基本計數(shù)原理同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第五章計數(shù)原理§1基本計數(shù)原理1.1分類加法計數(shù)原理1.2分步乘法計數(shù)原理1.3基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一分類加法計數(shù)原理1.(2022天津河?xùn)|期中)書架共有3層,第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書,不同的取法有()A.3種B.6種C.9種D.24種2.(2023四川成都雙流中學(xué)適應(yīng)性考試)如圖,小黑點表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點,結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連,連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時傳遞,則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A.26B.24C.20D.193.(2024上海曹楊第二中學(xué)月考)已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,在空間中取4個不同的點,使得它們與A,B,C,D恰好成為一個側(cè)棱長為1的正四棱柱的8個頂點,則不同的取法數(shù)為.

4.(2023浙江杭州第二中學(xué)月考)在一個圓周上有8個點,用四條既無公共點又無交點的弦連接它們,則連接方式有種.

題組二分步乘法計數(shù)原理5.(2024山東齊魯名校第一次質(zhì)量聯(lián)合檢測)某商店共有A,B,C三個品牌的水杯,若甲、乙、丙每人買了一個水杯,且甲買的不是A品牌,乙買的不是C品牌,則這三人買水杯的情況共有()A.3種B.7種C.12種D.24種6.(2022吉林長春吉大附中實驗學(xué)校階段測驗)用4種不同顏色給如圖所示的圖形上色,要求相鄰兩塊涂不同的顏色,則不同的涂色方法共有()A.24種B.36種C.48種D.72種7.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只能去一個場館,則不同的安排方法共有()A.729種B.726種C.543種D.540種8.(2024廣東佛山順德普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測)5名同學(xué)去聽同時舉行的3個課外知識講座,每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個講座,且甲、乙聽同1個講座,則不同選擇的種數(shù)是.

9.從集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取兩個不同的數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù),可得到不同的對數(shù)值有個.

題組三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用10.(2024山東平邑一中月考)集合M={-2,1,3},N={-4,-3,5,6},從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是()A.2B.4C.5D.611.(多選題)(2022廣東廣州南海中學(xué)期中)現(xiàn)有不同的紅球4個,黃球5個,綠球6個,則下列說法正確的是()A.從中任選1個球,有15種不同的選法B.若每種顏色選出1個球,則有120種不同的選法C.若要選出不同顏色的2個球,則有32種不同的選法D.若要不放回地依次選出2個球,則有210種不同的選法12.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種生肖(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,三位同學(xué)依次選一個作為禮物,甲同學(xué)喜歡牛和馬,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)每個吉祥物都喜歡,若三位同學(xué)對選取的禮物都滿意,則不同的選法有()A.30種B.50種C.60種D.90種13.(2024湖南武岡期中)某班安排A,B,C,D,E五位同學(xué)到甲、乙、丙三個街道進行打掃活動,每個街道至少有一位同學(xué)去,至多有兩位同學(xué)去,且A,B兩位同學(xué)去同一個街道,則不同的安排方法有種.

14.(2022廣東佛山順德期中)如圖,在由開關(guān)組A與B組成的電路中,閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有種.

15.(2022江蘇連云港期中)用0,1,2,3,…,9十個數(shù)字可組成多少個不同的:(1)三位數(shù)?(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(3)小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?能力提升練題組兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1>a2,且a2<a3,則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)(如102,434,725等),那么所有凹數(shù)的個數(shù)為()A.240B.285C.729D.9202.小李準(zhǔn)備下載手機APP,可供選擇的社交APP有3個,音樂APP有2個,視頻APP有2個,生活A(yù)PP有3個,從上述10個APP中選3個,且必須含有社交APP以及生活A(yù)PP的不同選法種數(shù)為.

