數(shù)學日記(小數(shù)點)及數(shù)學思維方法

請每位同學在認真閱讀后，選擇你認為寫得最好的2篇數(shù)學日記，把編號記在數(shù)學書上。1、小數(shù)點出游記最近，小數(shù)點很心煩，覺得自己在數(shù)學王國里得不到重視，很沒有地位。這天，他心想：總把我放在幾個數(shù)中間，真煩，我要出國遠游！他不曾想到，他這一走，數(shù)學王國可亂了套。比如，小學生做比大小的題時，原來是762.8，現(xiàn)在變成了7628，簡直沒法做題了！真是亂了套！聽到了這個消息，數(shù)學王國的國王趕緊命令，“快把小數(shù)點找回來，否則，數(shù)學王國就要滅亡了！”小數(shù)點繼續(xù)失蹤中，人們的生活也亂作一團。小數(shù)點跑到商店里，輕而易舉地把貴的東西變便宜了。一瓶紅酒，本來標價是127元，可頑皮的小數(shù)點跑到了百位“1”的后面，顧客們都以為一瓶紅酒是1.27元，于是，紛紛搶購。商店的總經(jīng)理發(fā)現(xiàn)原來是小數(shù)點在搗亂，于是趕緊撥打電話及時通知了數(shù)學國王，不久，數(shù)學國王派人把小數(shù)點抓走了，把他帶回數(shù)學王國，好好管治。從此，數(shù)學王國又恢復了以往的平靜……2、拉面的秘密今天媽媽帶我去吃蘭州拉面。不一會兒，香噴噴的拉面就端上來了，真是香極了。吃著吃著，我的腦海里浮出了一個疑問：一個面團怎么會變成這么多面條呢？媽媽笑著對我說：“把面對折拉長就變成了2根，再對折拉長就變成了4根，然后再對折拉長就變成了8根……你知道對折拉長20次能變成多少根呢？”我開始思考了，對折一次是2根，再對折一次是4根，每一次都往上加了自己的一倍，就是乘2，對折20次就相當于20個2相乘。我用媽媽的手機算了一下，結(jié)果嚇了我一跳，對折拉長20次居然有1048576根面條。原來，吃面條也有學問呢！數(shù)學真是好玩極了！3、數(shù)學日記我和媽媽去逛超市買牛奶。發(fā)現(xiàn)了同種牛奶有兩種賣法：1、3盒200毫升的牛奶組成暢享裝是18元；2、一盒240毫升裝的牛奶是8元。媽媽讓我看這兩種賣法的牛奶買那種省錢呢？我說：“買暢享裝省錢。”媽媽問：“為什么呢？”我說我是這么想的：18元買三盒，用18÷3＝6（元）那么200毫升的牛奶6元每盒。240毫升的牛奶8元每盒，也就是多2元錢多買40毫升牛奶，照樣算1元可買20毫升牛奶。而買240毫升的牛奶1元買不到20毫升。原來數(shù)學在日常生活中經(jīng)常要用到的，還能省錢呢，我一定要好好學習數(shù)學！4、找規(guī)律星期六下午，我做完作業(yè)閑著沒事，媽媽就給我出了一個問題：“你知道2的倍數(shù)有什么特點嗎？”我一聽，一下子就回答了出來：它們都是雙數(shù)?！澳撬鼈冇惺裁刺攸c呢？”媽媽又問?！八鼈兊膫€位上都是0、2、4、6、8?！眿寢屨f：“那你知道4的倍數(shù)懂得特點嗎？”這下可把我難倒了。于是，我就找了一些4的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)他們的個位上也都是0、2、4、6、8，于是我就把這個規(guī)律告訴了媽媽?？蓩寢岆S口說了一個數(shù)，就推翻了我的發(fā)現(xiàn)。媽媽讓我繼續(xù)觀察，可我左看右看還是找不出來。媽媽就給我一個提醒：你看看這些數(shù)的最后兩位。我根據(jù)媽媽給我的提示，右這些數(shù)觀察了一番，頓時恍然大悟。原來，4的倍數(shù)的特點是：一個數(shù)的最后兩位是4的倍數(shù)，這個數(shù)就是4的倍數(shù)。然后，我找了一些數(shù)來試了試，例如：437，37÷4=9……1，照規(guī)律來說437就不是4的倍數(shù)，我隨后用437÷4=109……1，符合這個特點。我又找了一個數(shù)1024，24÷4=6，找規(guī)律1024就是4的倍數(shù)我又用除法驗證了一遍：1024÷4=256，所以1024就是4的倍數(shù)。我高興地把這個發(fā)現(xiàn)告訴了媽媽，媽媽滿意地點了點頭。這就是我的發(fā)現(xiàn)，同學們不妨也去試一試。5、小數(shù)故事從前有兩個兄弟，他們很喜歡吵架。大的叫2004.76，小的叫200.46。聽，他們又吵起來了。為什么呢？原來小巧在卷子上做大小比較，他們都是由：2、0、0、4、7、6組成的。只是小數(shù)點的位置不同。那到題目是：2004.76【】200.46.小巧填了大于號，200.76不服氣，就對2004.76說：“'兩天后，我們在這里一決高下！”咦,200.76跑到哪里去了呢？原來它跑去求小數(shù)點幫忙了。它說：“小數(shù)點，我怎么才能比水2004.76大呢？”小數(shù)點說：“你把我推到7的右下角就行了，但是你得用水果款待我哦！”200.476求了半天，讓7給它一個位置，還是不給。于是它就向6要個位置，然后慷慨的6爽快的同意了。它變身成了200476。兩天后，2004.76又和200476比賽了，它們倆讓筆寫上算式，2004.76（）200476.又讓小巧填上了小于號。耶！200476贏了哦！小數(shù)點的本領真大。6、生活中的小數(shù)這幾周我們學了關于小數(shù)的知識，我也發(fā)現(xiàn)了生活中有許許多多的小數(shù)。我發(fā)現(xiàn)許多書，是有零頭的，有些書卻沒有。像《安徒生童話》就是有零頭的，15.80元，讀作十五點八零元；可是這本《瞧，這群俏丫頭》就不一樣了，它沒有零頭，只是單單的20.00元，讀作二十點零零元。還有我們經(jīng)常收到的水費單子，電費單子和通信費單子，這個月，我的爸爸媽媽付了91.06元通信費，讀作九十一點零六元；付了水費124.20元，讀作一百二十四點二零元；還付了電費321.70元，讀作三百二十一點七零元。生活中的小數(shù)真奇妙，還有更多的奧秘等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)！7、買肥皂今天媽媽帶我去超市買肥皂。超市里肥皂好多呀！媽媽讓我挑一挑買哪種最劃算。