利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題-2024年新高考數(shù)學(xué)（解析版）

利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題--2024年新高

考數(shù)學(xué)(解析閥?

利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/Q)=(a—a2)x+Inrr——(a€R).

(1)討論函數(shù)/3)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，記gQ)=幻'Q)+x2+l,是否存在整數(shù)t,使得關(guān)于x的不等式t>gQ)有解？若存在，請(qǐng)求出t的最

小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(c)=ex+(l—a)x—Ina?lnrc(a>0).

(1)若&=6,求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(c)VI在區(qū)間(1,+00)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

a

(2023?河南?校展考模擬覆測(cè))已知函數(shù)/Q)=+21nx(a>()),g(;r)=xi—xi.

⑴當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)八為的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)于任意的刈C(0,2],都存在X2e[1,2],使得電/(刈)>g(g)成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2023?全國(guó)?模擬fi(測(cè))已知函數(shù)/?=aln；r+2c2—2(aCR).

(i)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/⑺在c=1處的切線方程為y=8x-8，且當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)4G[-1,2]時(shí)，存在正實(shí)數(shù)%"使得

A(XI+X-2)=/(XI)+/(亞)，求為+g的最小正整數(shù)值.

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(0=csinc+cosc,xE[—兀，兀].

(1)求/Q)的單調(diào)區(qū)間與最值；

(2)若存在gG[0,兀]，使得不等式/(g)＞磯鬲+1)成立,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

&(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(4)=ax^-b^-Qx—1在①=—1處取得極值4.

⑴求Q,b的值；

(2)若存在必e[2,4],使3/1-才成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

7.(2023春?廣東陽(yáng)江?高二校考?階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=41nz—加+烏土-a>0).

X

(1)當(dāng)a=:，求/Q)的極值.

⑵當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)g?=2ex-4x+2a,若存在附聯(lián)仁,2〕，/(g)>g(g)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e為自然對(duì)數(shù)

的底數(shù)，e=2.71828…)

8.(2023?四川成都,成考二模)已知函數(shù)g(c)=ax—a—lnx,f(x)=叱(6),且9(。)>0.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明:存在g,/(g)=0且0VgV1,0V/V1時(shí),f(x)</(x0).

9.(2023?河南?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(2)=coss-/,其中&￡凡/

(1)當(dāng)a=—￡時(shí),求函數(shù)/(為的值域；

⑵若函數(shù)/Q)在［一半引上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)為，g,求a的取值范圍；并判斷是否存在實(shí)數(shù)a,使得/3-d)

=1+/(g—%>成立？若存在，求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/⑵=-2alnx——,g(x)=ax—(2a+l)lna:-2,其中aCR.

XX

(1)若W=2是函數(shù)/3)的駐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

⑵當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)gQ)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若存在疝［^相［(e為自然對(duì)數(shù)的底)，使得不等式/(c)￡g(⑼成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

11.(2023春?天津和平?高*才期中)已知函數(shù)/Q)=①一alnc,g⑺=一上旭(&>0).

X

(1)若a=1,求函數(shù)/(多)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)五(函=/Q)一9(c),求函數(shù)九Q)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在例6[1,e],使得/(傷)<g(x())成立，求a的取值范圍.

12.(2023?上船企山?上海學(xué)校才模擬覆測(cè))已知曲線夕=lnQ+m)與立軸交于點(diǎn)P,曲線在點(diǎn)P處的切線方

程為V=/Q),且/(I)=2.

(1)求夕=/(c)的解析式；

(2)求函數(shù)gQ)=與的極值；

e①

1-12

⑶設(shè)無(wú)(n)=卜,+(1—a)ln*+1,若存在實(shí)數(shù)/住口⑹，[e,l]2h(xl)<x^nX9-i(a—1)力21n%+g成

x

立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

13.(2023?重慶?直慶南開中學(xué)?？寄ｉ备矞y(cè))對(duì)于定義在。上的函數(shù)尸(c),若存在的6。，使得F(g)=g,則稱g為

F(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù)J'Q)=Q—l)e"—aln/+c,已知x0{x0^1)為函數(shù)/(￡)的不動(dòng)點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若k€Z,且kx0<a對(duì)任意滿足條件的比成立,求整數(shù)k的最大值.

21

(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.693,ln3?l.l,e3?1.95,e2?7.39,e%4.48)

14.(2023?全臥南三專題練習(xí))已知函數(shù)/(⑼=x2+a(x—Inc)—螞(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),a,bER.

X

(1)當(dāng)6=0時(shí)，討論/(c)在(0,+8)上的單調(diào)性；

⑵當(dāng)b=1時(shí),若存在xG[l,e],使/(2)>0,求a的取值范圍.

