天津市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊期末監(jiān)測模擬試題含解析

天津市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末監(jiān)測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在正方形A5CD中，E、尸分別為BC、CD的中點，連接4E,8尸交于點G,將ABCP沿B尸對折,

得到ABPF,延長尸產(chǎn)交5A延長線于點°,下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

4

?AE=BFi?AE±BF,?sinZBQP=-f④S四邊形ECFG=2SABGE.

A.4B.3C.2D.1

2.已知x是實數(shù)，則代數(shù)式3——2X+1的最小值等于（）

24

A.-2B.1C.-D.-

33

3.關(guān)于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則a的值為（）

A.2B.0C.1D.2或0

4.某商店以每件60元的價格購進(jìn)一批貨物，零售價為每件80元時,可以賣出100件（按相關(guān)規(guī)定零售價不能超過

80元）.如果零售價在80元的基礎(chǔ)上每降價1元，可以多賣出10件,當(dāng)零售價在80元的基礎(chǔ)上降價x元時，能獲得

2160元的利潤，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.x(lOO+lOx)=2160B.(20-x)(100+lOx)=2160

C.(20+x)(100+lOx)=2160D.(20-x)(100-lOx)=2160

5.將0.000102用科學(xué)記數(shù)法表示為（)

A.1.02X10-4B.1.02x10-5c.-1.02X104D.102x10-3

“一1

6.在雙曲線丫=,——的每一分支上，y都隨工的增大而增大，則4的值可以是（)

X

A.2B.3C.0D.1

7.如圖，已知在aABC中，P為AB上一點，連接CP,以下條件中不能判定△ACPrSABC的是（）

A

ACAB

D.--------

APAC

8.已知二次函數(shù)%=加+區(qū)+。（。。0）和一次函數(shù)%="+〃化。0）的圖象如圖所示，下面四個推斷:

①二次函數(shù)X有最大值

②二次函數(shù)X的圖象關(guān)于直線x=-1對稱

③當(dāng)％=-2時，二次函數(shù)X的值大于0

④過動點尸（〃厶0）且垂直于x軸的直線與弘，％的圖象的交點分別為C,D,當(dāng)點C位于點D上方時，m的取值范圍是

機<一3或加>一1,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.在瓦、猴、欄、中,最簡二次根式的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9Q

10.對于一元二次方程x2_3x+c=o來說，當(dāng)。=一時，方程有兩個相等的實數(shù)根：若將c的值在一的基礎(chǔ)上減小,

44

則此時方程根的情況是（）

A.沒有實數(shù)根B.兩個相等的實數(shù)根

C.兩個不相等的實數(shù)根D.一個實數(shù)根

11.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#））圖象如圖所示，則下列結(jié)論，①c<0,②2a+b=0；③a+b+c=0,@b2-4ac<0,

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4

3

12.在RtaABC中，ZC=90°,AB=10,sinZB=-,貝I]BC=()

A.15B.6C.9D.8

二、填空題(每題4分，共24分)

13.若扇形的半徑為3,圓心角120。，為則此扇形的弧長是.

14.拋物線y=f—3的頂點坐標(biāo)是.

15.如圖，用圓心角為120。，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，則這個紙帽的高是cm.

16.如圖所示是某種貨號的直三棱柱(底面是等腰直角三角形)零件的三視圖，則它的表面積為

11

17.若王、々是一元二次方程——3x+l=0的兩個根，則一+—=.

X\X2

18.如圖一次函數(shù)y=—2的圖象分別交x軸、y軸于A、B,P為AB上一點且PC為厶厶。1i的中位線，PC的延

長線交反比例函數(shù)y=2(%>0)的圖象于Q,則Q點的坐標(biāo)為

x2

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，拋物線.y=—d+法+。與x軸交于點A（2,0）,B（-4,0）,直線y=2x—4與），軸交于點。，與），軸

左側(cè)拋物線交于點C,直線BO與丁軸右側(cè)拋物線交于點E.

⑴求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AC上方拋物線上一動點，求PAC面積的最大值；

（3）點M是拋物線上一動點，點N是拋物線對稱軸上一動點，請直接寫出以點〃,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊

形時點M的坐標(biāo).

20.（8分）（1）如圖1,O是等邊AABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC,且OA=3,OB=4,OC=5,將繞點B

順時針旋轉(zhuǎn)后得到aBCD,連接OD.求：

①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);線段OD的長為.

