湖南省湘潭市2022-2023學(xué)年高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題

2022年下學(xué)期高一期末考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知命題°：*^26<6',則命題p的否定為()

A.eN,ex>exB.3XGN,ex>ex

C.VxeN,ex<e'D.VxeN,ex>ex

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題之間關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題°的否定為VxeN,ex〉e1

故選：D.

2.若集合A={—1,4,7},8={—1,3,7,9},則AB=()

A.{-1,7}B.{-1,3}

C.{-1,3,7}D.{-1,3,4,7,9)

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合交集定義求解即可.

【詳解】因?yàn)榧螦={—1,4,7},8={—1,3,7,9},

所以Ac8={-1,7},

故選：A

3.下列函數(shù)為增函數(shù)的是（）

A./(x)=log3-B.

D/"J

C.7（x）=sinx

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】函數(shù)/（X）=log3!與?。┛矗?/p>

在定義域內(nèi)為減函數(shù),不符合題意;

X

函數(shù)〃x）=sin尤在不符合題意;

根據(jù)塞函數(shù)的性質(zhì)知/（%）=尤3為增函數(shù).

故選:B.

4.若角1是第一象限角，則里是（）

2

A.第一象限角B.第二象限角

C第一或第三象限角D.第二或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意得左480<-<^-180+45°,左eZ,分女為偶數(shù)和奇數(shù)求解即可.

2

【詳解】因?yàn)閍是第三象限角，所以左?360<a<k-360+90#eZ,

所以左480<-<^-180+45°,左eZ,

2

OL

當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，一是第一象限角，

2

OL

當(dāng)女為奇數(shù)時(shí)，一是第三象限角.

2

故選：C.

5.函數(shù)/(%)=2|：|+1

-1的部分圖像大致為()

')X-+1

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇偶性和特殊點(diǎn)排除不符合的選項(xiàng).

7|ri+1/、2|—%|+12|—xl+1/、

【詳解】函數(shù)〃%)=士——1的定義域?yàn)镽,/(-%)=/J「1=^^――1=/(%)，因此

X+1(一引+1X+1

/(九)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，選項(xiàng)c,D不滿足；

又/(l)=g>0,所以選項(xiàng)B不滿足，選項(xiàng)A符合題意.

故選：A

6.設(shè)a=3°,2/=0.32,。=logos2,貝I()

A.b>a>cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

022

【詳解】因?yàn)閍=3->3°=1,O<Z?=0.3<0.3°=l,c=log032<log031=0,所以〃>方>c.

故選：B

22

7.從盛有IL純酒精的容器中倒出一L,然后用水填滿；再倒出一L,又用水填滿；…；連續(xù)進(jìn)行〃次,

33

容器中的純酒精少于0.01L,則"的最小值為（

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

!.已知sin[a-烏]=一，則sin|2a+』-|=（）

I5；4I10；

771

——B.—CD.

16168

【答案】C

【解析】

【分析】利用換元法和二倍角公式求解即可.

7T371

【詳解】令1=a—，所以sint——,cc—t-\—,

545

TT7T

所以sin(2a+-)=sin(2?+—)=cosIt=l-2sin21=——.

1028

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列等式正確的是（）

A.sinl5°cosl50=-B.2sin222.5°-l=—

42

tan71-tan26.

C.sin26°cos34°+cos26°sin34°=—D.---------------=1

21+tan71°tan26°

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二倍角公式和兩角和差公式求解即可.

【詳解】sin15°cos15°=—sin30°=—,A正確;

24

2sin222.5°-1=-cos45°=--.B錯(cuò)誤;

2

sin260cos340+cos260sin34°=sin(260+34。)=sin60。=爭C正確;

tan71°-tan26°

=tan(71°-26°)=tan45°=1,D正確;

1+tan71°tan26°

故選：ACD

10.下列命題正確的是（）

ab

A.若別>0,則一〉一B.若avbvl,則a3A//3

mm

D.若正數(shù)a,b滿足a+/?=2,則工+工22

C.若兀>0且xwl,貝！Jin%H----22

Inxab

【答案】AD

【解析】

【分析】由不等式的性質(zhì)和基本不等式的運(yùn)用,逐個(gè)判斷選項(xiàng).

【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，A正確，B錯(cuò)誤;

當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，InxH----<0,C錯(cuò)誤;

Inx

正數(shù)〃，匕滿足〃十人=2,則，+?=12^1+212,

ab2

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=l時(shí)，等號成立，D正確.

故選：AD.

a

tan—

11.已知a是第三象限角，且-----二=1,則（）

12a

l-tan-

2

A.tana=lB.sin(z=--

5

sin2a」(吟1

C.D.tana——=——

5I4j3

【答案】BC

【解析】

【分析】利用正切的二倍角公式判斷A,利用同角三角函數(shù)關(guān)系判斷B,利用正弦的二倍角公式判斷C,利

用正切的兩角差公式判斷D.

