2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第6講：空間向量的概念與運(yùn)算（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第6講：空間向量的

概念與運(yùn)算

【考試要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其

坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向招圓且模相笠的向量

相反向量長(zhǎng)度揖笠而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相包

共線向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量”，"bWO),的充要條件是存在實(shí)數(shù)2,使。=助.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量”，6不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存

在唯二的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+y〃.

(3)空間向量基本定理

如果三個(gè)向量"，b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,

z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積

非零向量”，方的數(shù)量積4力=同61cos(a,.

(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)0=(ai，ai,6)，b—(b\,bi,bi).

向量表示坐標(biāo)表示

第1頁(yè)共23頁(yè)

數(shù)量積a-baibi+-262+。3b3

共線a=2仇后0,AeR)a?=Zbi,々3=263

垂直〃仍=0"0,bWO)〃|一+。262+〃363=0

模|?|4山+區(qū)+閏

cos(a,h)=工

/aybx+aibi+a3bi

夾角余弦值cos(a,b)—1-------------/-------------

yja4+㈤+7員+加+歷

力#0)

4,空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量，的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此

向量"為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/_La,取直線/的方向向量”，則向量〃為平面a的法向量.

(3)空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

1\//12”[〃〃2O"l=A〃2(/l￡R)

直線/1,/2的方向向量分別為"1，"2

/山2〃l_l_/l2O，"〃2=0

直線/的方向向量為"，平面a的法向l//anVrn^nm=Q

量為〃

J,l<tal±an//m^n=Am(XWR)

a//[in//m^n=A/M(A￡R)

平面a,△的法向量分別為“，，"

a邛n-Lnt^nm=0

【常用結(jié)論】

1.三點(diǎn)共線：在平面中4,B,C三點(diǎn)共線分亦=》協(xié)+了次?(其中x+y=l),。為平面內(nèi)任

意一點(diǎn).

2.四點(diǎn)共面：在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面今夕=苫晶+夕為+z次?(其中x+y+z=l),

。為空間中任意一點(diǎn).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)空間中任意兩個(gè)非零向量％6共面.(V)

(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反.(X)

(3)若4,B,C,。是空間中任意四點(diǎn)，則有弱+的+歷+方=0.(V)

第2頁(yè)共23頁(yè)

(4)若直線Q的方向向量和平面a的法向量平行，則a〃a(X)

【教材改編題】

1.如圖，在平行六面體Z8CD-mSGOi中，ZC與8。的交點(diǎn)為點(diǎn)〃，設(shè)叁=a,而=b,

—A——A

AA\—c,則下列向量中與CiM相等的向量是()

答案C

解析CW=GC+CM^GC+-(CS+詼?zhǔn)?-DA+1扇^--a--b~c.

22222

2.如圖所示，在正方體力8。。-48|。。|中，棱長(zhǎng)為a,M,N分別為48和/C上的點(diǎn),

AiM=AN=率,則MN與平面BBCC的位置關(guān)系是()

A.相交

C.垂直D.不能確定

答案B

解析分別以G3,CiA,GC所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)樾　?

,害，所以

■1處3,序la,al所以赤=卜*°,14

XC1(0,0,0),。|(0,a,0),所以33|=(0,a,0),所以加?瓦5尸0,所以疚

因?yàn)槭瞧矫?81GC的一個(gè)法向量，且平面88iGC,所以MV〃平面B81GC.

第3頁(yè)共23頁(yè)

3.設(shè)直線八，/2的方向向量分別為a=(—2,2,1),6=(3,-2,m),若則加=.

答案10

解析V/i±/2,：.a±b,

：.ab=-6—4+"?=0,?\m=10.

■探究核心題型

題型一空間向量的線性運(yùn)算

例1⑴在空間四邊形/8CO中，^=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),點(diǎn)E,尸分別為線

段8C,力。的中點(diǎn)，則球的坐標(biāo)為()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

答案B

解析因?yàn)辄c(diǎn)、E,尸分別為線段8C,的中點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以壽=而一近，+OE=^OB+OC).