②求NBDC的度數(shù)；

(2)如圖2所示，O是等腰直角AABC(ZABC=90°)內(nèi)一點，連接OA、OB、OC,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

后得到ABCD,連接OD.當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時，ZODC=90°?請給出證明.

圖2

21.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中，對“隔離直線”給出如下定義：點是圖形G上的任意一點，點。(x,〃)

是圖形G2上的任意一點，若存在直線/：丁=依+優(yōu)々工0)滿足/找<丘+。且〃之丘+。，則稱直線/：丁=依+。(人工0)

4

是圖形G1與G?的“隔離直線”，如圖1，直線/：y=-x—2是函數(shù)y=—(x<0)的圖像與正方形QWC的一條“隔離

X

直線”.

4

(1)在直線①X=一工一1,②％=3元+1,③必=r+4,④％=-2工中，是圖1函數(shù)y=-(x<0)的圖像與正方

X

形OABC的“隔離直線”的為.

(2)如圖2,第一象限的等腰直角三角形EOF的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點。的坐標(biāo)是(2,1),的半徑

為石，是否存在AEL屮與。。的“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的表達(dá)式：若不存在，請說明理由；

(3)正方形ABC。的一邊在)'軸上，其它三邊都在y軸的左側(cè)，點是此正方形的中心，若存在直線

y=-2x+匕是函數(shù)y=/+2%-3(-4<%<0)的圖像與正方形A瓦GA的“隔離直線”，請直接寫出t的取值范圍.

22.(10分)(1)計算：sin230°+cos245°

(2)解方程：x(x+1)=3

23.（10分）某旅館一共有客房30間，在國慶期間，老板通過觀察記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有房間都有旅客入住時，每間客房

凈賺600元，客房價格每提高50元，則會少租出去1個房間.同時沒有旅客入住的房間，需要花費50元來進(jìn)行衛(wèi)生

打理.

（1）求出每天利潤w?的最大值，并求出利潤最大時，有多少間客房入住了旅客.

（2）若老板希望每天的利潤不低于19500元，且租出去的客房數(shù)量最少，求出此時每間客房的利潤.

24.（10分）甲、乙、丙、丁共四支籃球隊要進(jìn)行單循環(huán)積分賽（每兩個隊間均要比賽一場），每天比賽一場，經(jīng)抽簽

確定比賽場次順序.

（1）甲抽到第一場出場比賽的概率為;

（2）用列表法或樹狀圖計算甲、乙兩隊抽得第一場進(jìn)行比賽的概率.

25.（12分）如圖，在AABC中，點。為8c邊上一點，。0經(jīng)過A、3兩點，與BC邊交于點E,點尸為BE下方半

圓弧上一點，F(xiàn)E1AC,垂足為O,NBEF=2NF.

（1）求證：AC為。。切線.

（2）若AB=5,DF=4,求。。半徑長.

26.如圖，在R/AOAB中，Z（MB=9O,且點3的坐標(biāo)為（4,3）

（1）畫出△。鉆繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的厶。44.

（2）求點B旋轉(zhuǎn)到點區(qū)所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留萬）

(3)畫出AQ46關(guān)于原點對稱的AOA與

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【解析】解：YE,尸分別是正方形A5C。邊5C,C。的中點，在AABE和ABC「中，

'：AB=BC,NABE=NBCF,BE=CF,：.RtAABE^RtA.BCF(SAS),：.ZBAE=ZCBF,AE=BF,故①正確；

又：N8AE+N6EA=90°,/.ZCBF+ZBEA=90°,：.ZBG￡=90°,：.AE±BF,故②正確；

根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC,ZPFB=ZBFC,ZFPB=90°.

'.,CD//AB,/.ZCFB=ZABF,；.NABF=NPFB,：.QF=QB,令PF=k(k>Q),貝ljP8=2A

stBP4…

在RtABPQ中，設(shè)QB=x,/.x2=(x-k)2+4k2,.,.*=弓~,/.sin=^BQP=,故③正確；

■:NBGE=NBCF,NGBE=NCBF,：.hBGE^t^BCF,\'BE=—BC,BF=&BC,:.BE：BF=lt亞,；.4BGE

22

的面積：ABC尸的面積=1：5,，S四邊彩ECFG=4SA8GE,故④錯誤.

故選B.

點睛：本題主要考查了四邊形的綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以

及折疊的性質(zhì)的知識點，解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準(zhǔn)對應(yīng)邊，角的關(guān)系求解.

2,C

【分析】將代數(shù)式配方，然后利用平方的非負(fù)性即可求出結(jié)論.