2tan-

【詳解】由題意得tana=-----2-=2,A錯(cuò)誤;

1-tan一

2

.221

sina+cosa-\廠「

又。是第三象限角，sino<0,所以由<sina解得sina=-2',cosi=——-,B正確;

----=tana=255

、cosa

4

sin2。=2sinacosa=1,C正確;

tan。-11…

tana----------二;,D錯(cuò)誤；

I41+tana3

故選：BC

12.高斯是德國天才數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函

數(shù)丁=[可，其中不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)稱為X的整數(shù)部分，記作[%].如[2022]=2022,[1.7]=1,

[-1.5]=-2,記函數(shù)/(x)=x—印，則()

A./(-2.9)=0.9B./(%)的值域?yàn)閇0,1)

C./(九)在[0,5]上有5個(gè)零點(diǎn)D.VaeR,方程/(x)+x=a有兩個(gè)實(shí)根

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值、值域、零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象等知識對選項(xiàng)進(jìn)行

分析，從而確定正確答案.

【詳解】f(-2.9)=-2.9-[-2.9]=-2.9-(-3)=0.1,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)一1W九<0時(shí)，[x\--1,/(x)=x-[x]=x+l

當(dāng)0Wx<l時(shí)，國=0,/(%)=%-[%]=%；

當(dāng)1W%<2時(shí)，[尤]=1，/(x)=x-[x]=x-l

以此類推，可得/'(x)=x—[可的圖象如下圖所示,

由圖可知，〃龍）在［0,5］上有6個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

VaeR,函數(shù)丁=/（力與丁=。一兀的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示,

即方程/（x）+x=a有兩個(gè)根，選項(xiàng)D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋代朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是

文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號.如圖，這是折扇的示意圖，已知。為Q4的中點(diǎn)，

3兀

0A=4,ZAOB=—,則此扇面（扇環(huán)A3CD）部分的面積是.

4

9兀

【答案r

【解析】

【分析】利用扇形的面積公式可求得扇環(huán)的面積.

【詳解】S扇環(huán)鉆8一J扇形A03—J扇形QOC—]*彳X

故答案為：-

2

14.若函數(shù)/(X)=COS(X+2Q)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,。1對稱，請寫出一個(gè)9的值：(P=.

【答案】g(答案不唯一，符合四+如，即可)

882

【解析】

【分析】將％+2。看作一個(gè)整體，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.

JT7T

【詳解】由題意可知1+20=5+阮，kE7J9

5,口7iku,

斛何(P——I----,左eZ,

82

故答案為：￡(答案不唯一，符合工+包，即可)

882

15.已知/(sincif+cos<z)=2sin】cos<z,貝U/[cos：]=.

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)解析式，再代入求值.

詳解】已知/(sina+cosa)=2sinacosa,

因?yàn)?sina+coso『=l+2sinacos。，

所以令，=sina+cosa,則/⑺=/_1,

n,/扃J歷｝111

I4廠12J22

故答案為：—

2

-ax+〃-2,%<0

16.已知〃〉0,函數(shù)/(%)=1.(兀、已知)⑺有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為

sinax+—,0<x<2TI

[I5)

【答案】歷19’2卜、?12記29

10

【解析】

【分析】當(dāng)。之2時(shí)，/⑺在(—8,0)上無零點(diǎn)，所以Ax)在［0,2兀］上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)。<2時(shí)，/(x)

在(-8,0)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以/⑺在［0,2兀］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，利用正弦函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.

2

【詳解】當(dāng)xvO時(shí)，/(%)二—依+〃—2,令/(%)=0,得元=1——

a

2

若1—->0,即〃22時(shí)，了。)在(—8,0)上無零點(diǎn)，所以〃尤)在［0,2兀］上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

a

7兀T7兀T兀71兀］229

當(dāng)xe［0,27i］時(shí)，GX+—G—,2(771+—,所以5兀42。兀+1<6兀，即=〈。<二.

555510

2

若1——<0,即。<2時(shí)，/(%)在(—8,0)上恰有一個(gè)零點(diǎn),

a

TT19,12

所以/(%)在［0,2兀］上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，所以4兀42。兀+1<5兀,即an—K〃<—,

55

19

又〃<2,所以w4〃<2.

一..............19、1229、

綜上所述：”的取值范圍為行，2)。了‘記)

10

故答案為：歷19，2卜1二12，記29、.

10

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.若角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3m,4m),其中相w0.

(1)求taniz的值;

(2)若a71,求sin[a+g)的值.

2

4

【答案】(1)tana=—

3

（2）4+3-\/3

10

【解析】

【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求解即可；

（2）利用三角函數(shù)的定義和正弦的兩角和公式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)榻?終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3m,4加），且加。0,

4Hz4

所以由三角函數(shù)的定義可得tana=——=-.

3m3

【小問2詳解】

因?yàn)閍e

4m43m3

所以機(jī)〉0,sina=cosa=/

5Q(3m)2+(4m)25,

.兀.兀4+3A/3

所以sin[a=sinacos—+cosasin—=---------

3310

18.設(shè)全集U=R,集合Af={x|f—12x+20<0},N={x|lnx<21n3},P={x|2a<x<a+5}.

