培優(yōu)提高訓(xùn)練華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元二次方程 典型例題解析學(xué)生用

1、【培優(yōu)提高訓(xùn)練】華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第22章 一元二次方程 典型例題解析一、解答題1.已知關(guān)于x的方程a1-x2+2bx+c(1+x2)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試證明以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形。 2.在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪要使草坪的面積為540m2 ， 求道路的寬3.如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)P自點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q自點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)若P，Q兩點(diǎn)分別同時(shí)從B，C兩點(diǎn)出發(fā)，問經(jīng)過多少時(shí)間PCQ的面積是2 3 cm2？4.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+

2、x+1=0（1）當(dāng)該方程有一個(gè)根為1時(shí)，確定m的值；（2）當(dāng)該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，確定m的取值范圍 5.為滿足市場(chǎng)需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí)，每天能出售500個(gè)，并且售價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少10個(gè)，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定，該品牌粽子售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià)，使超市每天的銷售利潤(rùn)為800元 6.如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)40米，寬為26米的矩形場(chǎng)地ABCD上，修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草，若使每塊草坪的面積都為

3、144平方米，求道路的寬度 7.如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， 那么x1+x2=p，x1x2=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則ab+ba=?（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是關(guān)于x，y的方程組x2-y+k=0x-y=1的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得y1y2x1x2-x2x1=2？若存在，求出的k值，若不存在，請(qǐng)說明理由 8.如圖所示，某工人師傅要在一個(gè)面積為15m2的矩形鋼板上裁剪

4、下兩個(gè)相鄰的正方形鋼板當(dāng)工作臺(tái)的桌面，且要使大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)大1m求裁剪后剩下的陰影部分的面積 9.小明家門前有一塊空地，空地外有一面長(zhǎng)10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長(zhǎng)的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄（如圖所示），花圃的一邊AD（垂直圍墻的邊）究竟應(yīng)為多少米才能使花圃的面積最大？ 10.某市百貨商店服裝部在銷售中發(fā)現(xiàn)“米奇”童裝平均每天可售出20件，每件獲利40元。為了迎接“六一”兒童節(jié)和擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)如果每件童裝每降價(jià)1元，則平均每天可多售出2件，要想平均每天在銷售這種童裝上獲利

5、1200元，并且盡快減少庫存，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？ 11.如圖，四邊形ABCD中，ADBC，A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿BC的方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（t0）（1）求線段CD的長(zhǎng)； （2）t為何值時(shí)，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分？ 二、綜合題12.解答 （1）7x（5x+2）=6（5x+2） （2）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍 13.已知關(guān)于x的方

6、程 x2-(k+1)x-6=0 . （1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若方程的一根為2，試求出k的值和另一根 14.曲靖市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米4000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米3240元的均價(jià)開盤銷售 （1）求平均每次下調(diào)的百分率 （2）某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：打9.9折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.4元，請(qǐng)問哪種方案更優(yōu)惠？ 15.我市某社會(huì)團(tuán)體組織人員參觀皇窯

7、瓷展，主辦方對(duì)團(tuán)體購票實(shí)行優(yōu)惠：在原定票價(jià)的基礎(chǔ)上，每張降價(jià)40元，則按原定票價(jià)需花費(fèi)6000元購買門票，現(xiàn)在只花了4000元 （1）求每張門票原定的票價(jià)； （2）在展覽期間，平均每天可售出個(gè)人票2019張，現(xiàn)主辦方?jīng)Q定對(duì)個(gè)人購票也采取優(yōu)惠措施，發(fā)現(xiàn)原定票價(jià)每降低2元，平均每天可多售出個(gè)人票40張，若要使平均每天的個(gè)人票收入達(dá)到241500元，且能有效控制游覽人數(shù)，則票價(jià)應(yīng)降低多少元？ 16.某商場(chǎng)經(jīng)營A種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)間的單價(jià)是30元，但據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具 （1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x4

8、0），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示該玩具的銷售量； （2）若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于450件的銷售任務(wù)，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少？ （3）該商場(chǎng)計(jì)劃將（2）中所得的利潤(rùn)的一部分資金采購一批B種玩具并轉(zhuǎn)手出售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查并準(zhǔn)備兩種方案，方案：如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投資C種玩具，到月末又可獲利10%；方案：如果只到月末出售可直接獲利30%，但要另支付他庫保管費(fèi)350元，請(qǐng)問商場(chǎng)如何使用這筆資金，采用哪種方案獲利較多？ 17.某租賃公司擁有汽車100輛據(jù)統(tǒng)計(jì)，每輛車的月租金為4000元時(shí)，可全部租出每輛車的月租金每增加100元，未租出