【詳解】解：3x2-2x+l

=3(九2-1-xj+1

2ii

=3x2-—x+------+1

399

4+1

2

二代數(shù)式3f—2x+l的最小值等于§

故選C.

【點睛】

此題考査的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】設(shè)方程的兩根為X“X2,

根據(jù)題意得XI+X2=1,

所以a2-2a=l,解得a=l或a=2,

當(dāng)a=2時，方程化為x?+l=LA=-4<1,故a=2舍去，

所以a的值為1.

故選B.

4、B

【分析】根據(jù)第一句已知條件可得該貨物單件利潤為80-60=20元，根據(jù)第二句話的已知條件，降價幾個1元，就可以多

賣出幾個10件，可得降價后利潤為(20-x)元,數(shù)量為(lOO+lOx)件，兩者相乘得2160元,列方程即可.

【詳解】解:由題意得，當(dāng)售價在80元基礎(chǔ)上降價％元時，

(20-x)(100+10x)=2160.

【點睛】

本題主要考査的是一元二次方程應(yīng)用題里的利潤問題,理解掌握其中的數(shù)量關(guān)系列出方程是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵.

5、A

【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axio-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所

使用的是負(fù)指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】解：0.000102=1.02x10-4,

故答案為：1.02xl()T.

【點睛】

本題考査用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axio-n,其中n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前

面的0的個數(shù)所決定.

6、C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k-l<0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大作答.

【詳解】?.?在雙曲線丫=七」的每一條分支上，y都隨x的增大而增大，

X

Ak-l<0,

Ak<l,

故選：C.

【點睛】

k

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).對于反比例函數(shù)丫=一，當(dāng)k>0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而

x

減?。划?dāng)kVO時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X增大而增大.

7、C

【分析】A、加一公共角，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可以得結(jié)論；

B、加一公共角，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可以得結(jié)論；

C、其夾角不相等，所以不能判定相似；

D、其夾角是公共角，根據(jù)兩邊的比相等，且夾角相等，兩三角形相似.

【詳解】A、；NA=NA,NACP=NB,

.?.△ACPsaABC,

所以此選項的條件可以判定AACPs^ABC；

B、VZA=ZA,ZAPC=ZACB,

/.△ACP^AABC,

所以此選項的條件可以判定AACPs/iABC;

ACCP

C、V-----=------，

ABBC

當(dāng)NACP=NB時，AACP^AABC,

所以此選項的條件不能判定AACPsaABC；

ACAB

D、.*---=----，

APAC

又NA=NA,

/.△ACP^AABC,

所以此選項的條件可以判定AACPS/^ABC,

本題選擇不能判定AACPs^ABC的條件，

故選c.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵.

8、B

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?二次函數(shù)ykax?+bx+c(a#0)的圖象的開口向上，

...二次函數(shù)yi有最小值，故①錯誤；

觀察函數(shù)圖象可知二次函數(shù)yi的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，故②正確；

當(dāng)x=-2時，二次函數(shù)yi的值小于0,故③錯誤；

當(dāng)xV-3或x>-l時，拋物線在直線的上方，

；.m的取值范圍為：mV-3或m>-l,故④正確.

故選B.

【點睛】

本題考査了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及函數(shù)圖象，熟練運用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出二次函數(shù)解析式

是解題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】根據(jù)最簡二次根式的條件進(jìn)行分析解答即可.

【詳解】解：而、屈、后、朮不是最簡二次根式,，石是最簡二次根式.

故選A.

【點睛】

本題考査最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因

數(shù)或因式.

10、C

【分析】根據(jù)根的判別式，可得答案.

,9

【詳解】解：a=l,b=-3,c=—,

4

9

A=b2-4ac=9-4xlx—=0

4

og

:.當(dāng)c的值在一的基礎(chǔ)上減小時，即C<',

44

A=b2-4ac>0

一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選c.

【點睛】

本題考查了根的判別式的應(yīng)用，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

11、B

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與1的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物

線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】①拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則cVL故①正確；

b

②對稱軸*=——=1,貝!|2a+b=l.故②正確；

2a

③由圖可知：當(dāng)x=l時，y=a+b+c<l.故③錯誤；

④由圖可知：拋物線與x軸有兩個不同的交點，則從-4ac>l.故④錯誤.

綜上所述：正確的結(jié)論有2個.

故選B.

【點睛】

本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的值求2a與）的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換,

根的判別式的熟練運用.