我慢慢地找，最終挑出了兩塊肥皂，一塊202克，一塊220克，價格都是4.50元。我想：價格相同，肥皂越重越劃算。所以我拿起那塊220克的肥皂高興地給媽媽看。媽媽笑著拿起另一塊肥皂，說道：“這塊肥皂是買一送一的，雖然總價格要6.20元，但是平分到一塊肥皂上單價就便宜了。”生活中真是處處有數(shù)學，一不小心就會出錯，我一定要注意觀察，學好數(shù)學！8、買蘋果星期六，媽媽交給我一個“重任”——去市場買蘋果。市場上，人山人海的。我好不容易才擠進了水果區(qū)，剛好看見葉阿姨在賣蘋果，她的蘋果都是今天從廣州運過來的，很新鮮，所以被買走了很多，但還剩下一箱蘋果。我對葉阿姨說：“葉阿姨，我是你這的常客，這些蘋果賣給我，便宜點?！比~阿姨一聽，哈哈一笑，說：“小小年紀就會討價還價了，行，給你個機會！”只見她拿起稱連同箱子稱了一下，說：“這箱蘋果原來連箱重74千克，有一家蛋糕店一次買走了一半，然后又來了一位顧客，買走了剩下的一半，現(xiàn)在連箱重20千克，你能算出現(xiàn)在還剩多少千克蘋果，我就以最低價賣給你！”我可是個倔強、不輕易服輸?shù)娜?，我開動腦筋思考了起來：“74千克和20千克里都包含了箱子的重量，用74—20可以求出賣掉了54千克。然后倒過來想，把現(xiàn)在剩下的蘋果看作一份，那位顧客來之前還有2份，于是就可以知道在顧客來之前還有兩份，那家蛋糕店買走的蘋果就是2份，因此箱里的蘋果原來就是4份，一共賣出了三份?！毕氲竭@里，我高興地說：“我算出來了，現(xiàn)在箱里還剩54÷3＝18（千克），這個箱子重2千克！”葉阿姨豎起大拇指表揚道：“你真厲害，好，我兌現(xiàn)剛才的諾言！”說完，她就給我了那箱蘋果，一共是60元。我付了100元，拿好葉阿姨找的40元，開開心心地回家了。9、數(shù)學日記今天，我和媽媽去買菜，媽媽給了我二十，叫我買葷菜和素菜。我先到一個肉攤前，對老板說：“老板，豬肉多少錢一斤？”老板回答說：“10塊6毛一斤。”我便跟老板買了一斤豬肉。我算了一下剩下的錢，20-10.6=9.4元，我又去了蔬菜攤位，我想了一下，覺得青菜和菠菜應該買，于是經(jīng)過一番唇槍舌戰(zhàn)以后，我已4塊1角的價錢買到了青菜和菠菜各一斤。我拿著沉甸甸的菜回到了媽媽那兒，我又算了一下剩下的錢，9.4-4.1=5.3元，我把這5.3元給了媽媽，媽媽夸我是個好孩子。本次買菜令我體驗到了生活的艱辛，同時也令我了解到了數(shù)學的奧秘，我們可以利用數(shù)學來解決身邊的問題，幫助我們計算。10、算二十四點我很喜歡一種紙牌游戲算24點。24點就是用一副牌每次抽出四張牌，大小王不參加這個游戲。A=1、J=11、Q=12、K=13，看誰算得快，可以用所有的運算符號，先算出24的人獲勝，但是也有些牌算不出24的。游戲開始了，我抽了四張牌，第一組牌是3、6、9、5，我一下想出了答案(3+5)×(9-6)=24。第二組牌是2、J、J、Q。我一看就說出了2個利用2×12=24的算式，2×Q×J÷J=24和2×Q+（J-J）=24。玩24點可以提高我們心算得水平，如果你想玩也可以試試。11、小數(shù)點放錯了位置在數(shù)學王國里,約等于和小數(shù)點是兄弟，約等于是哥哥，小數(shù)點是弟弟。自從有了小數(shù)點，約等于便不常用了，所以約等于嫉妒小數(shù)點搶了他的“寶座”，并綁架了小數(shù)點，讓小數(shù)點每次把東西的原本價格向右移動倆位。小數(shù)點為了活命，答應了約等于的要求。由于小數(shù)點每次都按要求標價，數(shù)字王國遭到人類的投訴了：“面包從3.41元變成了341元，打印一張紙從每張0.5元變成50元！以后還是用約等于吧，小數(shù)點太不稱職了！”國王同意了，讓約等于代替了小數(shù)點的位置。可是國王不相信小數(shù)點會這樣，便去詢問小數(shù)點。小數(shù)點在國王的逼問下，一五一十地把事情的經(jīng)過告訴了國王。國王聽了十分生氣，立馬把約等于關進大牢。人們也知道了，讓小數(shù)點重新上任。小數(shù)點來到牢里看約等于，寬容地對約等于說：“你也有可用之處，可以彌補我的不足，比如：0.31元可以約等于0.3元，這樣人們就好給錢和找錢了，所以你和我一樣重要，缺一不可！”約等于聽了，后悔地說：“唉，我真是自作自受呀！”是呀，小數(shù)點和約等于是好兄弟，約等于可以用來彌補小數(shù)點的不足，是小數(shù)點的好助手！12、奇妙的小數(shù)點在數(shù)學王國里，每一個知識都與我們的生活密不可分。在我看來，小數(shù)點是數(shù)學王國中最奇妙最實用的，它隨便移動，都足以讓任何一個數(shù)隨時變大或變小。今天，我和媽媽去超市購物，看到里面大部分商品都是保留兩位小數(shù)的，如：牙刷1.50元，洗發(fā)水43.90元，鹽2.88元，榨菜2.50元。。。。。。所以在我們?nèi)粘Ｉ钪?，小?shù)點與我們是密不可分的。如果小數(shù)點的位置不同意義也就不同。比如，洗發(fā)水43.90元，把小數(shù)點點成439.0元，那這瓶的價格就不一樣了。因此，在學習小數(shù)點時，我們要細心，注意小數(shù)點的位置，千萬不要因為我們的大意而釀成大錯哦！13、吃飯晚上，我和爸爸媽媽一起去餐廳吃晚飯。爸爸說：“我點了一只烤大蝦和一只蟹。三只烤大蝦的價格等于一只蟹，我點菜的合計是132元，請問一只蝦和一只蟹分別多少元？”我想了一會：一只蟹=三只烤大蝦，爸爸點了一只蟹=三只大蝦，再加上原先點的一只烤大蝦就等于4只大蝦，一共132元，所以132÷4=33元，一只烤大蝦33元，再33X3=99元就是一只蟹的價格了！我得意洋洋地把我的答案和思路公布了出來。爸爸笑著說：“對！既然你算了出來，就都給你吃吧！”我裝模作樣的說：“不不不不！我這純屬娛樂！你付的錢你吃！”“哈哈！”大家都笑了。14、購物我們四年級明天要去春游了，晚上我和媽媽一起去仲盛商城購買要帶的食物。我先在巴黎貝甜選了兩只面包，一只4.5元，另一只6元，媽媽給了我11元，問我夠不夠？我計算了一下：4.5+6=10.5，于是回答媽媽說，夠了！我到收銀臺付了11元，并提醒收銀員阿姨找我0.5元。