15.(2023春?遼寧氣冷?高二曷園縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(⑼=aQ+l)ln；r—(a+l)(c—1).

(1)若a=1,討論/(⑼的單調(diào)性；

(2)若:rC(0,1),〃c)V(),求a的取值范圍.

16.(2023?天津?天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考模擬演測(cè))已知函數(shù)/㈤=Inx+-^―(m>0),g(c)=與-,

mxx

(i)求函數(shù)/3)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若V0,mX2e(0,3),使/(電)>9”成立，求小的取值范圍.

e

⑶當(dāng)?71=2時(shí)，若關(guān)于力的方程/(①)="有兩個(gè)實(shí)數(shù)根％1，62,且41〈62,求實(shí)數(shù)0的取值范圍，并且證明：力1+62>

1.

17.(2023B川宜賓?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知/Q)=(2—a—De-^a/+rAc—1(aGR)

(1)討論/(，)的單調(diào)性；

⑵若a=-1,且存在sG(0,+co)，使得/⑺<Inrr+#+(b+l)rr,求b的取值范圍.

18.(2023春?福建漳州?高二漳州三中?？计谥?已知函數(shù)/(⑼=yx2-(a+2)x+2alnx(aGR).

(1)若a>2,討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(z)=—(Q+2)如若至少存在一個(gè)gC[e,4],使得/(g)>g(g)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(2023?人大附中校考三模)設(shè)函數(shù)/(⑼=網(wǎng)—旦—21n2,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

X

(1)當(dāng)P=字時(shí),求函數(shù)/(①)的極值.

(2)若/Q)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

(3)設(shè)gQ)=①，若在［l,e］上至少存在一點(diǎn)我,使得/(g)>g(g)成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

X

20.(2023春?湖北?商二鄭用中學(xué)校聯(lián)考階盤練習(xí))設(shè)定義在R上的函數(shù)/Q)=ex-ax(aeR).

(1)若存在x0E［1,+8),使得/(如)<e—a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵定義:如果實(shí)數(shù)s,t,r滿足|s-r|《修一r|,那么稱s比t更接近r.對(duì)于⑴中的a及/>1,問(wèn)：義和e1+a哪

X

個(gè)更接近Inz?并說(shuō)明理由.

利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/Q)=(a—a2)x+Inx——(aGR).

x

(i)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，記gQ)=幻'3)+x2+l,是否存在整數(shù)t,使得關(guān)于s的不等式t>gQ)有解？若存在，請(qǐng)求出t的最

小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)答案見解析

(2)存在，t的最小值為0

【分析】⑴求導(dǎo)13)=(3+1)9+1］，根據(jù)一元二次不等式的解法，再分avo,0<a<l,a>l討論

X

求解；

(2)由a=1,得到g(x)=xf(x)+x2+l=i+mn%,求導(dǎo)得到gQ)mi1產(chǎn)g(g)=—舄一%,確定其范圍，再由不等式力

>gQ)有解求解.

【詳解】(1)解：由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo),

1(a-cT^x^-\-x+1(^(ix+1)[(1—(i)x+1]

f(x)=Q-Q,H---+

xx2X2X2

①當(dāng)aV0時(shí)，cW(0,一、)時(shí)JQ)>0JQ)在(0,一:)單調(diào)遞增,

xG(―^-,+8)時(shí)，/'(力)VOJQ)在(---,+oo)單調(diào)遞減；

CLCL

②當(dāng)O&a&l時(shí)，/O)>0恒成立，/⑸在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a>l時(shí)，G€(O，WY)時(shí)，〃工)>0,/3)在(0,工、)單調(diào)遞增,

xG(公7,+°0)時(shí),/3)<0,/3)在(dp+8)單調(diào)遞減;

綜上，當(dāng)aVO時(shí)，/⑺在(0,—5)單調(diào)遞增，在(一5,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)OWa&l時(shí)，r(c)>0恒成立，/3)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>1時(shí)，/(2)在(。，白^)單調(diào)遞增，在(Wp+8)單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a=1時(shí)，g(￡)=xf(x)+x2+l=x2+x\nx,

g'(c)=2x+Inc+1,g'(0)單調(diào)遞增，

又g'4)=2-ln2>0,g，(4)=J-ln6VO,

所以存在唯一的to?什當(dāng))，使得g'(±o)=2g+hi2o+l=0,

且當(dāng)a?C(O.JEo)時(shí)，g'3)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)立€(%,+8)時(shí)，g'Q)>O,g(c)單調(diào)遞增；

所以g(x)min=g(的)=xo+a=olnx0=局+&(-2。0—1)=-xl~x0,

設(shè)。(%)=-XQ-X0,gC('4),則0(3)在U)上單調(diào)遞減,

所以少(白)v9(&)V3(！)，即+<g⑶)<一￡，

/04OU

若關(guān)于2的不等式t>g(c)有解，則心號(hào)，又t為整數(shù)，所以t>0,

所以存在整數(shù)1滿足題意，且1的最小值為0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若不等式t>9㈤有解，則￡>卜(。)Um；若不等式t*g(z)恒成立,則t>[9(x)]max.