12、D

【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)的定義求得AC的長，然后利用勾股定理求得BC的長.

Ar3

【詳解】解：sin6=F=：

AB5

33

.?.AC=AB'=10x—=6

55

二直角△ABC中，BC=\IAB2-AC2=>/102-62=8

故選：D.

【點睛】

本題考查的是銳角三角形的正弦函數(shù)，理解熟記正弦三角函數(shù)定義是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、2兀

10QXXa

【解析】根據(jù)弧長公式可得：———=27：,

180

故答案為27r.

14、(0,-3).

【解析】試題解析：二次函數(shù)y=/—3,

b

對稱軸x=------=0.

2a

當(dāng)x=0時，y=-3.

頂點坐標(biāo)為：(0,-3).

故答案為：(0,-3).

15、472

【分析】先求出扇形弧長，再求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理即可出圓錐的高.

【詳解】圓心角為120。，半徑為6cm的扇形的弧長為號聲=4萬cm

二圓錐的底面半徑為2,

故圓錐的高為,62-22=4及cm

【點睛】

此題主要考查圓的弧長及圓錐的底面半徑，解題的關(guān)鍵是熟知圓的相關(guān)公式.

16、(28+20忘)

【分析】根據(jù)三視圖可知，直三棱柱的底面是斜邊為4厘米、斜邊上的高為2厘米的等腰直角三角形，直三棱柱的高

是5厘米的立體圖形，根據(jù)表面積計算公式即可求解.

【詳解】直三棱柱的底面如下圖，

根據(jù)三視圖可知，?ABC為等腰直角三角形，斜邊8C上的高AD為2厘米，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得:

BC=2AD=2x2=4,

二AB=AC=V2AD=2V2，

它的表面積為：

2x1x2V2x2V2+(272+272+4)x5

=8+20匹+20

=28+20夜(平方厘米)

故答案為：28+200.

【點睛】

考查了由三視圖判斷幾何體，幾何體的表面積，關(guān)鍵是得到直三棱柱的底面三角形各邊的長.

17、1

-11M+x,

【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得%+*2=3,x,x2=l,將一+一整理得到」~~代入即可.

【詳解】解：,??西、馬是一元二次方程V―3%+1=0的兩個根，

:.玉+工2=3,x]x2=1,

...丄+丄=A1^.=3,

X]x2xtx2

故答案為：1.

【點睛】

hc

本題考査韋達(dá)定理，掌握玉+々=--，*/2=一是解題的關(guān)鍵.

aa

3

18、(2,-)

2

【解析】因為三角形OQC的面積是Q點的橫縱坐標(biāo)乘積的一半，所以可求出k的值，PC為中位線，可求出C的橫

坐標(biāo)，也是Q的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)可求出縱坐標(biāo)

【詳解】解：設(shè)A點的坐標(biāo)為(a,0),B點坐標(biāo)為(0,b),

分別代入y=(x—2,

解方程得a=4,b=-2,

r.A(4,0),B(0,-2)

VPC是AAOB的中位線，

.,.PC丄x軸，即QC丄OC,

k

又Q在反比例函數(shù)y=—(k>0)的圖象上，

x

??2SAOQc=k,

3

.,.k=2x-=3,

2

?；PC是aAOB的中位線，

C(2,0),

可設(shè)Q(2,q)

k

???Q在反比例函數(shù)丁=勺(人〉0)的圖象上,

2

3

.,.點Q的坐標(biāo)為(2,-).

2

點睛：本題考查反比例函數(shù)的綜合運用，關(guān)鍵是知道函數(shù)上面取點后所得的三角函數(shù)的面積和點的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

三、解答題(共78分)

19、(1)y=—《2—2x+8；(2)當(dāng)t=—2時,(S=64；⑶點”的坐標(biāo)為(—1(),—72),(—2,8)或(8,—72).

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

(2)先求出點C的坐標(biāo)，過點P作「Q//),軸交直線AC于點Q,設(shè)P。,—y—2t+8),則則得到線

段PQ的長度，然后利用三角形面積公式，即可求出答案；

(3)先求出直線BD,然后得到點E的坐標(biāo)，由以點M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)點M為(m,

一機2一2根+8)，則可分為三種情況進(jìn)行分析：①當(dāng)CN與ME為對角線時；②當(dāng)CE與MN為對角線時；③當(dāng)EN

與CM為對角線時；由平行四邊形對角線互相平分，即可得到m的值，然后求出點M的坐標(biāo).