所以壽=3(晶+而)一；(無(wú)+的=；(或+比)=：X[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]

=：X(—4,—6,—6)=(—2,—3,—3).

(2)(2023?北京日壇中學(xué)模擬)在三棱柱小81G-/8C中，。是四邊形8SGC的中心，且京=

a,AB=b,AC=c,則小。等于(

1,L,1

AAfi-b-\c

222

1l.,l

D~a—h-\--c

222

C.-a-\--b--c

222

D.——a-\--b-\~~c

222

答案D

解析A[D=J^A+AB+BD

第4頁(yè)共23頁(yè)

------?-?1------?-?

=-AAi+48+：(8囪+BC)

—?——?1—?1-?―?

——AA]+-(/4C—AB)

1—?1—?1―?

=--AA+-AB+-AC

2]22

1,L,1

=-a-\--b-\--c.

222

思維升華用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.

(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知4=(2,3,-4),6=(—4,-3,-2),〃=$一2小則x等于()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由6=3—2a,得x=4〃+2b=(8,12,—16)+(—8,—6,-4)=(0,6,—20).

(2)如圖,在長(zhǎng)方體Z5co—ZLBICQI中,。為4c的中點(diǎn).

------A1-?1—?

①化簡(jiǎn)40—AB—AD=；

22

_??■"-A-?A.A

②用力8,/。，/小表示OG,貝UOG=.

答案①就？②K方+:3+高

22

解析①/。一?8—?。=40—#48+/0)=小0—/0=小。+04=4/.

②因?yàn)镺C=?C=#Z8+N。).

所以萬(wàn)乙=浣+黃=%方+疝)+石=益+與2)+五不.

222

題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用

例2(1)下列命題正確的是()

第5頁(yè)共23頁(yè)

A.若a與6共線，b與c共線，則a與c共線

B.向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面

C.若空間向量a,h,c不共面，則a,h,c都不為0

D.若a,6,c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）,使得4=動(dòng)十產(chǎn)

答案C

解析若5=0,則滿足。與6共線，b與c共線,但是a與c不一定共線，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)橄蛄渴强梢砸苿?dòng)的量，所以向量a,b,c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯(cuò)

誤；

假設(shè)a,h,c至少有一個(gè)為0,則空間向量a,b,c共面，故假設(shè)不成立，故C正確；

假設(shè)6=0,若a,c共線，則存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（x,刃，使得4=xb+*,若a,c不共線，則不

存在實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）,使得a=xb+yc,故D錯(cuò)誤.

（2）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.同一回=|。+0是a,力共線的充要條件

B.若贏,而共線，則/8〃8

C.A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若蘇=3易+15^+1次，則P,A,B,C

488

四點(diǎn)共面

D.若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有強(qiáng)=通+〃元"（兩，無(wú)不共線），貝版+〃=1是4B,

C三點(diǎn)共線的充要條件

答案CD

解析由同一|"=|"+臼，可知向量明〃的方向相反，此時(shí)向量”，力共線，反之，當(dāng)向量a,

6同向時(shí)，不能得到同一網(wǎng)=1。+"，所以A不正確；

若誦,詼共線，則或/,B,C,。四點(diǎn)共線，所以B不正確；

由/,B,c三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)o,若蘇=3①+1五+」次，因?yàn)?+1十1=1,

488488

可得P,A,B,C四點(diǎn)共面，所以C正確；

若尸，A,B,C為空間四點(diǎn)，且有形=2/+幺的兩，無(wú)不共線），

當(dāng)2+〃=1時(shí)，即〃=1-7,可得屆一元=2（兩一兩，即花1=2無(wú)，

所以4B,C三點(diǎn)共線，反之也成立，即4+〃=1是B,C三點(diǎn)共線的充要條件，所以D

正確.

