，即，，所以；【小問2詳解】由，，所以，則，，由余弦定理，得，所以，所以，解得，當且僅當時等號成立，所以，即當為等邊三角形時，周長最大為.18.在中，角對邊分別為，且.從下列選項中任選兩個條件作為一個條件組合：①②③，若該三角形滿足其中的某個條件組合.（1）請指出所有不正確的條件組合，并說明理由.（2）指出正確的條件組合，并求該三角形面積.【答案】（1）①②，②③，理由見解析（2）①③正確，.【解析】【分析】（1）由可得，若選①②，此時，不合理；若選②③，結合大邊對大角可得，此時，不合理.（2）運用正弦定理可得，由同角三角函數(shù)平方關系可得，結合和角公式及三角形面積公式計算即可.【小問1詳解】不正確的條件組合為：①②，②③.理由如下：若選①②，由，所以，而，此時，所以這種情況不合理；若選②③，由，所以，又因為，所以，此時，所以這種情況不合理.【小問2詳解】正確的條件組合為：①③.如圖所示，因為，所以由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，所以.19.已知函數(shù)在處有極值．（1）求，的值；（2）若，函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)在處有極值，列出方程組，求得的值，再結合函數(shù)極值的定義，即可得到答案；（2）把，函數(shù)有零點，轉化為函數(shù)與的圖象有交點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的值域，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在處有極值，可得，解得，所以函數(shù)，此時，當或時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極大值，符合題意，所以.（2）由，函數(shù)有零點，即，函數(shù)有根，即，函數(shù)與的圖象有交點，又由（1）知，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，可得，所以函數(shù)的最大值為，即函數(shù)的值域為，要使得函數(shù)與的圖象有交點，可得，即實數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程（2）若對任意的恒成立，求滿足條件的實數(shù)的最小整數(shù)值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）求出在處的導數(shù)值，求出，即可得出切線方程；（2）先由題意，將問題轉化為：得到，對任意的恒成立；，求出其導數(shù)，得出存在，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由隱零點的整體代換的處理方法可得出答案.【小問1詳解】，，曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】對任意的恒成立，，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，.在唯一，使得使得，即，且當時，，即；當時，，即.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，則在上單調(diào)遞增，所以，滿足條件的實數(shù)的最小整數(shù)值為.21.已知函數(shù)，對于恒成立．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）當實數(shù)取最大值時，函數(shù)．當實數(shù)，若，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由不等式恒成立轉化為參變分離恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，求的取值范圍；（2）由（1）可知，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)證明單調(diào)遞增，且，由及為單調(diào)遞增函數(shù)，，則異號，再設，則，逐步證明.【詳解】（1）恒成立，恒成立，令，，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，故．（2），，單調(diào)遞增，且．令，則令，．單調(diào)遞增，，故當時，，所以單調(diào)遞增，且．由及為單調(diào)遞增函數(shù)，，則異號，不妨設，則，即，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，恒成立的綜合問題，重點考查了轉化思想，構造函數(shù)思想，邏輯推理能力，屬于難題，本題第二問的關鍵和難點是構造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性和零點轉化為自變量的大小關系.選做題：請考生在22，23題中任選一題作答，如果多答，以所答的第一題計分，其余不計分.【選修坐標系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的方程為，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與曲線交于、兩點，求的值，并求定點到，兩點的距離之積.【答案】（Ⅰ）直線的普通方程，曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由可得曲線的直角坐標方程為；用消參法消去參數(shù)，得直線的普通方程.（Ⅱ）將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程中，由直線的參數(shù)方程中的參數(shù)幾何意義求解.【詳解】（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，得直線的普通方程.由，得曲線的直角坐標方程為.（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得.則，.∴，.所以，的值為，定點到，兩點的距離之積為.【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，參數(shù)方程轉化為普通方程，直線的參數(shù)方程.【選修