9、的車將增加1輛租出的車每輛每月的維護(hù)費(fèi)為500元，未租出的車每輛每月只需維護(hù)費(fèi)100元 （1）當(dāng)每輛車的月租金為4600元時(shí)，能租出多少輛？并計(jì)算此時(shí)租賃公司的月收益（租金收入扣除維護(hù)費(fèi)）是多少萬元？ （2）規(guī)定每輛車月租金不能超過7200元，當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益（租金收入扣除維護(hù)費(fèi)）可達(dá)到40.4萬元？ 18.如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2 cm/s的速度向D移動(dòng) （1）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒？四邊形PBCQ的面積為33cm2； （2

10、）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)？點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm 19.如圖S22，在RtABC中，C90°，AC20 cm ， BC15 cm.現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)如果點(diǎn)P的速度是4 cm/s，點(diǎn)Q的速度是2 cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，求：（1）用含t的代數(shù)式表示RtCPQ的面積S； （2）當(dāng)t3秒時(shí)，這時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？ （3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，S425SABC? 20.已知：如圖所示，在ABC中，B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點(diǎn)P

11、從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PBQ的面積等于4cm2？ （2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PBQ中PQ的長(zhǎng)度等于5cm？ （3）在（1）中，當(dāng)P，Q出發(fā)幾秒時(shí)，PBQ有最大面積? 21.為了落實(shí)國務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系：y2x80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w元 （1）求

12、w與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？ （3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？ 22.滿洲里市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價(jià)開盤銷售 （1）求平均每次下調(diào)的百分率； （2）某人準(zhǔn)備以開盤均價(jià)購買一套100平方米的房子開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：打9.8折銷售；不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理

13、費(fèi)是每平方米每月1.5元，請(qǐng)問哪種方案更優(yōu)惠？ 答案解析部分一、解答題1.【答案】證明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括號(hào)，整理為一般形式為：（c-a）x2+2bx+a+c=0，關(guān)于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。=0，即=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2。以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形。 2.【答案】解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得：（32x）（20x）=540，解得：x1=2，x2=50（不合題意，舍去），答：道路的寬是2m 3.【答案】解：設(shè)經(jīng)過xs

14、PCQ的面積是2 3 cm2 ， 由題意得12 （6x）× 32 x=2 3解得：x1=2，x2=4，答：經(jīng)過2s或4sPCQ的面積是2 3 cm2 4.【答案】解：（1）把x=1代入mx2+x+1=0，得m+1+1=0，解得m=2；（2）由題意得：=14m0，解得m14 又m0所以m的取值范圍是：m14且m0 5.【答案】解：設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為x元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元 根據(jù)題意，得（x3）（50010× ）=800，解得x1=7，x2=5售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%，x3×200%即x6x=5答：每個(gè)粽子的定價(jià)為5元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元 6.【答案】解：設(shè)

15、道路的寬為x米， 由題意得：40×262×26x40x+2x2=144×6化簡(jiǎn)得：x246x+88=0解得：x=2，x=44當(dāng)x=44時(shí)，道路的寬就超過了矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬，因此不合題意舍去答：道路的寬為2米 7.【答案】解：（1）a、b是方程x2+15x+5=0的二根，a+b=15，ab=5，ab+ba=a+b2-2abab=-152-2×55=43，故答案是：43；（2）a+b+c=0，abc=16，a+b=c，ab=16c ， a、b是方程x2+cx+16c=0的解，c2416c0，c243c0，c是正數(shù)，c3430，c343 ， c4，正數(shù)c的最小

16、值是4（3）存在，當(dāng)k=2時(shí)，y1y2-x1x2-x2x1=2 由x2y+k=0變形得：y=x2+k，由xy=1變形得：y=x1，把y=x1代入y=x2+k，并整理得：x2x+k+1=0，由題意思可知，x1 ， x2是方程x2x+k+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有：-12-4k+1>0x1+x2=1x1x2=k+1y1y2=x1-1x2-1y1y2-x1x2-x2x1=x1-1x2-1-x1+x22-2x1x2x1x2=2即：k<-34k2+2k=0解得：k=2 8.【答案】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)xm，則小正方形的邊長(zhǎng)為（x1）m， 根據(jù)題意得：x（2x1）=15，解得：x1=3，

17、x2= （不合題意舍去），小正方形的邊長(zhǎng)為（x1）=31=2，裁剪后剩下的陰影部分的面積=152232=2（m2），答：裁剪后剩下的陰影部分的面積2m2 9.【答案】解：設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，矩形的面積為y平方米， y=x = ，0x10，x=10時(shí)，y取得最大值，此時(shí)AD= 米，即花圃的一邊AD（垂直圍墻的邊）11米時(shí)，能使花圃的面積最大 10.【答案】解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，由題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，當(dāng)x=20時(shí)，20+2x=60（件），當(dāng)x=10時(shí)，20+2x=40（件）， 60>40， x2=10舍去.答：每件