3.(2022陜西西安期末)某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行,決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策,不超過12站的地鐵票價如下表:乘坐站數(shù)0<x≤33<x≤77<x≤12票價(元)246現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過12站,且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.(1)若甲、乙兩人共付費6元,則甲、乙下地鐵的方案共有多少種?(2)若甲、乙兩人共付費8元,則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種?4.(2022吉林期末)已知0,1,2,3,4,5,6這七個數(shù)字,請完成下面三個小題.(1)用以上七個數(shù)字能組成多少個三位偶數(shù)(允許有重復(fù)數(shù)字)?(2)用以上七個數(shù)字能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)?(3)已知橢圓x2a2+y2b2=1,答案與分層梯度式解析第五章計數(shù)原理§1基本計數(shù)原理1.1分類加法計數(shù)原理1.2分步乘法計數(shù)原理1.3基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練1.C分三類:①取計算機書,有4種不同的取法;②取文藝書,有3種不同的取法;③取體育書,有2種不同的取法.由分類加法計數(shù)原理知,不同的取法共有4+3+2=9(種).2.D根據(jù)題意,從A到B傳遞路徑有4條,如圖所示,路徑①傳遞的最大信息量為3;路徑②傳遞的最大信息量為4;路徑③傳遞的最大信息量為6;路徑④傳遞的最大信息量為6.因此,單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19.故選D.3.答案12解析根據(jù)題意,分兩種情況討論:①當(dāng)正方形ABCD作為對角面時,有6個符合條件的正四棱柱;②當(dāng)正方形ABCD作為底面(或側(cè)面)時,有6個符合條件的正四棱柱.由分類加法計數(shù)原理知,不同的取法數(shù)為6+6=12.4.答案14解析不妨設(shè)圓周上的點依次為A,B,C,D,E,F,G,H,要使得四條弦既無公共點又無交點,如圖所示:符合圖①的連接方式有2種;符合圖②的連接方式有4種;符合圖③的連接方式有8種.因此,總的連接方式有2+4+8=14(種).5.C甲可以從B,C品牌中任選一個,有2種買法;乙可以從A,B品牌中任選一個,有2種買法;丙可以從A,B,C品牌中任選一個,有3種買法.由分步乘法計數(shù)原理可得,這三人買水杯的情況共有2×2×3=12(種).故選C.6.C①②③兩兩相鄰,依次用不同顏色涂,有4×3×2=24種涂色方法;④與②③相鄰,但與①不相鄰,可用剩下的一種顏色涂或者與①涂同樣的顏色,有2種涂色方法.由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂色方法共有24×2=48(種),故選C.7.A每名同學(xué)只能去一個場館,同學(xué)不可剩余,把同學(xué)當(dāng)成主體,首先從6名同學(xué)中選1名到甲、乙、丙三個場館之一,方法有3種,然后從剩下的5名同學(xué)中選1名到甲、乙、丙三個場館之一,方法有3種,依此類推,6名同學(xué)去甲、乙、丙三個場館做志愿者的不同的安排方法共有36=729(種).易錯警示本題的難點在于找主體,找不到主體就不知道是從“場館”還是從“同學(xué)”入手分析,分不清方法數(shù)是36還是63.題目中的6名同學(xué)去甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只能去一個場館,說明6名同學(xué)可以都去一個場館,且同學(xué)不能剩余,所以從“同學(xué)”入手分析,把6名同學(xué)當(dāng)成主體,一個一個分析即可.8.答案81解析根據(jù)題意,把甲、乙看成1名同學(xué),這樣理解為4名同學(xué)去聽講座,每名同學(xué)都可以從3個課外知識講座中任選1個,由分步乘法計數(shù)原理可得,不同選擇的種數(shù)是3×3×3×3=81.9.答案52解析第一步,取底數(shù),有8種取法;第二步,取真數(shù),有7種取法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共得到8×7=56個對數(shù).但在這些對數(shù)中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以可以得到56-4=52個不同的對數(shù)值.10.D第二象限的點的特征是橫坐標(biāo)是負數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù).若橫坐標(biāo)從集合M中選取,縱坐標(biāo)從集合N中選取,則有1×2=2(個),若橫坐標(biāo)從集合N中選取,縱坐標(biāo)從集合M中選取,則有2×2=4(個),故這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是2+4=6.