2.(2023?全國(guó)?南三專題練習(xí))已知函數(shù)/(2)=ex+(l—a)x—Ina-lnx(a>0).

(1)若&=6,求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(c)<1在區(qū)間(1,+8)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)/3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

(2)(e,+oo)

【分析】(1)當(dāng)a=e時(shí)，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)/(4)的增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)分0Va&e、a>e兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/Q)在(1,+8)上的單調(diào)性，驗(yàn)證f(c)V1在(l,+oo)上

能否成立，綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】(1)解：當(dāng)a=eB寸，/(7)=e"+(l—e)x—Inrc,

/(x)=e%(l-e)--=(e-e)+,

CDX

當(dāng)支>1時(shí)，e*-e>0,叁二1>0,所以/Q)>0,即/Q)在(L+oo)上單調(diào)遞增，

X

當(dāng)0<立<1時(shí)，e—e<0,—L<0,所以fQ)V0,即/(⑼在(0,1)上單調(diào)遞減，

X

則/(力)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)解：因?yàn)?(x)=e”+(1—a)x—Ina?\nx(a>0),

則/Q)=e'+(l—a)—叵=(e'-a)+x~lna(x>0),

xx

①當(dāng)InaV1時(shí)，即0Va&e時(shí)，因?yàn)閍;>1,ex>e>a,x>l>lna,

所以fQ)>0,因此函數(shù)/(/)在區(qū)間(l.+oo)上單調(diào)遞增，

所以/(工)>/(1)=e+l—a>e+l—e=l,不等式/(土)V1在區(qū)間(1,+co)上無(wú)解；

②當(dāng)Ina>1時(shí)，即a>e時(shí)，當(dāng)iVtVlna時(shí)，ex<elna=a,x<lna,

因此/(x)V(),所以函數(shù)/Q)在區(qū)間(1,Ina)上單調(diào)遞減，

f(x)<y(l)=e+l—a<e+l—e=l,不等式/(a?)V1在區(qū)間(1,+co)上有解.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,+oo).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟：

(1)求函數(shù)/Q)的定義域：

(2)求導(dǎo)數(shù)fQ);

(3)解不等式f(c)>o,并與定義域取交集得到的區(qū)間為函數(shù)/(為的單調(diào)增區(qū)間；解不等式f3)<o,并與定義域

取交集得到的區(qū)間為函數(shù)/(立)的單調(diào)減區(qū)間.

3.(2023?河南?校聯(lián)考?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Q)=3+21n；r(a>0),g3)=x3-x2.

X

(1)當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)_fQ)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)于任意的為W(0,2]，都存在x2e[1,2],使得為/(3)>g(g)成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

⑵已,+8)

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)/3),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出g(x\x€[1,2]的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再用分離參數(shù)法分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

的最大值.

【詳解】(1)由題可知函數(shù)/(4)的定義域?yàn)?0,+8).

因?yàn)?(s)=3+21na;,則/(?)=一空+—=2a：2~2a.

山1葉2(/2—1)2(x+l)(x-l)

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=--------=--------J------?

X'X'

所以當(dāng)0V⑦V1時(shí)，/⑺V0,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%>1時(shí)，f(①)>0,函數(shù)/(2)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以/O)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),/(4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)因?yàn)間(c)=所以/(%)=3X2—2X=x(3x—2),

又iE[1,2],所以或立)>0,故函數(shù)g(c)在[1,2]上單調(diào)遞增，

所以gQ)min=g(l)=。.

所以對(duì)任意的xe(0,2],4(。)>0恒成立，即B+2xinx>0恒成立.

所以a^—2x2\nx恒成立.

令h(x)=-2aP\nxtx6(0,2],則〃(力)=-2x—^x\nx=-2x(1+21nx),ar6(0,2].

i

令"㈤=0,則1+21n6=0,解得c=屋2.

當(dāng)力6(03一3時(shí)，〃(力)>0,所以函數(shù)人(力)在(0,e‘)上單調(diào)遞增；

當(dāng)/6(e亍,21時(shí)，h!(①)V0,所以函數(shù)九(c)在(e上單調(diào)遞減.

