2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第23講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用（講）

第23講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2．用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0五點(diǎn)法作圖的步驟用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，精髄是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象，其中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為eq\f(T,4).3．由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法題型歸納題型1“五點(diǎn)法”作圖及圖象變換【例11】（2020春?興寧區(qū)校級(jí)月考）（1）利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖．列表：作圖：（2）并說(shuō)明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎么變換得到的．（3）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程．【分析】（1）按照“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線，畫圖即可；（2）經(jīng)過平移變換和伸縮變換即可得到函數(shù)的圖象．（3）由，，即可解得函數(shù)的對(duì)稱軸方程．【解答】解：（1）先列表，后描點(diǎn)并畫圖00100（2）把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得圖象的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，即的圖象；（3）由，可得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程是，．【例12】（2020春?安徽期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象的圖象，故選：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?云南期末）函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的一個(gè)可能取值是A．2 B． C． D．【分析】由題意根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，，則的一個(gè)可能取值為，故選：．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?廣州期末）已知函數(shù)，，將的圖象經(jīng)過下列哪種變換可以與的圖象重合A．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 B．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 C．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍 D．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將函數(shù)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到的圖象．故選：．【跟蹤訓(xùn)練13】（2019秋?道里區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期并用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在區(qū)間，上的圖象；（Ⅱ）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值及此時(shí)的值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用五點(diǎn)法作圖，畫出函數(shù)在，上的圖象．（Ⅱ）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，即可得解．【解答】解：（Ⅰ），函數(shù)的最小正周期，在，上，，，列表如下：函數(shù)在區(qū)間，上的圖象是：012001作圖如下：．（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，由于時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為．【名師指導(dǎo)】(1)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象可用“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖得到，可通過變量代換z＝ωx＋φ計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo)．(2)由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的變換：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度．(3)平移前后兩個(gè)三角函數(shù)的名稱如果不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時(shí)應(yīng)先變成正值．題型2求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例21】（2020?新鄉(xiāng)二模）如圖，，是函數(shù)，，的圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，是函數(shù)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則函數(shù)的解析式是A． B． C． D．【分析】根據(jù)最高點(diǎn)求出的值，然后再結(jié)合是等腰直角三角形，求出，也就是周期，從而求出的值，最后利用“對(duì)應(yīng)思想”求出的值．【解答】解：由題意可得，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所以，則，故．將代入的解析式得，解得，因?yàn)?，所以，則．故選：．【例22】（2020春?大連期末）已知函數(shù)（其中，，，均為常數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則的值為A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的部分圖象知，，解得，可求周期，利用周期公式可求，分類討論，當(dāng)時(shí)，由，可得，，結(jié)合，此時(shí)取不到符合題意的值；當(dāng)時(shí)，由，解得，；結(jié)合，可得時(shí)，，即可得解．【解答】解：由函數(shù)的部分圖象知，，解得；又，解得；所以；（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，又，，，；解得，；又，此時(shí)取不到符合題意的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，又，，，；解得，；又，可得時(shí)，，綜上，的值為．故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?新余期末）已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則A． B．1 C． D．【分析】由函數(shù)的部分圖象求得、、和的值，即可寫出，進(jìn)而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解答】解：由函數(shù)的部分圖象知，，，解得，；又，可得，，解得，，，可得，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練22】（（2020?深圳一模）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為A． B． C． D．【分析】直接利用函數(shù)的圖象的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用圖象的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象：，，所以．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，故，解得，，當(dāng)時(shí)，．故，所以把的圖象向右平移個(gè)單位得到，故選：．【跟蹤訓(xùn)練23】（（2020春?日照期末）已知函數(shù)，的圖象如圖所示，則，．【分析】由三角函數(shù)的圖象先求出周期，進(jìn)而求出的值為3，將，代入，注意在處函數(shù)單調(diào)遞增，所以，再由的取值范圍可得的值，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的值．【解答】解：由函數(shù)的圖象可得，可得，可得，因?yàn)?，由圖可知，，，可得，所以，所以，所以答案分別為：3，0．【名師指導(dǎo)】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步驟(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法有：①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間還是在下降區(qū)間)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入；②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝2π.題型3三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題【例31】（2020春?