然后來到了家樂福超市，買了2包喜之郎水果果凍（2元）、一瓶600ml的雪碧（2.6元）、一條益達口香糖13.5g（2.2元）、一桶品客薯片番茄味（13.5元）、一包旺旺小饅頭50g（2.3元）和一包上好佳冰檸檬硬糖120g（3.2元）。這次春游我一共用了10.5+2+2.6+2.2+13.5+2.3+3.2＝36.3元購買食物。15、爬樓梯媽媽為了鍛煉身體帶我一起去爬樓梯。我數(shù)著數(shù)著：“一層，兩層，……十三層?！薄斑@棟樓一共有14層，怎么只爬了13層呢？”我疑惑地問媽媽。媽媽回答我：“如果你是從地下車庫開始爬，那你就爬14層樓了?！蔽一丶矣窒肓讼?，終于明白了，這就像是豎著的植樹問題，每一層相當于一棵棵的樹，每層間的樓梯相當于段數(shù)，兩頭都種的情況下，段數(shù)＝棵樹－1，所以爬的樓層要用總層數(shù)減1。生活中處處都有數(shù)學的身影，只要你留心觀察，就一定能找到它。16、數(shù)學日記早上吃完飯媽媽看到電視上說衣服大甩賣，于是就問我說：一件衣服先漲價10%，后又降價10%，現(xiàn)在的衣服價格與原來相比，是升高了、降低了還是沒變呢？我想都沒想，脫口而出，當然是沒變了，媽媽又問：那一斤棉花和一斤鐵比，誰重？這個更簡單，當然是鐵了。媽媽沒說對錯，只是讓我好好想想。我恍然大悟，都是一斤，當然一樣重了，難道上個題看似簡單也暗藏玄機？我拿來紙和筆，假如一件衣服原價一百，先漲百分之十就成了100x（1+10%）=110，然后又降百分之十110x（1-10%)=99，原來真的變了啊！對啊！老媽那么聰明，不是真的變宜了，她怎么想著去買呢？數(shù)學無處不在?。?7、“0”的重要性“0”是所有數(shù)字中最神秘的，以前總覺得有它無它都沒啥太大關系，可自從學了小數(shù)，我發(fā)現(xiàn)它可是個重要人物，每道題目都缺不了它。一不小心缺了它或是多了它那可就有大麻煩了，真令人苦惱！記得上次做數(shù)學練習，有道題目說：“在小數(shù)點的后面添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變?！蔽耶敃r想，小數(shù)后面的0有什么用，有沒有都一樣，大筆一揮就打了一個勾。可爸爸看見了，對我說：“你聽寫一下下面連個數(shù)字，比較一下?！碑敃r我還信心滿滿，滿不在乎地說：“來吧！”當我寫下這兩個數(shù)字——0.01、0.001時傻眼了，多了一個0就縮小10倍，0居然如此重要！最后爸爸語重心長地說：“小數(shù)中的0其實非常關鍵，也許現(xiàn)在你只是把它當做數(shù)字在使用，但它的用途其實非常廣泛。你想，如果你媽媽在打針時算錯了一個0，那它的代價就不是一個簡單的叉，而是一條生命?。　蔽衣牶竺婕t耳赤，這樣的后果可不是我能承擔的。18、厲害的小數(shù)點曾經(jīng)，1234567890和小數(shù)點聚在一起。1夸耀自己說：“我最厲害，2是1+1,3是1+1+1，任何數(shù)我都能變！”，2不服氣道：“對，我是1+1,不就是一個頂倆嗎？！”。接著，3456789都介紹了自己的優(yōu)點。輪到0了，它說：“別看我什么都沒有，任何數(shù)加到我前面，都能擴大10倍！”。這時，小數(shù)點說：“其實我最厲害！”，1234567890站在一起，同時反對說：“怎么可能，你有什么？”小數(shù)點不緊不慢地跑到隊伍前面。頓時，隊伍變成了.1234567890！十兄弟的身價一下子降了一百億分之一！沒辦法，十兄弟只好承認了小數(shù)點是最厲害的。數(shù)學思維方法第一節(jié)數(shù)學思維和思維過程一、數(shù)學思維及其類型1.思維概述思維是人腦對客觀現(xiàn)實概括的、間接的反映，是客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的反映。思維是人類所特有的一種高級的心理活動。2.思維的特征數(shù)學思維的特征主要是概括性、間接性、目的性、問題性和復合性。（1）概括性。思維能認識事物的本質(zhì)及其內(nèi)在規(guī)律性，主要來自抽象和概括，即思維是概括的反映，所以思維最顯著的特點是概括性。概括是思維活動的速度、靈活遷移程度、廣度和深度等智力品質(zhì)的基礎。（2）間接性。思維是憑借知識經(jīng)驗對客觀事物進行的間接的反映。間接性表現(xiàn)在能對沒有直接作用于感知的事物的屬性或聯(lián)系加以反映，能對根本不能直接感知的事物及其屬性或聯(lián)系進行反映；能在對現(xiàn)實事物認識的基礎上假設、想象等。（3）目的性。思維具有目的性，是指思維具有解決問題或獲得結(jié)果的能動性。人只有在客觀實踐活動中面臨新的問題，新的活動要求和新的情況下，才可能進行思維。思維的特性還包括廣闊性、層次性、邏輯性、產(chǎn)生性等。3.思維的分類根據(jù)思維活動的目的性差異，思維有不同形式的分類。（1）根據(jù)思維的抽象程度。思維可分為直觀行動思維、直觀形象思維和抽象邏輯思維。（2）根據(jù)思維的目的性。思維分為上升性思維、求解性思維和決策性思維。上升性思維是依靠比較、分析、抽象等方法，從對事物的個性向共性的認識過程；求解性思維指解決具體問題的思維；決策性思維是以規(guī)范未來的實驗過程和預測其效果為中心內(nèi)容的思維活動。三種思維相互聯(lián)系、彼此滲透，同時又是一個不斷深化和發(fā)展的過程。（3）根據(jù)思維的智力品質(zhì)。思維可分為再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維。再現(xiàn)性思維是一般的思維活動，它是指對已有知識的再現(xiàn)，或?qū)⒁延兄R按照通常的思維形式去解決問題的過程；創(chuàng)造性思維指獨立思考出有社會價值的、具有一定新穎成分的思維，它是人類思維的高級階段。（4）根據(jù)思維的形式。思維可分為輻合思維和發(fā)散思維。4.數(shù)學思維數(shù)學思維既具有一般思維的共性，又具有自身的特性。數(shù)學思維是以認識數(shù)學對象為任務，以數(shù)和形為思維對象，以數(shù)學語言和符號為思維載體，并以認識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學思維主要具有概括性、整體性和問題性等特點。