所以八Q)max=h(e2)=工.所以

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[(,+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、確定不等式恒成立問(wèn)題.在含有全稱量詞與存在量詞的命

題中注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：

(1)對(duì)于任意的x{E4,任意的X2E》g(g)恒成立

(2)對(duì)于任意的:EKA,存在gCB,使得/Qi)'。(g)成立=/(：r)min>g(2)min,

(3)存在gC4,使得對(duì)任意的72cB,都有/31)>g(g)成立=/3)max>g3)max,

(4)存在力￡4,存在X2eB,使得/(為))g(g)成立<=>/(x)niax>9(x)mill.

4.(2023?全國(guó)?模擬fl測(cè))已知函數(shù)f(c)=alnx+2x2—2(aGH).

(1)討論函數(shù)/(乃的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/⑸在t=1處的切線方程為y=8z—8,且當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)在[-1,2]時(shí),存在正實(shí)數(shù)孫也使得

2(宓1+電)=/(?1)+/(22)，求①1+±2的最小正整數(shù)值.

【答案】（1）答案見解析

⑵3

【分析】（1）求導(dǎo)后，分a>0和aV0兩種情況討論，但需注意定義域；

⑵先根據(jù)題意，求出實(shí)數(shù)a=4,再由A（X1+X2'）=/（%）+y（a：2），得到ZQi+M?—義⑶+電）-4=4斷電一組武力郎），

構(gòu)造新函數(shù)后，得2（a；i+g）2—4（j：i+g）>8,結(jié)合4G[—1,2],得到g+g的取值范圍即可.

【詳解】⑴解：函數(shù)/Q）的定義域?yàn)椋?,+8）,且f（工）=0+4a;=4^+a.

XX

當(dāng)a>0時(shí)，/O）>0,則函數(shù)/（⑼在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令/（C）=0,解得丁=,

所以，當(dāng)Ce（0,專1）時(shí),/3）<o,xe（乂/,+8）時(shí),fQ）>o.

則函數(shù)/（c）在（0,專五）上單調(diào)遞減，在（專工+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/（c）在（0,+OO）上單調(diào)遞增；

當(dāng)aV0時(shí)，函數(shù)/（乃在（0，專區(qū)）上單調(diào)遞減，在（△鏟,+8）上單調(diào)遞增.

⑵解：由⑴知/（2）=且+42=延也，

XX

因?yàn)楹瘮?shù)/（4）在力=1處的切線方程為0=8/—8,

所以『（1）=Q+4=8,解得a=4.

所以,/（%）=41nt+2①,―2

因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)4G[—1,2]時(shí)，存在正實(shí)數(shù)g,g,使得4（Ni+g）=/（g）+f（rc2）,

所以，/1（6i+g）=/（力1）+/3），可得41n（4他2）+2（丁+諼）—4=4（①1+啰2）

即2（力1+力2）2—“力1+22）—4=4劣的—41nQ@2）,

設(shè)為⑦2=t>0,令函數(shù)無(wú)（力）=4右-4111方，則ti[t）=4--=.；1）,

當(dāng)te（0,1）時(shí),磯。V0,九⑴單調(diào)遞減;

當(dāng)￡6（1,+8）時(shí)，〃（￡）>0,九仕）單調(diào)遞增，故八⑴*無(wú)⑴=4,

則2（6i+g）2—/iQi+g）—4>/l（1）min=4,故2（21+#2）2—；1（%1+力2）>8.

設(shè)函數(shù)g（/l）=-4（為+立2）—8+2（電+/2）2>0,

因?yàn)間+g>0,可知函數(shù)g（R在[-1,2]上單調(diào)遞減，

2

故g（/l）>g（2）=-2（xi+x2）—8+2（xi+x2）^0,

解得g+g>]或J二（舍去）,

故Xi+x2的最小正整數(shù)值為3.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的

考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（0=csinc+cosc,xE[―兀,兀].

（1）求/Q）的單調(diào)區(qū)間與最值；

（2）若存在[0,兀]，使得不等式/（g）>磯鬲+1）成立,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為（一兀,一號(hào)），（o押），單調(diào)遞減區(qū)間為（一泉o）,（冬兀）,/3）皿=冬/（嘰產(chǎn)一1

（2）（-oo,l]

【分析】（1）對(duì)/（乃求導(dǎo)后研究了'3）的正負(fù)，確定/Q）的單調(diào)性與最值；

⑵設(shè)F（x）—xsinx+cosx—a（x2+l）,xC[0,7r],由題意知F（x）>0有解，分類討論F（T）的單調(diào)性并求f（x）最大

值即可.

【詳解】（1）/'Q）=sinx+xcosx—sins=rrcosz,

所以在（一兀，一方）,（o,^-）上，/（⑼>o,/（X）單調(diào)遞增,

在,修，兀）上，[3）v0,13）單調(diào)遞減,

所以/3）單調(diào)遞增區(qū)間為（_兀,_￡）,（0號(hào)），單調(diào)遞減區(qū)間為（一寺0）,（等冗）.

