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文檔簡介
核心素養(yǎng)測評十八
導(dǎo)數(shù)的存在性問題
(30分鐘60分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.若存在正實數(shù)x使ex(X2-a)G成立,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.(-1,+8)B.(0,+8)
C.(-2,+8)D.[-l,+8)
【解析】選A.存在正實數(shù)x使e、(X2-a)<1成立,即a>x?-上在區(qū)間(0,+8)上有解,
令f(x)=X2-J_,f'(x)=2x+—>0,
所以f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以f(x)>f(0)=-1,
又a>X2-J-在區(qū)間(0,+8)上有解,
所以a£(-1,+8).
2.(2019?莆田模擬)若函數(shù)f(x)3X3-X2+2X沒有極小值點(diǎn),則a的取值范圍是
()
A.0,1B.1+同
C.{0}U+8)D.{0}U&+8)
-1-
【解析】選C.f'(x)=ax2-2x+2,要使得f(x)沒有極小值,則要求*(x)恒大于
等于0,或者恒小于等于0,或者該導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù),當(dāng)該導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)的
時候,a=0,滿足條件,當(dāng)f‘(x)恒大于等于0的時候,則『,解得a
J=4-8fl<0
+8),當(dāng)*(x)恒小于等于0的時候,則F<°,此時a不存在,
I?'丿匕=4-8a<0
故ae{0}U二+8).
3.已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=lnx+-,對Va£R,3be(0,+°°),f(a)=g(b),則b-a
的最小值為()
A.后1B-甘
C.2Ve-lD.1+小
【解析】選D.設(shè)千(a)=g(b)=t,te(0,+oo),可得a=—,
令h(t)=b-a=。上?一些,t£(0,+8),則
hz
7t
令h'(t)=0,得t二丄,
2
由于h,(t)=丄是增函數(shù),
所以t£(0.時,h,(t)〈O,t£g,+oo)時,
-2-
h'(t)>0,因此h(t)在(0,,上單調(diào)遞減,h(t)
的最小值為?;)=1+號.
4.(2020?在(0,1)內(nèi)存在極值點(diǎn),則實數(shù)a的取
值范圍是()
A.(-8,o)B.(0,+°°)
C.(-<=0,-1]D.[-1,0)
【解析】選A.函數(shù)f(x)=(工-9卜、,定義域為{x|x芋0},
產(chǎn)(x)=e1+xeL空+//*+□
因為f(x)在(0,1)內(nèi)存在極值點(diǎn),
貝I千'(x)GFf+°丿=0的實數(shù)根在(0,1)內(nèi),即X3+x2-ax+a=0的實數(shù)根在區(qū)
r2
間(0,1)內(nèi),令g(x)=X3+x2-ax+a,
可知,函數(shù)g(x)=X3+x2-ax+a在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn),
討論a:a=0時,g(x)=X2(x+1)在(0,1)上無零點(diǎn).a>0時,在(0,1)
上,g(x)=x3+x2+(1-x)a>0,無零點(diǎn).a<0時:g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零
點(diǎn).
所以實數(shù)a的取值范圍是a<0.
二、填空題(每小題5分,共20分)
5.若函數(shù)f(x)』X3+x2-2在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是
33
-3-
【解析】由題意,*(X)=X2+2X=X(X+2),
故f(x)在(-8,-2),(0,+8)上是增函數(shù),
在(-2,0)上是減函數(shù),作y=f(x)的圖象大致如圖,
x=0或x=-3;則結(jié)合圖象可知,
-3<a<0,解得,a£[-3,0).
4+5>0,
答案:[-3,0)
6.設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在
x£[a,b]上有兩個不同的零點(diǎn),則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)
間[a,b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x-Lnx與g(x)=*+m在[1,3]上是“關(guān)聯(lián)函
X
數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是.
【解析】因為f(x)=x-lnx與g(x)=-2+m在[1,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,
T
令y=h(x)=f(x)-g(x),
所以函數(shù)y=h(x)=f(x)-g(x)=x-1nx+--m在[1,3]上有兩個不同的零點(diǎn),
r
即h(x)=0在[1,3]有兩個不同的實數(shù)根,所以x-lnx+--m=0,即m=xfnx+-.