（1）概括性。數(shù)學思維的概括性是指將某種事物已分出來的一般、共同的屬性或特征結(jié)合起來，再把研究對象的本質(zhì)特征推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質(zhì)特征。數(shù)學思維的概括性比一般思維的概括性更強，這是由于數(shù)學思維揭示的是事物之間內(nèi)在的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關系及其規(guī)律，能夠把握一類事物共有的數(shù)學屬性。（2）整體性。數(shù)學思維的整體性主要表現(xiàn)在它的統(tǒng)一性和對數(shù)學對象基本屬性的準確把握。（3）相似性。數(shù)學思維的相似性是思維相似規(guī)律在數(shù)學思維活動中的反映。（4）問題性。數(shù)學思維的問題性是與數(shù)學科學的問題性相關聯(lián)的。問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學科學的起源與發(fā)展都是由問題引起的。由于數(shù)學思維是解決數(shù)學問題的心智活動，它總是指向問題的變換，表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題，使數(shù)學思維的結(jié)果形成問題的系統(tǒng)和定理的序列，達到掌握問題對象的數(shù)學特征和關系結(jié)構(gòu)的目的。因此，問題性是數(shù)學思維目的性的體現(xiàn)，解決問題的活動是數(shù)學思維活動的中心。（5）復合性。數(shù)學思維的復合性是指數(shù)學思維活動中表現(xiàn)出的邏輯性和非邏輯性相結(jié)合的特征。二、數(shù)學思維的類型確定數(shù)學思維類型應該考慮的問題：首先，數(shù)學思維既要體現(xiàn)一般思維的規(guī)律，又要結(jié)合數(shù)學學科的特點，反映出數(shù)學思維特有的規(guī)律。其次，數(shù)學思維應是指數(shù)學活動過程中的思維，這種活動包括研究數(shù)學和學習數(shù)學的活動。由上面分析可知，數(shù)學思維的成分主要包括形象思維、抽象邏輯思維和直覺思維。1.形象思維數(shù)學形象思維是指借助數(shù)學形象或表象，反映數(shù)學對象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維。在數(shù)學形象思維中，表象與想象是兩種主要形式，其中數(shù)學表象又是數(shù)學形象思維的基本元素。（1）數(shù)學表象。數(shù)學表象是以往感知過的觀念形象的重現(xiàn)。數(shù)學表象常常以反映事物本質(zhì)聯(lián)系的特定模式——結(jié)構(gòu)來表現(xiàn)。如，數(shù)學中“球”的形象，已是脫離了具體的足球、籃球、排球、乒乓球等形象，而且與定點距離相等的空間內(nèi)點的集合，顯示了集合內(nèi)的點（球面上的點）與定點（球心）之間的本質(zhì)聯(lián)系：距離相等。（2）數(shù)學想象。數(shù)學想象是數(shù)學形象思維的一種重要形式，通?？煞譃樵僭煨韵胂蠛蛣?chuàng)造性想象兩種類型。再造性想象是根據(jù)數(shù)學語言、符號、數(shù)學表達式或圖形、圖表、圖解等提示，經(jīng)過加工改造而形成新的數(shù)學形象的思維過程。創(chuàng)造性想象是一種不依靠現(xiàn)成的數(shù)學語言和數(shù)學符號的描述，也不依據(jù)現(xiàn)成的數(shù)學表達式和數(shù)學圖形的提示，只依據(jù)思維的目的和任務在頭腦中獨立地創(chuàng)造出新的形象的思維過程。2.邏輯思維邏輯思維包括形式邏輯思維和辯證邏輯思維。形式邏輯思維是依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來反映數(shù)學對象、結(jié)構(gòu)及其關系，達到對其本質(zhì)特性和內(nèi)在聯(lián)系的認識過程。辯證邏輯思維是邏輯思維發(fā)展的高級階段，它是從運動過程及矛盾相互轉(zhuǎn)化中去認識客體，遵循質(zhì)量互變、對立統(tǒng)一及否定之否定等規(guī)律去認識事物本質(zhì)的過程。3.直覺思維數(shù)學直覺思維是以一定的知識經(jīng)驗為基礎，通過對數(shù)學對象作總體觀察，在瞬間頓悟到對象的某方面的本質(zhì)，從而迅速做出估計判斷的一種思維。數(shù)學直覺思維是一種非邏輯思維活動，是一種由下意識活動參與，不受固定邏輯規(guī)則約束，由思維主體自覺領悟事物本質(zhì)的思維活動。因此，非邏輯性是數(shù)學直覺思維的基本特征，同時數(shù)學直覺思維還具有直接性、整體性、或然性、不可解釋性等重要特征。（1）直接性。數(shù)學直覺思維是直接反映數(shù)學對象、結(jié)構(gòu)及關系的思維活動，這種思維活動表現(xiàn)為對認識對象的直接感悟或洞察，是數(shù)學直覺思維的本質(zhì)特征。（2）整體性。整體性是指數(shù)學直覺思維的結(jié)果是關于對象的整體性認識，盡管這并非是一副毫無遺漏的“圖畫”，它的某些細節(jié)甚至可能是模糊的，但是卻清楚地表明了事物的本質(zhì)或問題的關鍵。（3）或然性。數(shù)學直覺思維是一種跳躍式的思維，是在邏輯依據(jù)不充分的前提下做出的結(jié)論，具有猜測性。正因為如此，如何通過直覺思維“俘獲來的戰(zhàn)利品”就需要經(jīng)過嚴格的邏輯驗證。采用直覺思維的目的在于迅速找到事物的本質(zhì)或內(nèi)在聯(lián)系，提出猜想，而不在于論證這個猜想。（4）不可解釋性。數(shù)學直覺思維在客觀上往往給人以不可解釋之感。