/(f)=/(-f)=半/(-￡)=/(兀)=-1,/(0)=1,

"⑺max：

(2)設(shè)R(c)=/sine+cos①—。(力斗l),cG

F\x)—xcosx—2ax=x(cosx—2a),

當(dāng)2aW—1,即a時(shí)，尸'㈤>0,F(x)在［0,兀］上單調(diào)遞增，

Enax(力)=9(兀)=-1—Q(兀41)>0,QW---—，所以Q&-成立；

芳+12

當(dāng)2。>1,即。>~|~時(shí)，/3)&0,尸3)在［0,兀］上單調(diào)遞減，斤皿3)=?(0)=1—。>0,即。&1,所以5&。&

1；

當(dāng)一~時(shí)，3XGE(0,7U),cosrE0=2a,

當(dāng)￡e(0,No),cos6>2a,尸'(n)>0,F(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)/G(g,兀),coscV2Q,F'(C)<0,F(rr)單調(diào)遞減，

所以EnaxQ)=F(XQ)=力oSing+COS%?！猘(%(；+l)

=gsin/o+cosNo--^-cosg(式+1)

—?Il^0

=2oSinrro+3cos/—o—cosx0,

令(p{x)=xsinx+］cos］—^-cosx.x€(0,7r),

1T21

(p(x)=—sinx+—sinx>0,所以0(7)>。(0)=5，F(xiàn)(x0)>0成立.

綜上，a的取值范圍為（-oo,1].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)求導(dǎo)后的計(jì)算方向:

（1）求導(dǎo)后不要急于求r3）=0的根，因?yàn)橛袝r(shí)候會(huì)無(wú)根，無(wú)根的原因是r3）出現(xiàn)恒正或恒負(fù)，所以要先考慮r

（⑼會(huì)不會(huì)出現(xiàn)恒正或恒負(fù)的情況，這時(shí)候要看r3）的最大值小于等于零或最小值大于等于零.

（2）當(dāng)r（⑼有正有負(fù)時(shí)產(chǎn)（⑼=o才會(huì)有根可求，求根時(shí)可以直接解方程，或者猜根,或者使用零點(diǎn)存在定理證明

有根.

6.（2023?全國(guó)?商三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（乃=ax3-bx2-9x—1在4=—1處取得極值4.

⑴求a,b的值；

（2）若存在xe［2,4］，使次—才>/（為成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】（l）a=1,6=3

⑵［-4,7］

【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a,b的方程組，解之并進(jìn)行檢驗(yàn)后即可求得a,b的值：

（2）利用題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)4的不等式，解之即得實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】⑴/（/）=ax：i—bx2—9x-1,則/（4）=3ax2—2bx—9.

因?yàn)楹瘮?shù)f（rr）=ax3—bx2—9x—1在2=—1處取得極值4,

[a=1

所以3a+26—9=0,—a—b+9—1=4,解得

lb=3

此時(shí)f（x）=3X2—6X—9=3（/+l）（x—3）.

易知/（c）在（-00,-1）上單調(diào)遞增，在（-1,3）上單調(diào)遞減，在（3,+8）上單調(diào)遞增，

則x=-1是函數(shù)/（c）的極大值點(diǎn)，符合題意.故a=1,b=3.

2

⑵若存在a;e［2,4］,使次—矛》/（乃成立，則3A-A>［/（x）］min.

由（1）得，/（力）=X3-3X2—9X—1,

且/（乃在［2,3）上單調(diào)遞減，在（3,4］上單調(diào)遞增，

所以［/（切mm=A3）=27—27-27-1=-28,

所以3/1—下>一28,即下一3%-2840,解得一4W4W7,

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是［一4,7］.

7.（2023春?廣東相江.高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=41n：r—aw+烏土，a>0）.

X

（1）當(dāng)a=^■，求/（c）的極值.

（2）當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)g（⑼=2ex-4x+2a，若存在［y,2］,f（xj>g（g），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（e為自然對(duì)數(shù)

的底數(shù)，e=2.71828…）

【答案】（1）極小值為3;極大值為41n7—3

（2）［1,4）

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,求出極值即可；

⑵存在如分",2］,使/31）>9（g）,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間整2［上/3）max>gQ）min，即可求解.