【詳解】解：(1)把A(2,0),3(T0)代入中得y=-x2+bx+c,

-4+2b+c=0,

—16—4/?+c=0,

b=-2

解得

???拋物線的解析式為：y=—尤2-2%+8.

y———2x+8

(2)由<

y=2x-4

xl=-6九2=2

y.=-16J2=0

過點P作軸交直線AC于點。,

設(shè)「(厶-『一2'+8),則。(f,2f-4),

p(2=(-r2-2r+8)-(2r-4)=-(/+2)2+16,

SP￡C=3PQX(%-4)

=1x[-(r+2)2+16]x8

=-4(r+2)2+64(-6</<2).

???當(dāng)f=-2時，(SPAC)nm=64；

二Q4C1面積的最大值為64.

(3)?.?直線y=2x—4與y軸交于點。，

.?.點D的坐標(biāo)為:(0,-4),

?.?點B為(-4,0),

二直線BD的方程為：y=-x-4t

聯(lián)合拋物線與直線BD,得:

y=-x-4

y=-x2-2x+S

"

x1=3工2=4

解得：或4（為點B）,

J=-7%=0

.?.點E的坐標(biāo)為：（3,-7）；

,b-2,

?.,拋物線y=—2x+8的對稱軸為：=-1，

2a2x(-1)

???點N的橫坐標(biāo)為-1；

?.,以點M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形，且點C(4,一16),點E(3,-7),

2

設(shè)點M為(m,-m-2m+8),則可分為三種情況進(jìn)行分析：

①當(dāng)CN與ME為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

.加+3-6-17

?.——,

222

解得：m=-10；

二點M的縱坐標(biāo)為：—(TO)?-2X(-10)+8=-72,

.?.點M的坐標(biāo)為：(—10,—72)；

②當(dāng)CE與MN為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

.tn—\—6+33

■?-二f

222

解得：m--2,

.?.點M的縱坐標(biāo)為：一(一2)2-2、(-2)+8=8,

.??點M的坐標(biāo)為：(一2,8)；

③當(dāng)EN與CM為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

.m-6—1+31

------=--------=1,

22

解得：利=8,

...點M的縱坐標(biāo)為：—8?-2x8+8=-72;

.?.點M的坐標(biāo)為：(8,-72)；

綜合上述，點"的坐標(biāo)為：(-10,-72),(-2,8)或(8,-72).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，求二次

函數(shù)的解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合的方法

和分類討論的方法進(jìn)行解題.

20、(1)①60°,4；②150°；(2)O^+2OB2=OC2,證明見解析.

【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC,ZABC=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NOBD=NABC=60°,于

是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60。；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BD,加上NOBD=60°,則可判斷為等邊三角形，所

以O(shè)D=OB=4；

②由ABOD為等邊三角形得到NBDO=60°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AO=3,然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明

△OCD為直角三角形，ZODC=90°,所以NBDC=NBDO+NODC=150°；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NOBD=NABC=90°,BO=BD,CD=AO,則可判斷厶。!!。為等腰直角三角形，則OD

=V2OB,然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當(dāng)CD2+OD2=OC2時，AOCD為直角三角形，ZODC=90°.

【詳解】解：（1）①:△ABC為等邊三角形，

.,.BA=BC,ZABC=60",

VABAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到aBCD,

.*.ZOBD=ZABC=60°,

.??旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；

:AfiAO旋轉(zhuǎn)至ABC￡）,

:.BO=BD=4,NOBD=ZABC=60,CO=AO=3,

二為等邊三角形

AZBDO=60>OD=OB=4,

故答案為：60°；4

②在AOCO中，CD=3,OD=4,OC=5,

V32+42=52

ACD2+OD2=oc2

...△OCD為直角三角形，NODC=90，

:.ZBDC=ZBDO+ZODC=60+90=150

（2）。厶2+2。庁="2時，NODC=90，

理由如下：

VABAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到A5CD，

??ZOBD=AABC=9Q>BO=BD,CD=AO,

AAOBD為等腰直角三角形，

???OD=近OB

V當(dāng)CD?+OD2=OC?時，^ocD為直角三角形，ZODC=90，

???Ofic+（立0B）2=OC2,即。厶2+2OB2=OC2

:.當(dāng)OA,。氏。。滿足O屋+2OB2=OC?時，厶）DC=90.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后

的圖形全等.也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.