瀘州期末）關(guān)于函數(shù)，給出下列命題：（1）函數(shù)在，上是增函數(shù)；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱；（3）為得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度．其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1），由，時(shí)，可得，由的單調(diào)性即可判斷；（2），由可得，，即可判斷；（3），根據(jù)函數(shù)的圖象平行移動(dòng)規(guī)則即可判斷．【解答】解：對(duì)于（1），，時(shí)，，在，上不是增函數(shù)，故錯(cuò)；對(duì)于（2），由可得，，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，故正確；對(duì)于（3），函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得，故正確；故選：．【例32】（2019秋?武漢期末）下面是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心距離水面1米，已知水輪自點(diǎn)開始以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)距水面的高度（米）（在水平面下為負(fù)數(shù)）與時(shí)間（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式，則函數(shù)關(guān)系式為．【分析】由題意求出、、和的值，即可寫出函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：由題意知水輪的半徑為2，水輪圓心距離水面1，所以；又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，所以轉(zhuǎn)一圈需要15秒，所以，解得；由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，，解得，又，所以；所以函數(shù)關(guān)系式為．故答案為：．【例33】（2020?全國(guó)Ⅰ卷模擬）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時(shí)，取到最大值4，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由題知，由得出對(duì)稱中心及對(duì)稱軸，得出，再得出解析式，再由變換得出，再分別畫出與圖象，即可得出結(jié)論．【解答】解：，所以，即，又，所以為對(duì)稱軸；且，則為的一個(gè)對(duì)稱中心，由于，所以與為同一個(gè)周期里相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則，，又，且，解得，故，由圖象變換得，在處的切線斜率為，又在處的切線斜率不存在，即切線方程為，所以右側(cè)圖象較緩，如圖所示：同時(shí)時(shí)，，所以的零點(diǎn)有7個(gè)，故選：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?赤峰期末）點(diǎn)，是函數(shù)，的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且點(diǎn)到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為，則（）A．的最小正周期是 B．的值為2 C．的初相為 D．在，上單調(diào)遞增【分析】點(diǎn)，是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性可得，，又點(diǎn)到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值，即，利用周期公式可求的值，可求函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)，是函數(shù)，的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性可得，，，又點(diǎn)到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為，即，所以，可得，所以，把已知點(diǎn)，代入可得，可得，，可得，，由已知，可得，所以，：函數(shù)的最小正周期為，故錯(cuò)誤；的值為3，故錯(cuò)誤；：函數(shù)的初相為：，故錯(cuò)誤；：令，，，可得，，，可得在，上單調(diào)遞增，故正確．故選：．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?合肥模擬）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．函數(shù)的最小正周期為 B．直線為函數(shù)的一條對(duì)稱軸 C．點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心 D．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象【分析】由題意利用由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，，的部分圖象，可得，，，最小正周期為，故正確．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，，故函數(shù)．令，求得，為最小值，故直線為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故正確．令，求得，故點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故正確．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，故不正確，故選：．【跟蹤訓(xùn)練33】（2020?黃山二模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間和上均單增，則實(shí)數(shù)的范圍是．【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得實(shí)數(shù)的范圍．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則在區(qū)間和上均單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，，在上，，，，，且，，求得，故答案為：，．【跟蹤訓(xùn)練34】（2019秋?武漢期末）某游樂場(chǎng)中半徑為30米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每5分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面5米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米隨時(shí)間（秒變化的關(guān)系式為A． B． C． D．【分析】設(shè)，由題意可得，，，為最低點(diǎn)，代入可得．【解答】解：設(shè)，由題意可得，，，為最低點(diǎn)，代入可得，，，時(shí)，，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練35】（2020?新建區(qū)校級(jí)模擬）水車是一種利用水流動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，是人類一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個(gè)水車的示意圖，已知水車逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間是80秒，半徑為3米，水車中心（即圓心）距水面1.5米若．以水面為軸，圓心到水面的垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，水車的一個(gè)水斗從出水面點(diǎn)處開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過秒后轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，則點(diǎn)到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為A． B． C． D．【分析】由題意，過向軸作垂線，垂足為，則，可得，由題意可求水車的角速度，可得，可得，在中，求得，即可得解．【解答】解：由題意，如圖，過向軸作垂線，垂足為，則，，，可得，水車的角速度，由題意可得，，可得，在中，，點(diǎn)到水面的距離．故選：．【跟蹤訓(xùn)練36】（2020春?浙江期末）已知函數(shù)，，時(shí)，有唯一解，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由的范圍求出的范圍，再由有唯一解可得的取值范圍，又，分別討論的值，求出是否在，有唯一解，判斷出的個(gè)數(shù)．【解答】解：根據(jù)，時(shí)，所以，或，，因?yàn)橛形ㄒ唤?，所以，解得，?dāng)，，則或，，解得，或，，因?yàn)?，，所以可得或不唯一，舍去；?dāng)時(shí)，，則或，，解得，或，，因?yàn)椋?，所以可得唯一，?dāng)時(shí)，，則或，，解得，或，，因?yàn)?，，所以可得無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則或，，解得，或，，因?yàn)?，，所以可得無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則或，，解得或，，因?yàn)?，，所以可得無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則或，，解得或，，因?yàn)?，，所以可得無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則因?yàn)?，，所以可得無(wú)數(shù)多個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，則或，，解得，或