【詳解】（D/Q）的定義域?yàn)椋?,+00）,

當(dāng)&=［時(shí),/3）=4111力一號(hào)+；^-,

22Zx

."(為一五一萬(wàn)一彳一西一，

令/(力)>0，可得1V/V7,令/'(力)<0,可得0V2VI或6>7,

???函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(7,+00),單調(diào)增區(qū)間為(1,7)

???n=1時(shí)，函數(shù)取得極小值為3;①=7時(shí)，函數(shù)確定極大值為41n7-3:

(2)/(x)=-°，+4*(Q+3)G>0),令九(⑼=—Q①2+4①—(a+3),

x

若a>1,則△=16—4a2—12a=—(a—l)(a+4)<0,

???/(4)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減，

???當(dāng)a>l時(shí)，/(/)在［￡,2］上單調(diào)遞減，

?"3)在2］上的最大值為/(］)=-41n2+~|~a+6,

g'(力)=2e*—4,令g'(力)=0,得力=1112,

當(dāng)②G［總'」n2)時(shí)，g{x)<0,^(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)％G(ln2,2］時(shí)，g(x)>0,Ag(x)單調(diào)遞增,

.?.g(c)在［。2］上的最小值為g(ln2)=4—41n2+2a,

由題意可知一41n2+/+6>4—41112+2%解得&<4,

又丁Q>1,

???實(shí)數(shù)a的取值范圍為口，4).

8.(2023?四川成都?成都二模)已知函數(shù)gQ)=ax—a—\nx,f(x)=空(化),且g(i)>0.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明：存在XQ,f(XQ)=0且0<xQ<1,0VuV1時(shí),/(a?)&/(3).

【答案】⑴1

(2)證明見解析

【分析】(1)要使gQ)>0,即g(o)min>。，對(duì)。(為求導(dǎo)，得到g(c)的單調(diào)性和最值,即可求出實(shí)數(shù)Q的值；

⑵對(duì)/(6)求導(dǎo)，則/(c)=2c—2—ln),設(shè)ZiQ)=22一2—In%,再對(duì)h(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出度=g是

f(x)在(0,1)的唯一極大值點(diǎn)，即可證明.

【詳解】(1)顯然g(c)的定義域?yàn)?0,+8),且g'(a)=a——,rr>0.

x

因?yàn)間［x}>0,且g(l)=0,故只需g(1)=0.

又g'(l)=a—1,則Q—1=0,JQ=1.

若a=1,則g(x)=1——顯然當(dāng)o〈力v1時(shí),g(x)V0,此時(shí)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

x

當(dāng)①>1,g(x)>0,此時(shí)g(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增.

所以c=1是g{x}的唯一極小值點(diǎn)，

故g(c)>g(l)=0.綜上，所求Q的值為1.

(2)由(1)知/(%)=x2—x—x\nx,f(x)=2x—2—Inx,

設(shè)拉（%）=2%—2—Ino,則h!（x）=2——

x

當(dāng)時(shí)，//Q）vo；

當(dāng)cG（1,+8）時(shí),7/Q）>0,

所以人（力）在（0,y）上單調(diào)遞減，

在（1,+8）上單調(diào)遞增.

又九■-2）>0,從<0,/1（1）=0,

所以拉⑺在（。，卷）有唯一零點(diǎn)①0,在［y,+oo）上有唯一零點(diǎn)1,

且當(dāng)cG（0,g）時(shí)，h（x）>0;當(dāng)/€（%1）時(shí)h（x）<0;

因?yàn)?（力）="（出），所以力=電）是/（x）的唯一極大值點(diǎn).

即化=方）是/3）在（0,1）的最大值點(diǎn)，所以f（c）</（g）成立.

9.（2023?河南?統(tǒng)考三模）己知函數(shù)/（力）=COS*—Q/,其中aeR,力￡［一,,5］.

（1）當(dāng)a=—］時(shí),求函數(shù)/Q）的值域；

⑵若函數(shù)/Q）在［—多和上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)g,g，求a的取值范圍;并判斷是否存在實(shí)數(shù)a,使得了⑸一必）

=1+d）2成立？若存在，求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

?J

【冬靈】（1）［1,春］;（2）（一■|■，—十）;存在；a——■

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

（2）判斷函數(shù)于（x）的奇偶性，根據(jù)二次求導(dǎo)法分類討論求出a的取值范圍，最后再根據(jù)的，g之間的關(guān)系進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：（1）當(dāng)a=一"時(shí)，/Q）=cosx+-ys2,H'Jf（x）=-sinx+x.

設(shè)。3）=/'（c）,則g'Q）=_cosa;+1,xE［―顯然g'（x）>0.

???gQ）在［一俳，3］上單調(diào)遞增.

又g（0）=o,.?.當(dāng)*e［一拳o）時(shí)JQ）V0；當(dāng)7e（0,并時(shí),/Q）>0.

.-./（X）在［一年，0）上單調(diào)遞減，在（0,母］上單調(diào)遞增.

?."（0）=1J傳）=/（弋）=5?.?函數(shù)/3）的值域?yàn)椋?吊］,

（2）v/（—a;）=cos（—x）—Q（一/）2=COST—ax2=f（x）,

.-./（X）是上的偶函數(shù).