21、（1）@@;（2）y=-2x+5；（3）/22或，4一8

【分析】（1）根據(jù)的“隔離直線”的定義即可解決問題；

（2）存在，連接8,求得&°。=；與8垂直且過。的直接就是“隔離直線”，據(jù)此即可求解；

（3）分兩種情形正方形在x軸上方以及在x軸下方時，分別求出正方形的一個頂點在直線y=-2x+8上時的t的值即可

解決問題.

4

【詳解】（1）根據(jù)的“隔離直線”的定義可知％=-2工，是圖1函數(shù)y=—（x<0）的圖象與正方形OABC的“隔離直

x

4

線”；直線X=一不-1也是圖1函數(shù)y=—。<0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”；而%=3x+1與％=一冗+4

x

4

不滿足圖1函數(shù)y=—（X<0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”的條件；

x

故答案為：①④；

（2）存在，

理由如下：

連接8,過點。作。G丄x軸于點G,如圖，

在RtaDGO中，OD=\IDG°+OG。=，］2s=5

???。。的半徑為石，

.,.點D在。O上.

過點D作DH丄OD交y軸于點H,

...直線DH是。O的切線，也是4EDF與。O的“隔離直線”.

設(shè)直線OD的解析式為丁=丘，

將點D(2,1)的坐標(biāo)代入得1=23

解得：％=L

2

VDH1OD,

:.設(shè)直線DH的解析式為y=-2x+n,

將點D(2,1)的坐標(biāo)代入得1=-2x2+〃，

解得：〃=5,

直線DH的解析式為y=-2x+5,

“隔離直線”的表達(dá)式為y=-2x+5；

(3)如圖：

由題意點F的坐標(biāo)為(T,5),

當(dāng)直線y=-2x+b經(jīng)過點F時，5=-2x(T)+b,

:.b——3>

...直線y=-2x-3,即圖中直線EF,

。正方形AiBiCiDi的中心M(Lt),

過點/作用。丄y軸于點G,

???點是正方形的中心，且M￡=l,

BiCi-2Af]G-2,B[G=1,

正方形AIBICIDI的邊長為2,

當(dāng)x=-2時，^=-2x-3=-2x(-2)-3=l,

...點Cl的坐標(biāo)是(一2,1),此時直線EF是函數(shù)>=/+2》—3(-4Wx40)的圖象與正方形AHCD的“隔離直線”，

二點M的坐標(biāo)是(-1,2),

此時f=2；

當(dāng)直線y=-2x+人與？=%2+2%一3只有一個交點時，

y=-2x+b

{.、c>消去y得到J?+4x-3-=0,

y=x+2x-3

由二=0,可得42一4(—3—8)=0,

解得：b=T,

同理，此時點M的坐標(biāo)為：(1,-8),

**?t=-8,

根據(jù)圖象可知：

當(dāng)拈2或區(qū)—8時，直線y=-2x+A是函數(shù)y=f+2x—3(0<xW4)的圖象與正方形AiBCDi的“隔離直線”.

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、二元二次方程組.一元二次方程

的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

cc/I\3...—1+A/13—1—>J\3

22、(1)—；(2)xi=-------------,x2=--------------.

422

【分析】(1)sin30°=丄，cos450=,sin230°+cos245°=(—)2+()2=—

22224

(2)用公式法：化簡得f+x_3=0,a=l,b=l,c=-3,b-4ac=13,x=-

2

i冃3

【詳解】解：(1)原式=(-)2+(注)2=

224

(2)x(x+1)=3,

-3=0,

Va=l,b=l,c=-3,b-4ac=l-4xlx(-3)=13,

.-1±V13-1±V13

??x=-----------=-----------，

2x12

.-1+V13-1-V13

..Xi=-------------,X2=------------.

22

【點睛】

本題的考點是三角函數(shù)的計算和解一元二次方程.方法是熟記特殊三角形的三角函數(shù)及幾種常用的解一元二次方程的

方法.

23、(1)21600元，8或9間；(2)15間，1元

【分析】(1)設(shè)每個房間價格提高5()x元，可列利潤、丫=(30-x)(600+50X)-5()x,將此函數(shù)配方為頂點式，即可

得到答案；

(2)將(1)中關(guān)系式-50X2+850X+18000=19500,求出x的值，由租出去的客房數(shù)量最少即(30-x)最小，得到x

取最大值15,再代入利潤關(guān)系式求得每間客房的利潤即可.

【詳解】解：(1)設(shè)每個房間價格提高50x元，則租出去的房間數(shù)量為(30-x)間，

由題意得，利潤w=(30-x)(600+50