故選D.11.ABD從中任選1個球,有4+5+6=15種不同的選法,故A中說法正確;每種顏色選出1個球,有4×5×6=120種不同的選法,故B中說法正確;選出不同顏色的2個球,有4×5+5×6+4×6=74種不同的選法,故C中說法錯誤;不放回地依次選出2個球,有15×14=210種不同的選法,故D中說法正確.故選ABD.12.B①若甲同學(xué)選擇牛,則乙同學(xué)有2種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為2×10=20;②若甲同學(xué)選擇馬,則乙同學(xué)有3種選擇,丙同學(xué)有10種選擇,不同的選法種數(shù)為3×10=30.綜上,總共有20+30=50種不同的選法.故選B.13.答案18解析不妨記三個街道分別為a,b,c,可分三步完成:第一步,因為A,B兩位同學(xué)去同一個街道,所以先安排他們?nèi)ツ骋唤值?有3種方法;第二步,安排同學(xué)去除A,B兩位同學(xué)安排的街道,可以安排1人也可以安排2人,有3+3=6種方法;第三步,剩下的同學(xué)去第三個街道,只有1種方法.綜上所述,不同的安排方法有3×6×1=18(種).14.答案21解析分兩步:第1步,A組開關(guān)閉合一個,有2種閉法,A組開關(guān)閉合2個,有1種閉法;第2步,B組開關(guān)閉合1個,有3種閉法,B組開關(guān)閉合2個,有3種閉法,B組開關(guān)閉合3個,有1種閉法.此時共有(2+1)×(3+3+1)=21種閉法.15.解析(1)第一步:由于0不能在百位,所以百位上的數(shù)字有9種選法;第二步:十位上的數(shù)字有10種選法;第三步:個位上的數(shù)字有10種選法.所以不同的三位數(shù)共有9×10×10=900(個).(2)第一步:由于0不能在百位,所以百位上的數(shù)字有9種選法;第二步:十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法;第三步:個位上的數(shù)字有除百位和十位上的數(shù)字以外的8種選法.所以共有9×9×8=648個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).(3)第一類:滿足條件的一位自然數(shù)有10個;第二類:滿足條件的兩位自然數(shù)有9×9=81(個);第三類:滿足條件的三位自然數(shù)有4×9×8=288(個).由分類加法計數(shù)原理知,共有10+81+288=379個小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).能力提升練1.B因為a1>a2,且a2<a3,所以對a2的情況進行分類考慮.若a2=0,則百位數(shù)字可選1,2,3,…,8,9,共有9個,個位數(shù)字可選1,2,3,…,8,9,共9個,此時凹數(shù)共92個;若a2=1,則百位數(shù)字可選2,3,…,8,9,共8個,個位數(shù)字可選2,3,…,8,9,共8個,此時凹數(shù)共有82個;……;若a2=8,則百位數(shù)字只能選9,個位數(shù)字只能選9,此時凹數(shù)共有12個.所以所有凹數(shù)有92+82+72+…+22+12=81+64+49+…+4+1=285(個),故選B.拓展公式1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1)2,12+22+32+…+(n-1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6,13+22.答案54解析分3類:第1類:從3個社交APP以及3個生活A(yù)PP中各選1個,再從2個音樂APP和2個視頻APP中選1個,有3×3×4=36種選法;第2類:從3個社交APP中選2個,再從3個生活A(yù)PP中選1個,有3×3=9種選法;第3類:從3個社交APP中選1個,再從3個生活A(yù)PP中選2個,有3×3=9種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共有36+9+9=54種不同的選法.3.解析(1)甲、乙兩人共付費6元,則一人付費2元,另一人付費4元.付費2元的乘坐站數(shù)有1,2,3共三種選擇,付費4元的乘坐站數(shù)有4,5,6,7共四種選擇,所以甲、乙下地鐵的方案共有(3×4)×2=24(種).(2)甲、乙兩人共付費8元,則甲付費2元,乙付費6元,或兩人都付費4元.當(dāng)甲付費2元,乙付費6元時,甲乘坐站數(shù)有1,2,3共三種選擇,乙乘坐站數(shù)有8,9,10,11,12共五種選擇,共有3×5=15種方案.當(dāng)兩人都付費4元時,若甲在第4站下地鐵,則乙可在第5,6,7站下地鐵,有3種方案;若甲在第5站下地鐵,則乙可在第6,7站下地鐵,有2種方案;若甲在第6站下地鐵,則乙只能在第7站下地鐵,有1種方案.綜上,甲比乙先下地鐵的方案共有15+3+2+1=21(種).4.解析(1)在0,1,2,3,4,5,6這七個數(shù)字中,偶數(shù)包括0,2,4,6,奇數(shù)包括1,3,5.百位數(shù)字不能是0,所以有6種選擇,十位數(shù)字有7種選擇,個位數(shù)字有4種選擇,故能組成6×7×4=168個三位偶數(shù).(2)無重復(fù)