“函數(shù)/⑺在［—多方］上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)”等價(jià)于“函數(shù)/（⑼在（0,y）上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)”.

因/(%)=—sine—2QC,設(shè)九(力)=/(乃，則八'(力)=—cose—2Q.

①當(dāng)a30時(shí)，”(c)&0,則h⑸在(0,上單調(diào)遞減./.h(x)<h(0)=0.

則/'(c)<0,此時(shí)/(c)在(0,5)上單調(diào)遞減，無(wú)極小值.

②當(dāng)a4一".時(shí)，h'(x')>(),則h(x')在(0號(hào))上單調(diào)遞增./.h(x)>九(0)=0.

則/(c)>0,此時(shí)/Q)在(0,1)上單調(diào)遞增,無(wú)極小值.

③當(dāng)一^-<a<0時(shí)，存在xnE(。號(hào))，使h'(x0)=-coss0_2a=0.

當(dāng)a;€(O,xo)時(shí)，"(z)<0;當(dāng)c€Hf,h'(x)>0.

.\h(x)在(0,x?)上單調(diào)遞減，在(g號(hào))上單調(diào)遞增.

,.,/i(0)=0,h(xo')<0.又=-1—an,

(i)當(dāng)-1-麗&0,即-」《(1<0時(shí)，14)&0.

7C\2，

."⑺&0,此時(shí)/⑸在(0,y)上單調(diào)遞減，無(wú)極小值.

(w)當(dāng)一1一(1兀>0,即-3<&<--!-時(shí)，”=)>0.

2兀\2/

則存在tC(g埠)，使得拉(t)=—sint-2at=0.....(*)

當(dāng)ce(o,t)時(shí),/Q)vo；當(dāng).當(dāng)卜母)時(shí),fQ)>o.

在(0,i)上單調(diào)遞減，在1號(hào))上單調(diào)遞增.

函數(shù)/(C)在(0,-y)上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)X-2—t.此時(shí)，2=0是函數(shù),(7)的極大值點(diǎn).

當(dāng)函數(shù)/Q)在［一爭(zhēng)方］上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為(一。一5)?

X1+X-2=09

若/(g—g)=1+.(g-珀則cos2g—4a冠=1+看冠

由(*)式，知sina：2=—2。力2./.1—8a之狀一4Q曷=1+/后.

整理得以3a+l)(6a+1)=0.

'/Xy^0,aG(-g,—--/.a=-

\2兀/6

?,?存在a=—1■，使得/⑶2f)=1+)2成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用二次求導(dǎo)法、分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(支)=—2alnx——,g{x)=ax—(2a+l)ln①—2,其中@eR.

xx

(1)若c=2是函數(shù)/Q)的駐點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值；

⑵當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)g(%)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若存在前［9，e,2］(e為自然對(duì)數(shù)的底)，使得不等式/(/)￡g(⑼成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴/

(2)答案見解析

(3)［-e,+oo)

【分析】(1)根據(jù)±=2是函數(shù)/(c)的駐點(diǎn)得到/(2)=0,然后列方程求a即可；

(2)求導(dǎo)，分a=］、a>^|■和0<a<］三種情況討論單調(diào)性即可；

(3)將存在a；e使得不等式/Q)&g(a;)成立轉(zhuǎn)化為a'/zQLm，然后利用單調(diào)性求最值即可?

【詳解】⑴若2=2是函數(shù)/(x)的觸點(diǎn)，則f(2)=0,可得—2ax《+2=0,即得a=4.

222

(2)函數(shù)gQ)的定義域?yàn)?0,+oo),

，/、2a+1,2a62—(2a+l)z+2(QN—1)Q—2)

9W=a----------+—=-------------3-----------=---------------------，

CXX

當(dāng)a>0時(shí)，令g'(rc)=0,可得劣=工>0或z=2,

a

①當(dāng)工=2,即Q=4■時(shí)，對(duì)任意的力>0,g'(c)>0,

a2

此時(shí)，函數(shù)gQ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+oo).

②當(dāng)0<工<2,即a>［時(shí)，

令/(力)>0,得OVnV：或力>2,

令g(x)V0,得上V/V2,

此時(shí)，函數(shù)gQ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,工)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(工,2).

Qd

③當(dāng)工>2,即OVaV/時(shí)，令g'(c)>0,得0V宓V2或方>l;令g'(c)V0,得2V①V

此時(shí)，函數(shù)g(+)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和(十,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,十).