YT
設(shè)F(x)=x-lnx+-,
-4-
2、
即y-m與F(x)=x-mx+-有兩個交點(diǎn),
x
_―
所以F'(x)>0,得x>2;F'(x)<0,得0<x<2,
所以F(x)在[1,2]上遞減,在[2,3]上遞增,F(xiàn)(1)=3,F⑵=3-1n2,F(3)=H-|n3.
作出函數(shù)F(x)圖象,如圖.
作直線y二m,平移可知當(dāng)3-ln2<m^H-|n3時符合題意,所以實數(shù)m的取值范圍
a
是(3-In2,—-1n3].
3
答案:(3-ln2,1-In3]
7.設(shè)函數(shù)f(x)=X2-xlnx+2,若存在區(qū)間[a,b]G-j+co),使f(x)在[a,b]上的
值域為[k(a+2),k(b+2)],則k的取值范圍為.
【解題指南】判斷f(x)的單調(diào)性,得出f(x)=k(x+2)在1
.7
函數(shù)圖象,利用導(dǎo)數(shù)的意義求出k的范圍.
【解析】f'(x)=2x-lnx-1,
-5-
設(shè)g(x)=f'(x),則g'(x)=2-士
X
所以當(dāng)X》二時,g'(x)20,
7
所以f'(x)在,
.2
所以V(x)2f‘e)=ln2>o,
所以f(x)在-
.7
因為[a,b]G二+3),所以千(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,因為f(x)在[a,b]上的
值域為[k(a+2),k(b+2)],
所以[f"'=及'0+2[所以方程f(x)=k(x+2)在[丄+8)上有兩解a,b.
If(b)=k(b+V①)
作出y=f(x)與直線y=k(x+2)的函數(shù)圖象,則兩圖象有兩交點(diǎn).
則kH笄若直線尸k(x+2)與y=f(x)的圖象相切,設(shè)切點(diǎn)為(x,y),
k=Zx0-lnx0-1,
=kbo+2丿,
y=g-xlvtX+2,
I0Q0
-6-
解得k=1.
所以1<k
10
答案:。空亞名
8.已知函數(shù)f(x)=X3-ax2在(T,1)上沒有最小值,則a的取值范圍是
n
【解析】f'(x)=x(3x-2a),
令&(x)=0,解得:x=0或*=巴,
a
碎W(-8,7]即aW-2時,f(x)在(-1,0)上遞減,在(0,1)上遞增,
此時x=0時,此x)取最小值,舍去,
-1之)上遞增,在停,0)上遞減,在(0,1)上遞增,
由題意f(x)在(-1,1)上沒有最小值,
(y2a八
—1V—<0
則3,解得:-1<a<0,
fro丿>f(-v
③當(dāng)a=0時,f(x)在(-1,1)上顯然沒有最小值,成立,
④當(dāng)0<也<1時,f(x)在(7,0)上遞增,在(o,上遞減,
3
由題意f(X)在(-1,1)上沒有最小值,
(0<—<1
則《3,
VB>fT
解得:0<ad,
-7-
⑤巴力即a。三時,
32
f(x)在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,
故f(x)在(-1,1)上沒有最小值,
綜上,a>-1.
答案:(-1,+°°)
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.(2020,黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)=ex,(a+lnx),其中a£R.
(1)若曲線y=f(x)在x=l處的切線與直線y=e垂直,求a的值.
P.
(2)記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x).當(dāng)ae(0,In2)時,證明:g(x)存在極小值點(diǎn)x,且
0
f(x)<0.
0
【解析】(l)f'(x)=ex?(a+lnx)+ex?丄
二ex?(a+乙+/幾x),
依題意,有f'(1)=e?(a+1)=e,
解得a=0.
⑵令g(x)=e、?(Q+:+,
所以g'(x)=e*?(Q+:+出x)+e、?一己)
二ex?(Q+j+In^y
因為ex>0,
所以g'(x)與a+--—+1nx同號.
