線性代數(shù)第一行列式

隨著我國經(jīng)濟的高速發(fā)展，高等教育的日益普及，高校需要培養(yǎng)出大批應(yīng)用型工程技術(shù)人員。大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程“微積分”、“線性代數(shù)”和“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是大學(xué)理工、管理等專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。數(shù)學(xué)作為科學(xué)的基礎(chǔ)與工具，在大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中得到應(yīng)有的重視。學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的背景第28頁,共178頁，2024年2月25日，星期天對于“線性代數(shù)”這門課程，其主要任務(wù)有兩條：掌握線性代數(shù)最常用的工具性內(nèi)容，即線性方程組、行列式和矩陣；了解如何把一些具體的數(shù)字對象抽象為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，例如向量空間和歐氏空間。因此，希望通過“線性代數(shù)”的學(xué)習(xí)，能夠較好地掌握前者而充分地理解后者。第29頁,共178頁，2024年2月25日，星期天要求多做習(xí)題，認(rèn)真討論問題、解決問題。要求這是由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課一般相對比較抽象，而且在中學(xué)階段，學(xué)生的邏輯訓(xùn)練又不夠，所以在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，如果不通過自己做習(xí)題、判別是否與對錯以及改正錯誤這些過程的訓(xùn)練，是很難掌握它的基本內(nèi)容的。第30頁,共178頁，2024年2月25日，星期天要求有些同學(xué)習(xí)慣于羅列事實加上一些邏輯推理，對于問題的提出和分析重視不夠。我們應(yīng)該把重點放在對一些基本對象的分析上，從而具有面對問題進行分析的能力。

要求重視分析，提高分析問題的能力。第31頁,共178頁，2024年2月25日，星期天要求要求對照考試大綱，弄清掌握與理解。多年來，隨著研究生考試大綱的公布，線性代數(shù)沒有什么變化，對照大綱，分清理解、掌握、學(xué)會等層次，抓住基本概念、基本技巧與基本結(jié)論。

第32頁,共178頁，2024年2月25日，星期天考試內(nèi)容：

行列式的概念和基本性質(zhì)

行列式按行（列）展開定理

考試要求：

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)

2．會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式．第一章：行列式第33頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第二章：矩陣考試內(nèi)容：

矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的轉(zhuǎn)置逆矩陣的概念和性質(zhì)矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣等價分塊矩陣及其運算

第34頁,共178頁，2024年2月25日，星期天考試要求：

1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì)．

2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì).

3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．

4．理解矩陣的初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．

5．了解分塊矩陣及其運算．第35頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第三章：向量

第四章：線性方程組

第五章：矩陣的特征值及特征向量

第六章：二次型

其他第36頁,共178頁，2024年2月25日，星期天課程介紹全書內(nèi)容分為：行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣與二次型、線性空間與線性變換等六章。

其中一至五章符合教育部頒發(fā)的工科本科線性代數(shù)課程的教學(xué)基本要求。第六章較多帶有理科色彩。第37頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第38頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第39頁,共178頁，2024年2月25日，星期天用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入第40頁,共178頁，2024年2月25日，星期天方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.第41頁,共178頁，2024年2月25日，星期天

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即第42頁,共178頁，2024年2月25日，星期天主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式第43頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共178頁，2024年2月25日，星期天則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.第47頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例1解第48頁,共178頁，2024年2月25日，星期天二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.第49頁,共178頁，2024年2月25日，星期天(1)沙路法三階行列式的計算.列標(biāo)行標(biāo)第50頁,共178頁，2024年2月25日，星期天(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．第51頁,共178頁，2024年2月25日，星期天

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組

2.三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.第52頁,共178頁，2024年2月25日，星期天若記或第53頁,共178頁，2024年2月25日，星期天記即第54頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第55頁,共178頁，2024年2月25日，星期天得第56頁,共178頁，2024年2月25日，星期天得第57頁,共178頁，2024年2月25日，星期天則三元線性方程組的解為:第58頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例２

解按對角線法則，有第59頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例3解方程左端第60頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例4

解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式第61頁,共178頁，2024年2月25日，星期天同理可得故方程組的解為:第62頁,共178頁，2024年2月25日，星期天

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結(jié)第63頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題第64頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解設(shè)所求的二次多項式為由題意得得一個關(guān)于未知數(shù)的線性方程組,又得第65頁,共178頁，2024年2月25日，星期天故所求多項式為第66頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第67頁,共178頁，2024年2月25日，星期天引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有一、概念的引入第68頁,共178頁，2024年2月25日，星期天問題定義把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）.

個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例同理二、全排列及其逆序數(shù)第69頁,共178頁，2024年2月25日，星期天

在一個排列中，若數(shù)則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如排列32514中，定義

我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序,n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)32514逆序逆序逆序第70頁,共178頁，2024年2月25日，星期天定義

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如排列32514中，32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.第71頁,共178頁，2024年2月25日，星期天計算排列逆序數(shù)的方法方法1分別計算出排在前面比它大的數(shù)碼個數(shù)即分別算出這個元素的逆序數(shù)，這些元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性第72頁,共178頁，2024年2月25日，星期天分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)，即算出這個排列中每個元素的逆序數(shù)，則每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法2例1

求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;第73頁,共178頁，2024年2月25日，星期天32514于是排列32514的逆序數(shù)為5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;第74頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例2

計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.第75頁,共178頁，2024年2月25日，星期天解當(dāng)時為偶排列；當(dāng)時為奇排列.第76頁,共178頁，2024年2月25日，星期天解當(dāng)為偶數(shù)時，排列為偶排列，當(dāng)為奇數(shù)時，排列為奇排列.第77頁,共178頁，2024年2月25日，星期天2