思維升華應(yīng)用共線（面）向量定理、證明點(diǎn)共線（面）的方法比較

三點(diǎn)（P,A,8）共線空間四點(diǎn)（AZ,P,A,8）共面

PA=XPBMP^xMA+yMB

第6頁(yè)共23頁(yè)

對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP^OA+tAB對(duì)空間任一點(diǎn)0,蘇=OM+xMA+yMB

對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP=xOA+(l-x)OB對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP^xOM+yOA+(\-x-y)OB

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知空間中4B,C,。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中

任意一點(diǎn)，若近)=6位—4而+2.無(wú),則，等于()

A.2B.—2C.1D.—1

答案B

解析BD=6R4-4PB+XPC,即麗一通=6法一4兩+2訖，

整理得的=6形I-3無(wú)+/1尸3,

由/,B,C,。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，

可得6—3+7=1,解得%=-2.

(2)(2023?金華模擬)已知正方體/BCD一小8iGG的棱長(zhǎng)為1,且滿足無(wú)=入扇+)，比+(1-x

-y)DDx,則|西|的最小值是()

A1RS「也n2

A.-B.—C.—DL

3333

答案c

解析因?yàn)橐邞c'+(l-x-y)礪，由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)E,A,C,D1

四點(diǎn)共面，即點(diǎn)￡在平面ZC。上，所以的最小值即為點(diǎn)。到平面力Cd的距離d,由正

方體的棱長(zhǎng)為1,可得△/CA是邊長(zhǎng)為/的等邊三角形，則=；X(/)2Xsin：=￥，

S^CD=^X1X1=|,由等體積法得右9=—以;義44=沁乂1,解得d=當(dāng)

所以|方?的最小值為事.

題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

例3⑴已知點(diǎn)。為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量昂=(1,2,3),勵(lì)=(2,1,2),5?=(1,1,2),

且點(diǎn)。在直線。尸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)品?無(wú)取得最小值時(shí)，詼的坐標(biāo)是.

答案b33J

解析?.?殍=(1,1,2),點(diǎn)。在直線OP上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)麗=2。＞=(九A,22),

又?怎=(1,2,3),由=(2,1,2),

第7頁(yè)共23頁(yè)

：.QA=OA-OQ=(\-}L,2-2,3-22),

QB—OB_0Q=(2—2,1—2,2—22),

則7?麗=(l_Q(2_?+(2_#(l_；l)+(3—22)(2_2/l)=6#_16/l+10,

當(dāng)時(shí)，。4。8取得最小值，

_P4A

此時(shí)。0的坐標(biāo)為匕’3'3J.

(2)如圖，已知平行六面體N8C。一小81Gz)i中，底面/8C。是邊長(zhǎng)為1的正方形，44i=2,

AA\AB=AA\AD=\2Q0.

①求線段ZG的長(zhǎng)；

②求異面直線ACt與AyD所成角的余弦值;

③求證：AA\1.BD.

①解i^AB—a,AD=b,AA\—c,

則同=網(wǎng)=1,|c|=2,ab=Q,

ca—cb=2X1Xcos120°=—1.

因?yàn)?Ci=N8+/Z)+Nm=a+8+c,

所以|就i|=|“+b+c|—\l(a+b+c)2

^\a\2+\b\2+\c\2+2a-b+2b-c+2a-c

=3+1+4+0-2-2=啦,

所以線段/G的長(zhǎng)為啦.

②解因?yàn)閆G=a+6+c,A\D=b—c,

所以為G，4￡)=(〃+力+c>(b—c)

=ab-ac+b2—c2

=0+l+l-4=-2,

\A\D\=\b-c\=?〃一c)?

="砰+|c|2-2/rc

第8頁(yè)共23頁(yè)

=、1+4+2=亞

設(shè)異面直線力G與小。所成的角為仇

一?—?