由于直覺思維是在一剎那間完成的，略去了許多中間環(huán)節(jié)，思維者對其過程沒有清晰的意識，所以要想對它的過程進行分析、研究和追憶，往往是十分困難的，這又使直覺思維給人一種“神秘感”。數(shù)學直覺和數(shù)學靈感是數(shù)學直覺思維的兩種形式，它們之間具有深刻的本質(zhì)聯(lián)系，即靈感是直覺的更高發(fā)展，是一種突發(fā)性的直覺。通常靈感的形成是從多次的直覺受阻或產(chǎn)生錯誤的情況下得到教益，而使一部分信息不自覺地轉(zhuǎn)入潛意識加工，最終又在某種意境或偶發(fā)信息的啟發(fā)下，由潛意識躍入顯意識而爆發(fā)頓悟的，因此數(shù)學思維靈感是從多個數(shù)學直覺中升華而形成的結(jié)晶。形象思維、邏輯思維、直覺思維是數(shù)學思維的三種基本類型，形象思維是數(shù)學思維的先導，邏輯思維是數(shù)學思維的核心。在進行具體的數(shù)學思維活動時，往往是這兩種思維交錯應用的一個綜合過程。直覺思維則是以上兩種思維的結(jié)合，達到一定數(shù)量后所引起的一種質(zhì)的飛躍。因此，如果形象思維和邏輯思維發(fā)展得好，就為發(fā)展直覺思維創(chuàng)造了條件。第二節(jié)數(shù)學思維的一般方法數(shù)學思維的一般方法指數(shù)學思維過程中常運用的基本方法。從數(shù)學活動過程來看，數(shù)學思維方法大體上可分為兩個層次：經(jīng)驗性思維方法，包括觀察、實驗、類比、不完全歸納和抽象等，這一層次的思維方法在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程中表現(xiàn)得尤為突出；邏輯思維方法，常用在數(shù)學的推理和論證中，包括化歸、演繹、分析、綜合、形式化和公理化等。因此，從整個教學活動的過程來看，可分為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的思維方法和數(shù)學論證的思維方法。一、觀察和實驗觀察和實驗是發(fā)現(xiàn)與解決問題中最形象、最具體的手段之一。在一般的科學活動中，觀察與實驗是極為重要的科學方法。觀察與實驗是收集科學事實，獲取科學研究第一手材料的重要途徑，是形成、論證及檢驗科學理論的最基本的實踐活動。觀察法是指人們對周圍世界客觀事物和形象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關系，從而獲得經(jīng)驗材料的一種方法。通過在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的觀察和實驗能力，可以使學生掌握和運用觀察和實驗的能力，利用學生的個體經(jīng)驗，運用數(shù)學解決問題的能力和對數(shù)學的興趣及信心。在數(shù)學研究中，通過觀察與實驗不僅可以收集新材料、獲得新知識，而且常常導致數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與理論的創(chuàng)新。觀察與實驗方法在數(shù)學中的運用可以大體分為兩個層次：一是運用觀察和實驗來解決和驗證數(shù)學理論；二是運用觀察和實驗方法來解決具體的數(shù)學問題。在中學數(shù)學教學中，就是要運用觀察和實驗方法來解決一些具體的數(shù)學習題。在中學數(shù)學教學中，數(shù)學觀察與實驗主要被用來觀察實際生活中存在的數(shù)量問題、空間結(jié)構(gòu)問題。比如作簡單的幾何圖形，觀察幾何圖形的相互位置，從這些觀察中自己動手去做、去實踐，并得出一些數(shù)學結(jié)論。在數(shù)學教學中，為了更好地使學生掌握知識、培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和能力，要盡可能地再現(xiàn)數(shù)學知識和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程。因此，觀察與實驗應成為數(shù)學教學中探索、學習知識的重要方法和開展實踐活動的主要形式。二、類比和猜想類比是根據(jù)兩個數(shù)學對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比分為簡單類比和復雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征；復雜類比是一種實質(zhì)性類比，需要通過較為深入的分析后才能得出新的猜測。類比是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的一種常用思維形式。在中學數(shù)學中，常用的類比包括平面與空間的類比、數(shù)與形的類比、有限與無限的類比等。兩個數(shù)學對象結(jié)構(gòu)相似，是類比的出發(fā)點和關鍵。猜想往往伴隨著類比、歸納的思維過程，由于類比和不完全歸納所得的結(jié)論不一定正確，所以猜想的數(shù)學命題或結(jié)論應當采用嚴格的方法去證明它，或者用實例反駁它。三、歸納與演繹歸納是通過對某類數(shù)學對象中若干特殊情況的分析得出一般性結(jié)論的思維方式。歸納分為不完全歸納和完全歸納兩種類型。演繹是由一般性前提推出特殊性結(jié)論的思維方法。通常，在依據(jù)已知的事實或真命題去進行推理的方式都是演繹推理。演繹推理是數(shù)學證明中最常用的嚴格推理形式，它對于訓練學生的技能技巧，發(fā)展學生的邏輯思維能力均有重要的作用。在解決數(shù)學問題時，歸納與演繹兩種思維方法往往交替出現(xiàn)，由歸納法去猜測問題的結(jié)論或猜測解決問題的方法，再用演繹去完成嚴格的推理證明。四、分析與綜合分析法是指要證明一個命題是正確的，思考問題時可以由結(jié)論向已知條件逐步追溯。即先假設命題的結(jié)論成立，推出它成立的原因，再把這些原因看出新的結(jié)論，再推求使它們成立的原因，如此逐步往上追溯，直到推出已知條件或已知的事實為止。簡述之，就是執(zhí)果索因。像這樣的思維方法叫做“分析法”。