18、童裝應(yīng)降價(jià)20元. 11.【答案】（1）解：如圖1，作DEBC于E，則四邊形ADEB是矩形BE=AD=1，DE=AB=3，EC=BCBE=4，在RtDEC中，DE2+EC2=DC2 ， DC= DE2+CE2 =5厘米；（2）解：點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，BP=t厘米，PC=（5t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（52t）厘米，且0t2.5，作QHBC于點(diǎn)H，DEQH，DEC=QHC，C=C，DECQHC， DEQH = DCQC ，即 3QH = 52t ，QH= 65 t，SPQC= 12 PCQH= 12 （5t） 65 t= 35 t2+3t，S四邊

19、形ABCD= 12 （AD+BC）AB= 12 （1+5）×3=9，分兩種情況討論：當(dāng)SPQC：S四邊形ABCD=1：3時(shí)， 35 t2+3t= 13 ×9，即t25t+5=0，解得t1= 5-52 ，t2= 5+52 （舍去）；SPQC：S四邊形ABCD=2：3時(shí)， 35 t2+3t= 23 ×9，即t25t+10=0，0，方程無解，當(dāng)t為 5-52 秒時(shí)，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分 二、綜合題12.【答案】（1）解：7x（5x+2）=6（5x+2） 7x（5x+2）6（5x+2）=0（5x+2）（7x6）=0，5x+2=0或7x6=0，解得

20、，x1= ，x2= （2）解：于x的一元二次方程x2+3x+m1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 324×1×（m1）0，解得，m ，即m的取值范圍是m 13.【答案】（1）證明： b2 4ac= ( k + 1 ) 24×1×( 6) = ( k + 1 ) 2+ 24 24 ， 無論k的取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）解：將 x=2 代入方程 x2-(k+1)x-6=0 中，22-2(k+1)-6=0 ，即 k+2=0 ，解得： k=-2 原方程為： x2+x-6=0 ，即 (x-2)(x+3)=0 ，解得： x1=2 ， x2=-3 故k的值為 -2

21、 ，方程的另一根為 -3 14.【答案】（1）解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率是x，依題意得，4000（1x）2=3240 解之得：x=0.1=10%或x=1.9（不合題意，舍去） 所以，平均每次下調(diào)的百分率是10%（2）解：方案優(yōu)惠=100×3240×（199%）=3240元 方案優(yōu)惠=100×1.4×12×2=3360元故選擇方案更優(yōu)惠 15.【答案】（1）解：設(shè)每張門票的原定的票價(jià)是x元， 解得，x=120經(jīng)檢驗(yàn)x=120是原分式方程的解，即每張門票的原定的票價(jià)是120元；（2）解：要使平均每天的個(gè)人票收入達(dá)到241500元，且能有效控制游覽人

22、數(shù)，則票價(jià)應(yīng)降低x元， （120x）（2019+ ×40）=241500，解得，x1=5，x2=15，能有效控制游覽人數(shù)，x=5時(shí)，購買的人數(shù)較少，可以較好的控制，即要使平均每天的個(gè)人票收入達(dá)到241500元，且能有效控制游覽人數(shù)，則票價(jià)應(yīng)降低5元 16.【答案】（1）解：根據(jù)題意，得：銷售單價(jià)為x元時(shí)，銷售量為60010（x40）=100010x（2）解：由題意可得， w=（x30）600（x40）×10化簡(jiǎn)，得w=10x2+1300x30000即w與x的函數(shù)關(guān)系式是：w=10x2+1300x30000=10（x65）2+12250， ，44x55，當(dāng)x=55時(shí)，Wmax

23、=11250（3）解：設(shè)取用資金為a元，則： y1=a（1+15%）（1+10%）=1.265a；y2=a（1+30%）350=1.3a350；當(dāng)y1=y2時(shí)，即1.265a=1.3a350，解得a=1000，此時(shí)獲利相同；當(dāng)y1y2時(shí)，即1.265a1.3a350，解得a1000，此時(shí)獲利多；當(dāng)y1y2時(shí)，即1.265a1.3a350，解得1000a11250，此時(shí)獲利多 17.【答案】（1）解：因?yàn)樵伦饨?600元，未租出6輛車，租出94輛車； 月收益：94×（4600500）6×100=384800（元），即38.48萬元（2）解：設(shè)上漲x個(gè)100元，由題意得 （40

24、00+100x500）（100x）100x=404000整理得：x264x+540=0解得：x1=54，x2=10，因?yàn)橐?guī)定每輛車月租金不能超過7200元，所以取x=10，4000+10×100=5000答：月租金定為5000元 18.【答案】（1）解：設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時(shí)四邊形PBCQ的面積為33cm2 ， 則PB=（163x）cm，QC=2xcm，根據(jù)梯形的面積公式得 （163x+2x）×6=33，解之得x=5（2）解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm， 作QEAB，垂足為E，則QE=AD=6，PQ=10，PA=3t，CQ=BE=2t，PE=ABAPBE=|165t|，由勾股定理，得（165t）2+62=102 ， 解得t1=4.8，t2=1.6答：（1）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm19.【答案】（1）解：S20t4t2（2）解：當(dāng)t3時(shí)，CP204×38(cm)，CQ2&