——>——>|4。1辦￡>|

則cos6=|cos(ACI9AID)\=_

|ZG|初

__|~2|_V14

也義幣7'

即異面直線/G與小。所成角的余弦值為半

③證明由①知44i=c,BD=b-a,

所以44，BD=c-(b—a)=cb—c-a=—l+1=0,

即刀；筋=0,

所以

思維升華空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接

計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2023?益陽(yáng)模擬）在正三棱錐P-48C中，。是△/BC的中心，PA=AB=2,

則用后等于（）

5口#「4/n8

A.-B.—C.-----D.—

9333

答案D

解析為正三棱錐，。為△ZBC的中心，

，尸。，平面ABC,

：.PO±AO,：.pbOA=0,

-2f2電

\AO\=^\AB\-sin60。=蔗，

故POB4=PO(PO+OZ)=|PO|2=MP|2-MO|2=4一々=3

(2)(2022?營(yíng)口模擬)已知4(-1,2,1),5(-1,5,4),C(l,3,4).

①求(AB,BC^

②求農(nóng)在崩上的投影向量.

第9頁(yè)共23頁(yè)

解①因?yàn)橐蛞?,2,1),5(-1,5,4),C(l,3,4),

所以筋=(0,3,3),BC=(2,-2,0).

因?yàn)槭?病=0X2+3X(—2)+3X0=—6,

|荔|=33，|詼|=2啦，

一—ABBC—61

所以cos(AB,BC)=ff=丁——p=—L,

\AB^BC\33義2/2

故[AB,BC>=—.

3

②因?yàn)檗r(nóng)=(2,1,3),還=(0,3,3),

所以病?法=0+1><3+3X3=12.

因?yàn)閨法|=33，|iC|=V14,

所以cos

所以病在筋上的投影向量為Mdcos(AC,AB)—=Vi4X^X^=-J5=(0,2,2).

\AB\73也3

題型四向量法證明平行、垂直

例4如圖所示，在長(zhǎng)方體Z8C。-4BCQ中，/小=4。=1,E為C。的中點(diǎn).

⑴求證：B\EA.AD\^

(2)在棱N4上是否存在一點(diǎn)P,使得OP〃平面8/E?若存在，求4尸的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)

明理由.

(1)證明以/為原點(diǎn)，石,疝，不前的方向分別為x軸、夕軸、z軸的正方向建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.設(shè)4B=a,

則2(0,0,0),￡)(0,1,0),￡>!(0,1,1),1'°),5i(a,0,l).

第10頁(yè)共23頁(yè)

故石=(0,1,1),

---?---?ZJ

因?yàn)?|￡'"。1=一：><0+1乂1+(—1)><1=0,

??

所以BELADi,即eE_L4Di.

⑵解存在滿足要求的點(diǎn)尸，

假設(shè)在棱44上存在一點(diǎn)尸（0,0,zo）,

使得。尸〃平面8/及此時(shí)方＞=（0,-1,zo）,

設(shè)平面的法向量為〃=（》，y,z）.

一-1,o]

力田=（凡0,1）,AE={2J.

因?yàn)椤╛L平面所以〃_L48i,nA-AE,

ax+z=O,

得胃+產(chǎn)°,

取x=l,貝Ijy=-：，z=-a,

fl，—9，—]

故〃=l2J

要使。尸〃平面8MM只需方加

則QZO=O,解得zo=g.

22

所以存在點(diǎn)P,滿足。尸〃平面8ME,此時(shí)ZP=1.

2

思維升華（1）利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（盡可能利用垂直條

件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

（2）向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)

定理.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直三棱柱48c一481G中，ZABC=9Q°,BC=2,CG=4,點(diǎn)￡在線

段85上，且EB=1,D,F,G分別為CG，CMG4的中點(diǎn).

第11頁(yè)共23頁(yè)

(1)求證：平面平面/8D：

(2)求證：平面EGA1〃平面Z8D.

證明以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,881所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系,則8(0,0,0),￡>(0,2,2),51(0,0,4),鳳0,0,3),尸(0,1,4).

(1)因?yàn)樯?(a,0,0),臍=(0,2,2),部=(0,2,-2),

所以瓦B?眉=0,瓦方?訪=0.

所以瓦51位,B^Dlsb,

即BiDlBD.

又BACBD=B,BA,BDU平面4BD,所以8iO_L平面N8D

因?yàn)?iZ)u平面小8|￡),所以平面小囪。_1_平面Z8D.