排列具有奇偶性.3計算排列逆序數(shù)常用的方法有2種.1個不同的元素的所有排列種數(shù)為三、小結(jié)第78頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù).第79頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解用方法116352487用方法2由前向后求每個數(shù)的逆序數(shù).第80頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第81頁,共178頁，2024年2月25日，星期天一、概念的引入三階行列式說明（1）三階行列式共有項，即項．（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．第82頁,共178頁，2024年2月25日，星期天（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標(biāo)排列．例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列第83頁,共178頁，2024年2月25日，星期天二、n階行列式的定義定義第84頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第85頁,共178頁，2024年2月25日，星期天說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項的代數(shù)和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;5、的符號為第86頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例1計算對角行列式分析展開式中非零項的一般形式是從而這個項為零，所以只能等于,同理可得解第87頁,共178頁，2024年2月25日，星期天即行列式中不為零的項只可能為例2

計算上三角行列式第88頁,共178頁，2024年2月25日，星期天分析展開式中非零項的一般形式是所以不為零的項只可能有解第89頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例3第90頁,共178頁，2024年2月25日，星期天同理可得下三角行列式第91頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例4

證明對角行列式第92頁,共178頁，2024年2月25日，星期天證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義證畢第93頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例5設(shè)證明證由行列式定義有第94頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第95頁,共178頁，2024年2月25日，星期天由于

所以故第96頁,共178頁，2024年2月25日，星期天1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.2、階行列式共有項，每項都是位于不同行、不同列的個元素的乘積,正負號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)第97頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題已知第98頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解含的項有兩項,即對應(yīng)于第99頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第100頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第101頁,共178頁，2024年2月25日，星期天一、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換．例如第102頁,共178頁，2024年2月25日，星期天二、對換與排列的奇偶性的關(guān)系定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．證明設(shè)排列為對換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.第103頁,共178頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)時，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后的逆序數(shù)增加1,經(jīng)對換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)時，現(xiàn)來對換與第104頁,共178頁，2024年2月25日，星期天次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.第105頁,共178頁，2024年2月25日，星期天推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2

階行列式也可定義為其中為行標(biāo)排列的逆序數(shù).證明

由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.證明按行列式定義有第106頁,共178頁，2024年2月25日，星期天記對于D中任意一項總有且僅有中的某一項與之對應(yīng)并相等;反之,對于中任意一項也總有且僅有D中的某一項與之對應(yīng)并相等,于是D與中的項可以一一對應(yīng)并相等,從而第107頁,共178頁，2024年2月25日，星期天定理3

階行列式也可定義為其中是兩個級排列，為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.例1

試判斷和是否都是六階行列式中的項.解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項.第108頁,共178頁，2024年2月25日，星期天下標(biāo)的逆序數(shù)為所以不是六階行列式中的項.第109頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例2

在六階行列式中，下列兩項各應(yīng)帶什么符號.解431265的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號.第110頁,共178頁，2024年2月25日，星期天行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號.第111頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例3

用行列式的定義計算第112頁,共178頁，2024年2月25日，星期天解第113頁,共178頁，2024年2月25日，星期天

1.一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結(jié)第114頁,共178頁，2024年2月25日，星期天其中是兩個級排列，為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.第115頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題證明在全部階排列中,奇偶排列各占一半.第116頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題解答證

設(shè)在全部階排列中有個奇排列,個偶排列,現(xiàn)來證.

將個奇排列的前兩個數(shù)對換,則這個奇排列全變成偶排列,并且它們彼此不同,所以若將個偶排列的前兩個數(shù)對換,則這個偶排列全變成奇排列,并且它們彼此不同,于是有故必有第117頁,共178頁，2024年2月25日，星期天行列式的定義排列的逆序數(shù)及奇偶性簡單行列式的計算三角行列式的結(jié)論特別地，對角行列式的結(jié)論第118頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第119頁,共178頁，2024年2月25日，星期天一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記第120頁,共178頁，2024年2月25日，星期天證明按定義

又因為行列式D可表示為第121頁,共178頁，2024年2月25日，星期天故證畢性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明設(shè)行列式說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式變換兩行得到的,第122頁,共178頁，2024年2月25日，星期天于是則有即當(dāng)時,第123頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有故證畢第124頁,共178頁，2024年2月25日，星期天一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2

互換行列式的兩行，行列式改變符號。推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.第125頁,共178頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．第126頁,共178頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第127頁,共178頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第128頁,共178頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第129頁,共178頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1性質(zhì)1性質(zhì)1第130頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例１二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值第131頁,共178頁，2024年2月25日，星期天解第132頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第133頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第134頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第135頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第136頁,共178頁，2024年2月25日，星期天P12例題7第137頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例2

計算階行列式解將第列都加到第一列得第138頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第139頁,共178頁，2024年2月25日，星期天P12例題8，例題9第140頁,共178頁，2024年2月25日，星期天P14例10證明第141頁,共178頁，2024年2月25日，星期天證明第142頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第143頁,共178頁，2024年2月25日，星期天(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)第144頁,共178頁，2024年2月25日，星期天P15例題11

計算2n階行列式第145頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題第146頁,共178頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解第147頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第148頁,共178頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1性質(zhì)1性質(zhì)1第149頁,共178頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式§1二階與三階行列式§2全排列及其逆序數(shù)§3n

階行列式的定義§4對換§5行列式的性質(zhì)§6行列式按行（列）展開§7克拉默法則第150頁,共178頁，2024年2月25日，星期天例如一、余子式與代數(shù)余子式第151頁,共178頁，2024年2月25日，星期天在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第152頁,共178頁，2024年2月25日