-8-
設(shè)h(x)=a+---+1nx,
x/
貝|Jhz(x)三「一j"JU+1.
y3工?
所以對任意x£(0,+8),有h'(x)>0,
故h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.
因為ae(0,In2),
所以h(1)=a+1>0,
h(L)=a+ln-<0,
故存在.1),使得h(x°)=0.
令h(x)=0,得到a+lnx=£210.
oo_2
所以f(x)=pxo,(a+1nx)
0,0
-9-
=exo?1-2^0<0,
Xn
【變式備選】
1.已知函數(shù)f(x)/X2-31nx.
7
⑴求f(X)在(1,f(1))處的切線方程.
(2)試判斷f(x)在區(qū)間(1,e)上有沒有零點(diǎn)?若有,則判斷零點(diǎn)的個數(shù).
【解析】(1)由已知得f'(x)=x-±有f'(1)=2,f(1)二丄,
所以在(1,f(1))處的切線方程為y-U-2(x-1),化簡得4x+2y-5=0.
(2)由⑴知f'(x):&
因為x>0,
令f'(x)=0,得x=v3,
所以當(dāng)x£(0,u?)時,有f'(x)<0,則(0,v3)是函數(shù)千(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)xe(\@+8)時,有尸(x)>0,則4③+8)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
當(dāng)x£(1,e)時,函數(shù)f(x)在(1,v?上單調(diào)遞減,在(\過,e)上單調(diào)遞增;
又因為f(1)f(e)=厶2-3>0,f(V3)二(1-1n3)<0,
99?
所以f(x)在區(qū)間(1,e)上有兩個零點(diǎn).
2.(2019?淄博模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+ab(a>0,bGR).
(1)若存在正數(shù)a,使f(x)WO恒成立,求實數(shù)b的最大值.
-io-
(2)設(shè)a=l,若g(x)=xex-2x-f(x)沒有零點(diǎn),求實數(shù)b的取值范圍.
【解析】(1)因為f(x)=lnx-ax+ab,
所以f,(x)丄-a=-"0a),
rx
所以
在(二+8)上單調(diào)遞減.
所以f(x)=f仕)=Tna-1+ab.
maxJ丿
所以存在正數(shù)a,使ab《1+lna成立,
即存在正數(shù)a,使得皿成立.
a
令h(x)巨藝,x£(0,+8),因為h'(x)=4,
所以y=h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
在(1,+8)上單調(diào)遞減.
所以h(x)=h(1)=1,所以bW1.
max
故b的最大值為1.
⑵因為a=1,所以f(x)=Inx-x+b.
所以g(x)=xex-xTnx-b.
所以g'(x)=(?x」)(x+1).
令x£(0,1),使得ax。=丄.
0
兩邊取自然對數(shù),得X=-Inx,
00
-11-
所以g(x)在(0,x)上單調(diào)遞減,在(x,+8)上單調(diào)遞增.由題設(shè)可知,要使函數(shù)
00
g(x)沒有零點(diǎn),則要g(x)=g(x)>0即可,
min0
g(x)=x?丄-x+x-b=1-b>0,所以b<1.
00
°°x0
10.(2019?石家莊模擬)設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),我們把滿足f'(x)=x
的實數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的好點(diǎn).已知函數(shù)f(x)3e2x-aex-三LIX?.
27
⑴若0是函數(shù)f(x)的好點(diǎn),求a.
⑵若函數(shù)f(x)不存在好點(diǎn),求a的取值范圍.
【解析】(1)因為f(x)」e2LaeL《Zlx2,
2?
所以f'(x)=e2x-aeL(a2-]_)x,
由f'(x)—x,得e2x—ae*-(経—1)x=x,
即e2x-ae?-a2X=O.因為0是函數(shù)f(x)的好點(diǎn),
所以1-a=0,解得a=1.
(2)由(1)知f'(x)=e2x-aex-(a2-l)x,
由f'(x)=x,得e2x-aex-(a2-1)x=x,即
e2x-aex-azx-0.
設(shè)g(x)=e2x-aex-a2X,令g(x)=0,問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問題.
函數(shù)f(x)不存在好
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