(2)方法一因?yàn)閱?t'1，0.￡>=(0,1,1),勵(lì)=(0,2,-2),

所以瓦B-曲=Q,B1DEF=O.

所以BIDLEG,B\DVEF.

因?yàn)镋GnE/uE,EG,EFU平面EGF,所以8Q_L平面EGF.

又由(1)知SO，平面ABD,

所以平面EGF〃平面ABD.

方法二因?yàn)閐=〔一5'0,°),

所以GF=一!氏4,：.GF//BA,

2

又GF<Z平面4BD,4BU平面4BD,

所以GP〃平面NB。，同理EF〃平面Z8D,

又GFCEF=F,GF,￡尸<=平面EGF,

第12頁(yè)共23頁(yè)

所以平面EG/7〃平面ABD.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.已知直線/的一個(gè)方向向量為，”=(x,2,—5),平面a的一個(gè)法向量為"=(3,—1,2),若/〃a,

則x等于()

A.-6B.6C.-4D.4

答案D

解析若l//a,則mA.n,從而mn=0,

即族一2—10=0,解得x=4.

2.(多選)下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有()

A.若向量a,與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則“〃分

B.若非零向量a,b,c滿足blc,則有a〃c

C.若為，而，灰7是空間的一組基底，且應(yīng))=［扇+‘為反，則4B,C,。四點(diǎn)共面

333

D.若向量a+力，b+c,c+a是空間的一組基底，則a,b,c也是空間的一組基底

答案ACD

解析對(duì)于A,若向量a,與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則明力為共線向量，即“〃兒

故A正確；

對(duì)于B,若非零向量a,6,c滿足a_L6,bLc,則。與c不一定共線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加，勵(lì)，又是空間的一組基底，且赤=15+1而+!沆

333

則礪一晶=/協(xié)一屆)+：(沆_a)，即在=加+:就，

可得/,B,C,。四點(diǎn)共面，故C正確；

對(duì)于D,若向量a+6,b+c,c+a是空間的一組基底，

則空間任意一個(gè)向量d存在唯一實(shí)數(shù)組(x,y,z),

使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)6+(y+z)c,

則a,8,c,也是空間的一組基底.

3.如圖，在長(zhǎng)方體Z8C。一/由iGDi中，設(shè)工。=1,則赤Jb等于()

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C.3D也

3

答案A

解析由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知/￡>_LN8,ADLBBi,AD//BC,AD=BC=\,

BDi=BA+BC+BB\,所以麗?益）=（就+正+函）?肅）=應(yīng)?益）+前?萬(wàn)）+函?萬(wàn)）=0+

交+0=1.

4.已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)/（2,-1,2）,a的一個(gè)法向量為“=（3,1,2）,則下列點(diǎn)尸中，在平面

a內(nèi)的是（）

「13$

A.(1,-1,1)B.l'Z

答案B

解析對(duì)于選項(xiàng)A,芯1=（1,0,1）,PAn=5,所以自與“不垂直，排除A;同理可排除C,D；

4，

對(duì)于選項(xiàng)B,有屆=（1'3所以屈?"=（）,因此B項(xiàng)正確.

5.如圖在一個(gè)120。的二面角的棱上有兩點(diǎn)4B,線段4C,8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半

平面內(nèi)，且均與棱垂直，若AB=@,ZC=1,BD=2,則CO的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.2而D.4

答案B

解析'JCD^CA+AB+BD,

：.cb2^CA2+AB2+BD2+2CA-AB+2CABb+2ABBb,

'：CA±AB,BDLAB,：.CAAB=0,BDAB=0,

CASZ)=|C4||5b|cos(180o-l20。)=：X1X2=1.

.?.麗2=I+2+4+2X1=9,西=3.