如果在追溯過程中，每一步都是可逆的，那么這樣的分析法我們稱之為“逆證法”。分析法的思考順序與綜合法相反，分析法語綜合法比較，其優(yōu)點是執(zhí)果索因，思維目標較為清晰，思路也較為集中，易有成效，比較容易找到解決問題的途徑；缺點是，分析者知道怎么回事情，但很難完整表述出來。在證題時，從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列已確定的命題逐步推理，結(jié)果或是導出前所未知的命題，或是解決了當前的問題，像這樣的思維方法就叫做綜合法。綜合法的要點就是由已知條件推導出所要證明的結(jié)論。綜合法與分析法的關系極為密切，可以說分析法是綜合法的前提。一般我們在分析題目時用的是分析法，分析法在書寫格式方面不夠清晰，那么在書寫過程中就采用綜合法的模式更符號我們的思維習慣。分析是在認識上把事物的整體分解成各個部分、個別特性或個別方面。綜合是在認識上把事物的各個部分或不同特性、不同方面結(jié)合起來。思維過程是從對問題的分析開始的。思維的分析可以有過濾式的分析和綜合的有方向的分析兩種形式。前者通過嘗試對問題情境作初步的分析，能淘汰那么無效的嘗試。后者是通過把問題的條件和要求綜合起來而實現(xiàn)的分析，這種分析帶有指向性，是思維分析的主要形式，是思維活動的主要環(huán)節(jié)。分析和綜合是方向相反而又緊密聯(lián)系的兩個過程，是同一思維過程中不可分割的兩個方面。分析總是把部分從整體中分出來，從它們的相互聯(lián)系上來考察，而綜合則是對分析出的各個部分、各個特性進行整體考察，是通過對各部分、各特性的分析而實現(xiàn)的。分析為了綜合，分析才有意義。綜合中有分析，綜合才更完備。任何一個比較復雜的思維過程，既需要分析，也需要綜合。五、特殊化和一般化特殊問題的解決是比較容易和簡單的。特殊化就是把數(shù)學問題中包含的數(shù)量、形狀、位置關系等加以簡單化、具體化、單一化、邊緣化，也就是說，當數(shù)學問題的一般性不十分明顯時，我們從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關系和位置關系入手，由特殊性質(zhì)推出一般性質(zhì)，從中找到解題方法或構(gòu)成解題起點。在解題過程中，對于一時難以入手的一般問題，使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，就是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化，這就是特殊化法。由于特殊的事物與簡單的事物有著自然的聯(lián)系，所以這種方法有兩種類型：一是從簡單情形入手，作為解決一般問題的突破口；二是從特殊對象考察，為求解一般問題奠定基礎。特殊化是把所研究的數(shù)學問題從原來的范圍縮小到一個較小范圍或個別情形進行考察研究的思維方法。一般化則是與特殊化相反的思維方法，即將研究對象從原來范圍擴展到更大范圍進行考察和研究。特殊化思想的作用表現(xiàn)為兩個方面。首先，將一個數(shù)學問題特殊化，從而得到一個新的數(shù)學問題。通?？蓪⑺芯康膯栴}視為一般性問題，按照增加約束條件，取其局部或個別情形得到特殊性的問題。特殊化不僅具有演繹推理的功能，而且是發(fā)現(xiàn)問題，進行數(shù)學研究的方法之一。其次，特殊化通過分析特殊和個別的對象去尋求一般事物的屬性，以獲得關于所研究對象的性質(zhì)或關系的認識，找到解決問題的方向、途徑或方法。通常我們所說的特例、反例分析法等，都屬于這種情形。與特殊化途徑相反，在對一般形式問題比較熟悉的情況下，將特殊形式的問題轉(zhuǎn)化為一般形式的問題，這就是一般化法。這種方法是通過找出特殊問題的一般原理，把特殊問題從原有范圍擴展到包含該問題的更大范圍來進行考察，從而使我們能夠在更一般、更廣闊的領域中使用靈活的方法去尋求化歸的途徑。一般化的思維作用也表現(xiàn)在兩個方面，其一是對數(shù)學問題或研究對象的一般化，以求得更具一般性的結(jié)論；其二是數(shù)學方法的一般化，尋求解決一類問題的普遍方法。特殊化合一般化是兩種相輔相成的思維方法。解題中使用特殊化是為了探求一般性結(jié)論，使用一般化是為了通過一般性結(jié)論的成立說明其特殊情形成立或推廣命題。因此，當一般性問題很難立刻找到解題方法時，不妨將其向特殊方向轉(zhuǎn)化，而當有些特殊問題涉及到過多無關宗旨的細節(jié)，掩蓋著問題的本質(zhì)時，往往轉(zhuǎn)化為一般的情形更容易解決。特殊化和一般化反映了人類的兩種認識過程，即由特殊到一般和由一般到特殊。這兩種過程循環(huán)往復，每一次循環(huán)都可使人類的認識提高一步。數(shù)學正是在這一循環(huán)往復中發(fā)展并豐富其內(nèi)容的。六、抽象與概括抽象和概括都是一種思維過程。抽象是指將一類對象的某一共同特性與其他特性加以分離。數(shù)學中的抽象更多地是科學抽象，即從空間形式和數(shù)量關系的角度，去區(qū)別對象的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征，并舍棄非本質(zhì)特征，把握其本質(zhì)特征的思維過程。例如，由數(shù)字到文字的抽象，由常量到變量的抽象，由有限到無限的抽象，這是中學代數(shù)的三次大的飛躍。概括是指把從部分抽象出來的某一屬性推廣到同類對象中去，從而形成關于該類對象的一般性的、普遍性的認識。所以概括的過程，也是思維由個別到一般的過程，是個別和一般相結(jié)合的過程。在實際的思維過程中，抽象和概括常常是緊密聯(lián)系的。抽象是概括的基礎，沒有抽象，就無從談及概括；而概括又是抽象的目的，沒有概括，就不能把握某類事物的共同本質(zhì)，認識也就不能上升為普遍性、規(guī)律性的認識，抽象也就失去了意義。因此，它們是相互依存，不可分離的。七、比較與分類比較是在認識上把對象和現(xiàn)象的個別部分、個別方面或個別特征加以對比，確定被比較對象的共同點、區(qū)別及其關系。比較往往是針對某一事物的某一方面進行的。