(1)求MN,M(eM)；

（2）若P^N,求a的取值范圍.

【答案】⑴AfiV={x|0<x<10},M(^A^)={x|9<x<10}

(2)[0,4]o[5,+oo)

【解析】

【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法化簡集合再由集合的運(yùn)算求解即可;

（2）討論P(yáng)=0、PW0兩種情況，根據(jù)包含關(guān)系求得a的取值范圍.

【小問1詳解】

由"={x|X2-12X+20<0},得"={X|2WXW10},

由N={x|Inx<2In3},得N={x|0<x<9},所以AfN={x|0<%<10}.

由N={x|0<x<9}得aN={x[x<Q^x>9],

所以M(^)={x|9<x<10}.

【小問2詳解】

當(dāng)P=0時(shí)，2。之。+5,即。25,符合題意，

2a<a+5

當(dāng)尸W0時(shí)，。+5?9,解得0?〃<4,符合題意.

2a>0

綜上，a的取值范圍為[0,4]u[5,+").

19.己知幕函數(shù)/⑺=(m—1廣在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(1)求加的值；

(2)若Vx〉0,/里22—烏，求a的取值范圍.

x22x

【答案】(1)m=2

(2)[2,+co)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)和概念求解即可；

(2)不等式可轉(zhuǎn)化為a2-2/+4%對x>0恒成立，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求-2必+4%的最大

值即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?('=(加_1『.彳2，”-1是塞函數(shù)，且在(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以卜加一1)='解得切=2.

2m—1>0

【小問2詳解】

由(1)得/(x)=x3,所以X/x>0,x>2,

2x

即a之一2九2+4%對尤>0恒成立，

4

由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)尤=-(「1時(shí),—2k+4%有最大值2,

所以a?2,即。的取值范圍為[2,+8).

20.已知函數(shù)/(x)=log2(x-4)-log2(x-2).

(1)求“力的定義域；

(2)求”力的值域.

【答案】(1)(4+8)

(2)(-oo,0)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，列出不等式，解出即可.

(2)運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將/(X)化簡為log21l-根據(jù)⑴中的定義域求得1-三的范圍，再根據(jù)

y=iog2x的單調(diào)性即可求得〃尤)值域.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=log2(x-4)-log2(x-2),

x-4>0

所以，解得x>4,

x-2>0

所以/(九)的定義域?yàn)?4,+8).

【小問2詳解】

因?yàn)椤▁)=log2(x—4)—log2(x—2)

x-4x-2-2

=。2=咋2

x-2x-2

由⑴知/(X)的定義域?yàn)?4,+co),

22

所以1—2>2,0<----<1,0<1------<1,

%—2%—2

因?yàn)閥=log2X是增函數(shù)，所以/(x)<log21=0,

故/(%)的值域?yàn)?-°°，0)?

21.已知函數(shù)/(x)=21nx+(—1)”必+2.

(1)證明:當(dāng)〃=1時(shí)，F(xiàn)3在(l,e)上有零點(diǎn).

(2)當(dāng)九=2時(shí)，關(guān)于尤的方程/(幻=根在口,2]上沒有實(shí)數(shù)解，求相的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(-oo,3)lJ(6+2In2,+co)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行求證，

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解/(尤)在xe[l,2]上的值域，進(jìn)而根據(jù)加或相>[y(x)]max,即可

求解.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)=21nx-x2+2,

因?yàn)?(l)=l>0,/(e)=4—e2<0,所以/(l)/(e)<0,

因此/(x)在(l,e)上有零點(diǎn).

【小問2詳解】

當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)=21nx+x2+2,由于y=Inx,y=爐均為xe[l,2]上的單調(diào)遞增函數(shù)，故/⑴在元注1,2]

上單調(diào)遞增.又/(1)=3,/(2)=6+21n2,故/(x)在xe[1,2]上的值域?yàn)閇3,6+2In2],

且關(guān)于x的方程/(*)=/在口,2]上沒有實(shí)數(shù)解，故機(jī)<[7(司]1nm或機(jī)>[/(力]蚪，即m<3或

m>6+21n2

所以加的取值范圍為(一8,3)"(6+21n2,+s).

22.已知函數(shù)〃x)=Asin(0x+°)]A〉O,0〉Ojd<])的部分圖像如圖所不;.

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)將y=/(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;，縱坐標(biāo)不變，再向右平移$個(gè)單位長度得到

y=g(%)的圖像，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

7t兀兀兀

(3)在第(2)間的前提下，對于任意看e,是否總存在實(shí)數(shù)4e,使得

3366

/(X)+g(%)=機(jī)成立?若存在，求出實(shí)數(shù)m的值或取值范圍；若不存在，說明理由.

71

【答案】(1)/(x)=sin|2%+一

3

7tkit5兀kit

(2)------1----,-----1----(左eZ)

242242

(3)存在，m=0

【解析】

T7兀兀

【分析】(1)由題知4=1，-=--------，求出T從而得。的值，將特殊點(diǎn)代入函數(shù)中求出9,即可解決

4