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6.(多選)(2023?浙江省文成中學(xué)模擬)已知空間向量4=(2,-2,1),6=(3,0,4),則下列說(shuō)法正

確的是()

A.向量。=(—8,5,6)與〃，力垂直

B.向量"=(1,-4,一2)與“，力共面

C.若。與b分別是異面直線人與/2的方向向量，則其所成角的余弦值為2

3

D.向量?jī)H在向量力上的投影向量為(6,0,8)

答案BC

解析對(duì)于A,ac=116—10+67^0,bc=-24+24=0,

故mc不垂直，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,設(shè)"=陽(yáng)。+〃6,

則〃?(2,—2,1)+〃(3,0,4)=(1,—4,—2),

2陽(yáng)+3〃=1,c

.,m=2,

所以.一2機(jī)=—4,解得，

〃z+4〃=—2,

即2。一b=d,故B對(duì)；

ab=10=2

對(duì)于C,因?yàn)閏os〈%b)

\a\\b\~3X5~39

所以異面直線八與,2所成角的余弦值為l，故C對(duì);

但oq

對(duì)于D,向量。在向量b上的投影向量為同cos(a,6〉?g=3x2x，X(3Q4)=l5''5),

W35

故D錯(cuò).

7.已知直線/的方向向量是股=(l,〃+2b,a—1)(4,b￡R),平面a的一個(gè)法向量是〃=(2,3,3).若

/_La,則a+b=.

答案2

解析V/n=(l,a+2b,a—l)(a,b￡R)是直線/的方向向量,

〃=(2,3,3)是平面a的一個(gè)法向量，/±a,m//n.

.1_a+2b_a—1

解得

，U2~3

：.a+b=2.

—>1?-AO-A-A

8.已知/為矩形718co所在平面外一點(diǎn)，且幺=k8=NC="D,VP=LVC,VM=~VB,VN

33

=2無(wú)).則VA與平面PMN的位置關(guān)系是.

3------------

答案以〃平面PMN

第15頁(yè)共23頁(yè)

解析如圖，設(shè)K4=a,VB=b,VC=c,則以)="+<1—b,

由題意知尸A/=2〃一,<■,PN——VD——VC--a~~b-\--c.

3333333

因此應(yīng)=3前+癡，：.VA,PM,麗共面.

22

又：幺。平面PMN,平面PMN.

9.已知”=(1,-3,2),6=(-2,1,1),9(-3,-1,4),5(-2,-2,2).

⑴求|2a+6|;

(2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)E,使得無(wú)，b?(。為原點(diǎn))

解(l)24+6=(2,-6,4)+(—2,1,1)=(0,—5,5),

故12a+〃|=—5)2+52=5/.

(2)令成=成”w11),AB=(\,-1,-2),

所以O(shè)E=O4+4E=。力+M6=(—3,—1,4)+^(1,—1,—2)=(—3+f,—1—/,4—2/),

若無(wú)，6,則無(wú)力=0,

Q

所以一2(—3+。+(—1-。+(4—2。=0,解得r=1.

一f6_1421

因此存在點(diǎn)E,使得OELb,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為I5'5’5J

10.如圖，四棱錐尸一N8CQ的底面為正方形，側(cè)棱為，底面45C。，且刃=/。=2,E,

F,“分別是線段以，PD,的中點(diǎn).求證：

⑴PB〃平面EFH；

(2)P0_L平面加/E

證明(1)；￡,，分別是線段/P,AB的中點(diǎn)、，：.PB〃EH.

:PBC平面EFH,且EHU平面EFH,；.PB〃平面EFH.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

第16頁(yè)共23頁(yè)

則/(0,0,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),尸(0,1,1),"(1,0,0).

麗=(0,2,-2),由=(1,0,0),蘇=(04,1),

：.PD-AF=0X0+2X\+(-2)X1=0,

麗?加=0Xl+2X0+(—2)X0=0.

J.PDVAF,PDVAH,

：.PDLAF,PD±AH.