(3)由/(x)&g(rr)，可得ar—In/>0,即a>旦絲，其中/￡,

令h{x}=曰。xe［看看］，若存在xe［?，司，使得不等式/(力)&g(c)成立,則0>九3焉"xe，h\x)

=1-，令九'(c)=0,得/=e,

x

當(dāng)(&rrVe時(shí)，九'(2)>0,當(dāng)eV/&e?時(shí)，無(wú)'(力)<0,

???函數(shù)依)在［5e］上嚴(yán)格遞增，在(e,e2］上嚴(yán)格遞減,

函數(shù)九(%)在端點(diǎn)±■■或/=1處取得最小值.

,**從看)=-e,h(e2)—HVh(e),

???h(%)min=hg)=一0,a)一e,

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[—e,+8)

【點(diǎn)睛】對(duì)于存在問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論:

(1)存在a>/(2)oa>/(o)min；

(2)存在a4/Q)<=>a>/(x)max.

11.(2023春?天注和千?高二?？计谥?已知函數(shù)/(①)=x—alnx,g(rr)+a(a>0).

*Zz

(1)若a=L求函數(shù)/Q)的極值;

(2)設(shè)函數(shù)九(,)=/(/)—g(a;),求函數(shù)以6)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在gC[1,e],使得/(m)Vg(g)成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)極小值為1,無(wú)極大值

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(1+a,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1+a).

⑶(雪，+動(dòng)

【分析】(1)研究/Q)=c—ln力的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出/(0的極值；(2)先求〃(乃，再解不等式//(力)>0與〃(乃

V0,求出單調(diào)區(qū)間，注意題干中的a>0的條件；(3)先把題干中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在/G[l,e]上有以rr)minV0,再結(jié)

合第二問(wèn)研究的無(wú)(乃的單調(diào)區(qū)間，對(duì)Q進(jìn)行分類討論，求出不同范圍下的九(6)皿2求出最后結(jié)果

【詳解】⑴當(dāng)a=1時(shí)JQ)=?—Inc,定義域?yàn)?0,+oo),/'(*)=1——=—~-

xx

令/(%)=0得：c=1,當(dāng)—>1時(shí)，/'⑺>0,/(力)單調(diào)遞增；當(dāng)0VTV1時(shí),f(⑼<0,/(x)單調(diào)遞減，故支=1是

函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)，/(①)的極小值為/(I)=1,無(wú)極大值

⑵九(%)=/(力)—g(①)=%—alnc+?"(a>0),定義域?yàn)?0,4-oo)

力/、1a1+aa?-ax-1-a(x+l)(x-l-a)

h{x}=\----------=----------5--------=-------------5-----------

①XXX

因?yàn)閍>0,所以1+Q>0,令"(力)>0得：力>1+a,令"(4)V0得：0<x<1+a,所以八(乃在(1+a,+8)單

調(diào)遞增，在(0,1+a)單調(diào)遞減.

綜上：從①)單調(diào)遞增區(qū)間為(1+a,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1+a).

(3)存在?(￡[1,e],使得/(/())VgQo)成立，等價(jià)于存在的W[1,e],使得九(見))<0,即在26[1,e]上有ft(x)min<

0

由(2)知，h(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(1+Q,+00)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1+Q),所以

當(dāng)l+a>e,即Q>e—1時(shí)，h(x)在①G[1,e]上單調(diào)遞減，故h(x)在力=e處取得最小值，由h(x)min=h(e)=e

一<1+生色<0得：a>宜斗，因?yàn)榱⒍?gt;e—l,故a>巨斗.

當(dāng)iVl+aVe,即OVaVe—1時(shí)，由(2)知：h(x)在力G(1,1+a)上單調(diào)遞減，在⑦E(1+a,e)上單調(diào)遞增,

h{x}在c6[1,e]上的最小值為

令拉(1+a)=2+a—aln(l+a)

因?yàn)镺Vln(l+a)VI,所以O(shè)Valn(l+a)Va,則2+a—aln(l+a)>2,即拉(1+Q)>2,不滿足題意，舍去

綜上所述：a的取值范圍為(直斗,+8)

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題.

注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

12.(2023?上海金山?上海市校才模板演凋)已知曲線夕=InQ+m)與；r軸交于點(diǎn)P,曲線在點(diǎn)P處的切線方

程為9=/3),且*1)=2.

(1)求夕=/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)g(±)=/學(xué)的極值；

ex

-1

⑶設(shè)無(wú)(力)=I”比+0__+1,若存在實(shí)數(shù)為，[l,e],x2E[e,l]2h(x1)V?111202+(Q—1)力21口劣)+◎成

x

立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[1(1)/(7)=c+1;(2)極大值為g(0)=1,無(wú)極小值；(3)(—8,3—2e)U(3—^~e,+8)

【分析】(1)先根據(jù)題意得P(1—m,0),進(jìn)而得切線斜率k=1,故/(x)=a;-1+m,再根據(jù)/(I)=2求