比較離不開分析和綜合，分析和綜合是比較的基本過程和組成部分。有比較才有鑒別。人類認識一切客觀事物，都是通過比較來實現(xiàn)的，沒有比較就不能認識事物。通過事物之間的比較，學生便于明確事物的本質(zhì)特征。教學中經(jīng)常使用的比較形式有兩種：同類事物的比較和不同類別卻相似、相近或相關的事物間的比較。分類是通過比較，按照事物間的差異程度，對事物加以分門別類的思維方法。分類是建立在比較基礎上的思維方式。數(shù)學中的分類包括概念的劃分、性質(zhì)的歸類、方法的整理以及解題中的分類討論法等。八、具體化思維過程的最后一步往往是具體化。具體化有兩種形式：一是從一般過渡到特殊，如從一般三角形的面積公式過渡到直角三角形的面積公式；另一種是通過揭示一般的各種不同特征和性質(zhì)，然后以具體的內(nèi)容加以充實、豐富。第三節(jié)數(shù)學思維的品質(zhì)及其培養(yǎng)一、數(shù)學思維的品質(zhì)思維品質(zhì)是評價和衡量學生思維優(yōu)劣的重要標志。思維的發(fā)生和發(fā)展，即服從于一般的、普遍的規(guī)律，又表現(xiàn)出個性差異；對于不同的個體，具有不同的思維特點。思維品質(zhì)差異實質(zhì)上表現(xiàn)為人的能力的差異。數(shù)學思維品質(zhì)主要由以下幾個方面組成：1.數(shù)學思維的深刻性思維的深刻性常被稱為分清實質(zhì)的能力。這種能力表現(xiàn)為：能洞察所研究的每一個事實的實質(zhì)及相互關系；能從所研究的材料中揭示被掩蓋著的某些個別特殊情況；能組合各種具體模式。一般來說，中學生數(shù)學思維的深刻性在以下幾方面存在差異：形成概念、構(gòu)成判斷、進行推理論證的深度。2.數(shù)學思維的廣闊性思維的廣闊性是指思路寬廣，善于多角度、多層次地進行探究。在數(shù)學學習中，思維的廣闊性表現(xiàn)為既能把握數(shù)學問題的整體，抓住它的基本特征，又能抓住重要的細節(jié)和特殊因素，放開思路進行思考，善于發(fā)現(xiàn)事物間多方面的聯(lián)系，找出多種解決問題的方法，并能將它推廣到類似的問題中去，從而形成一些普遍意義的方法，或擴大解題中得到的結(jié)果的使用范圍，或?qū)⑵渫茝V到類似的問題中去。3.數(shù)學思維的靈活性思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，主要表現(xiàn)為具有超脫習慣處理方法界限的能力，即一旦所給條件發(fā)生變化，便能改變先前的思維途徑，找到新的解決問題的方法。學生思維的靈活性主要表現(xiàn)為隨新的條件而迅速確定解題方向；表現(xiàn)為從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑的靈巧性；也表現(xiàn)為從已知數(shù)學關系中看出新的數(shù)學關系，從隱蔽的形式中分清實質(zhì)的能力。4.數(shù)學思維的敏捷性思維的敏捷性是指思維過程中的簡縮性和快速性。具有這一品質(zhì)的學生能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程，“直接”得出結(jié)果。5.數(shù)學思維的評判性思維的評判性就是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的智力品質(zhì)，它是思維過程中自我意識作用的結(jié)果。思維的批判性表現(xiàn)在有主見地評價事物，能嚴格地評判自己提出的假設或解題方法的正確或優(yōu)劣與否；喜歡獨立思考，善于提出問題和發(fā)表不同的看法，既不人云亦云，也吧自以為是。6.思維的獨創(chuàng)性思維的獨創(chuàng)性是指思維活動的創(chuàng)造性精神，是在新穎地解決問題中表現(xiàn)出來的智力品質(zhì)?！蔼殑?chuàng)”主要指思維活動應具有創(chuàng)造性態(tài)度。學生能獨立地、自覺地掌握數(shù)學概念，發(fā)現(xiàn)定理的證明，發(fā)現(xiàn)老師課堂上講過的例題的新穎解法等，這些都是思維獨創(chuàng)性的具體表現(xiàn)。二、數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)1.培養(yǎng)數(shù)學思維的深刻性培養(yǎng)數(shù)學思維的深刻性就是培養(yǎng)學生分清事物實質(zhì)的能力，使學生能夠透過復雜的現(xiàn)象洞察所研究事物的本質(zhì)及其相互聯(lián)系，能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況，能組合各種具體模式等。2.培養(yǎng)數(shù)學思維的廣闊性與靈活性培養(yǎng)數(shù)學思維的廣闊性與靈活性的核心就是培養(yǎng)學生的分散思維。教師要注意在基礎知識、基本技能、基本思想方法的教學中，從不同層次、形態(tài)結(jié)合數(shù)學知識間的聯(lián)系，把知識系統(tǒng)化；在解題教學中，培養(yǎng)學生根據(jù)條件的變化，從不同角度觀察、分析問題，避免局限學生的思維，引導學生進行類比、對比聯(lián)想。3.培養(yǎng)數(shù)學思維的敏捷性培養(yǎng)數(shù)學思維的敏捷性應重視數(shù)學概括能力的培養(yǎng)，為此要做到以下幾點：（1）注意學生對數(shù)學基礎知識的理解與把握，以便學生在解決問題的過程中，正確、迅速地利用相關的數(shù)學概念、公式和法則。（2）在數(shù)學教學中要考慮關于解題速度的訓練問題。優(yōu)秀學生在進行數(shù)學思維時，往往反應速度快，思維敏捷。（3）不要忽視思維的敏捷性與記憶的密切關系。4.培養(yǎng)數(shù)學思維的評判性數(shù)學思維的批判性品質(zhì)的培養(yǎng)與培養(yǎng)學生的自我監(jiān)控能力有密切關系。自我監(jiān)控能力就是學生為了達到預定的目標，將自身正在進行的實踐活動過程作為對象，不斷地對其進行積極的、自覺的計劃、監(jiān)督、檢查、評價、反饋和調(diào)節(jié)的能力。教師可以從培養(yǎng)學生的檢查意識和技能入手，來提高學生對數(shù)學學習的自我監(jiān)控能力。5.培養(yǎng)學生數(shù)學思維的獨創(chuàng)性數(shù)學教學中培養(yǎng)學生數(shù)學思維的獨創(chuàng)性應注意以下幾點：（1）激發(fā)學生的求知欲和好奇心。（2）重視培養(yǎng)學生思維的流暢性、變通性和獨特性。（3）增強有意注意，捕捉靈感。（4）既培養(yǎng)邏輯思維，也培養(yǎng)直覺思維。（5）培養(yǎng)學生的想象力。想象力的培養(yǎng)需要培養(yǎng)學生具有廣泛的興趣，淵博的知識和經(jīng)驗。第四節(jié)數(shù)學創(chuàng)造性思維及其培養(yǎng)一、數(shù)學創(chuàng)造性思維創(chuàng)造性思維是指有創(chuàng)見的思維，即在強烈的創(chuàng)新意識下，改組已有的知識經(jīng)驗，產(chǎn)生出新穎的、具有社會價值的思維成果。創(chuàng)新思維是整個創(chuàng)新活動智力結(jié)構(gòu)的關鍵，是創(chuàng)新的核心。創(chuàng)新思維是由直覺思維、集中思維、分散思維和靈感思維結(jié)合后組成的高級思維。創(chuàng)新思維的本質(zhì)特征是新穎性，它不同于一般思維活動，就在于要打破常規(guī)的解決問題的方法，將已經(jīng)有的知識或經(jīng)驗進行改組或重建，創(chuàng)造出個體所未知或社會前所未有的思維成果。創(chuàng)新思維是創(chuàng)造性想象積極參與的結(jié)果，其靈感狀態(tài)是創(chuàng)造思維的一種典型特征。創(chuàng)造性思維有高低兩種不同水平。高水平的創(chuàng)造性思維是指這種思維發(fā)現(xiàn)了前人未曾發(fā)現(xiàn)的新事物，解決了前人未曾解決的問題。一般高水平的創(chuàng)造性思維是指數(shù)學家、杰出的數(shù)學人才在數(shù)學創(chuàng)造性活動中所進行的思維活動。低水平的創(chuàng)造性思維是指這種思維的結(jié)果已為別人所完成，只是相對于思維者本人來說算是發(fā)現(xiàn)了新事物，解決了新問題。一般低水平的創(chuàng)造性思維是指學生在數(shù)學學習活動中所進行的創(chuàng)造性思維活動。盡管學生的創(chuàng)造性思維水平較低，但它卻是造就高水平創(chuàng)造性思維人物的前提和基礎。二、數(shù)學創(chuàng)造性思維的階段1.選擇與準備階段選擇與準備階段是從強烈的創(chuàng)造愿望出發(fā)，選擇課題并進行有關資料準備的階段。準備工作做得越充分，越有利于開闊思路，有利于發(fā)現(xiàn)和推測問題的成因，從而易于獲得成果。2.醞釀于構(gòu)思階段醞釀于構(gòu)思階段是自覺努力的時期，一般要運用發(fā)散思維多方面、多角度、多層次地進行思考。在這一階段，不僅要運用分析、綜合、比較、歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，而且要借助于想象，特別是以創(chuàng)造性想象進行構(gòu)思。3.領悟與突破階段領悟與突破階段是創(chuàng)造性活動的關鍵階段，是前兩個階段的升華。經(jīng)過充分醞釀之后，在頭腦中突然躍出新的構(gòu)想，使問題有可能得到解決。在這個階段，形象思維、直覺思維以及數(shù)學美感起著重要的作用。4.檢驗與完善階段檢驗與完善階段是對獲得的構(gòu)思和猜想進行檢驗、論證和修正完善的階段。在這一階段，主要運用集中思維和邏輯思維方法做出進一步的研究。任何創(chuàng)造性活動的成功都有可能是在多次失敗中孕育出來的，大量的數(shù)學史料表明，有些數(shù)學猜想要經(jīng)過數(shù)月、數(shù)年甚至數(shù)十年、數(shù)百年的進一步研究才能上升為真理。上述數(shù)學創(chuàng)造性思維活動的四個階段是互相聯(lián)系、不可截然分開的，各個階段之間并沒有嚴格的界限，其中關鍵階段是醞釀于構(gòu)思、領悟與突破這兩個階段，此階段中起主要作用的是形象思維、直覺思維、審美思維等非邏輯思維。三、數(shù)學創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)1.數(shù)學教學要充分揭示數(shù)學思維過程數(shù)學創(chuàng)造性思維不僅存在于數(shù)學家的創(chuàng)造性活動中，也存在于學生的學習活動中。學生學習的數(shù)學知識雖然是前人創(chuàng)造性思維的結(jié)果，但學生作為學習的主體處于再發(fā)現(xiàn)的地位，學習活動實質(zhì)上仍然具有數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的性質(zhì)。因此，采用開放式教學方法，在教學中充分揭示思維過程是培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)造性思維的重要途徑。（1）重視教學思維活動中的認識發(fā)生階段。從教學的階段性觀點來看，數(shù)學教學中數(shù)學思維的活動過程，大致可以分為認識的發(fā)生階段和知識的整理階段。前者是指概念如何形成、結(jié)論如何被發(fā)現(xiàn)的過程；后者是指用演繹法進一步理解知識、開拓知識的過程。由于前一階段是引導學生探索知識的過程，它閃耀著創(chuàng)造的火花，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的有效途徑。因此，前一階段比后一階段更為重要。在展現(xiàn)數(shù)學思維活動的全過程時，應著重前一階段，使學習與發(fā)現(xiàn)同步。然而，在數(shù)學教學中，只重結(jié)論，不重過程，用結(jié)論去替代過