'：AHC\AF^A,且4W,4FU平面4HF,.?.尸。_1平面1”足

立綜合提升練

11.如圖，在長(zhǎng)方體/5CD-小中，AB=3AD=3AAi=電,點(diǎn)尸為線段4c上的動(dòng)

點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()

A.當(dāng)狀=2"時(shí)，Bi,P,。三點(diǎn)共線

B.當(dāng)"，水時(shí)，APLD^P

C.當(dāng)求=3喬時(shí)，OP〃平面80cl

D.當(dāng)不運(yùn)=5而時(shí)，小C_L平面。

答案B

解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，貝U4(l,0,1),C(0,00),01(0,0,1)./(1。0)，叢(1,3,

1),￡>(0,0,0),

例1,3，0),G(0,3，1)，

第17頁(yè)共23頁(yè)

,..fi_n

當(dāng)求=2而時(shí)，/=12，2'2J,

DP=DA\+A\P=1ia

而礪=（i,s,i）,

：.DP=-DB,:P,。三點(diǎn)共線，A正確;

2t

=

設(shè)4P=MiC,A\C(-1,A/3,—I),則1+/i尸=4/1+■1141c=(—A,42,1—2).

當(dāng)看,祝時(shí)，有奧?永=52—1=0,

A——,

一金鼻已退_口

：.APD^P={.5'5'5J1?5'5j=-：W0,二成與耳下不垂直，B不正確；

,..r1A/3_I)

當(dāng)沈=3而時(shí)，舒=13'3'3J,

一一一住黃一口

5LP=AP-ADI=U,3*3J,

又加=(1,怎0),DC\=(0,\l3,1),

.,.5jP=-55--5Ci,：.D^P,DB,皮1共面，又。|尸0平面BOG,尸〃平面BOG,C正

33

確；

^3_n4]

當(dāng)彳/=54P時(shí)，5,5,5J,從而善=15,5'5」，

又/￡>"iC=(—1，S，—l)—0,

：.A\CLAD\,

一近力

運(yùn)匯=15'5'5j(—1,S,-1)=0,

：.AiC±AP,'：AD\QAP=A,ADi,ZPU平面。/尸,.?.4CJ_平面。MP,D正確.

12.（多選）（2023?梅州模擬）如圖,在正方體N5CD-aBIGDI中，441=3,點(diǎn)M,N分別在

棱/B和8囪上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.若DiMLMN,則下列命題正確的是（）

A.MNLAiM

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B.MALL平面。iMC

C.線段長(zhǎng)度的最大值為3

4

D.三棱錐。一小AM體積不變

答案ACD

解析在正方體/8。>一481cl。|中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線D4,DC,。。分別為x,y,z

軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(3。3),5(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),

設(shè)M(3,y,0),N(3,3,Z),y,zd(0,3),0=(3,y,-3),MN=(0,3~y,z),而。iA/J_AYN,

則D[M-MN=y(3-y)~3z=0,

即z=3(3-y).

對(duì)于A選項(xiàng)，連接小"，A[M=(0,y,一3),則俞?加=y(3-y)—3z=0,則而，疝，

MNLAiM,A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，CM=(3,j-3,0),CM-MN=-(y-3)(3-y)^-(3-y)2<0,即CM與MV不垂直，

從而A/N與平面￡)|MC不垂直，B不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，的=(0,0,Z),則線段BN長(zhǎng)度I兩=z=(一"泉+目彳，當(dāng)且僅當(dāng)尸|時(shí)

等號(hào)成立，C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，連接。4G,MC\,不論點(diǎn)"如何移動(dòng)，點(diǎn)收到平面小。Ci的距離均為

1a

3,而七HOC二一T心)。。='所以三棱錐G一aAM體積為定值，即D正

確.

13.在正三棱柱N8C-Z山Ci中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M為8c的中點(diǎn)，3為=2危,

且/SLAW,貝必的值為.

答案15

解析如圖所示，取囪G的中點(diǎn)P,連接用尸，

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以慶，必，聲的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

2

則小%°],51(?"W,￡0>CiG0,1MO,0,0),

設(shè)出01

因?yàn)镚N=7M?,

所以啟0，7+l],

,2[,W=[?°'W]

所以麗=12’2,

又因?yàn)锳BiLMN,

所以相?疝=0,

所以一3

解得2=15.

14.(2022?杭州模擬)在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD