人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.2.1勾股定理的逆定理分層作業(yè)(原卷版+解析)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.2.1勾股定理的逆定理同步練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列各組數(shù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．2，3，4 B．9，， C．，， D．7，，2．的三邊為，，，下列條件不能確保為直角三角形的是（）A． B．C． D．3．下列條件：①，②，③，④．⑤中，能確定是直角三角形的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．如圖，中，，為的角平分線，則的面積為（）A． B．3 C． D．45．的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．266．若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c且滿足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如果的三邊分別為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題：8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列條件中能判定是直角三角形的是__.（填寫序號(hào)）（1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n為大于1的正整數(shù)）9．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．判斷是______三角形；計(jì)算的面積______．10．已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系，則的形狀是_______．11．已知中，，，（n為大于2的整數(shù)），則∠_____．12．若a，b，c是直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)，且，則三條角平分線的交點(diǎn)到一條邊的距離為______．三、解答題：13．根據(jù)下列條件，判斷以為邊的三角形是不是直角三角形．(1)，，．(2)，，．(3)，，．14．已知滿足．(1)求的值；(2)試問以為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由．15．如圖，已知在中，，D是上一點(diǎn)，且，．求證：是直角三角形．16．如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）17．在的三邊分別是，且，判斷的形狀，證明你的結(jié)論．能力提升篇一、單選題：1．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)A到直線的距離是22．已知的三邊之比為，其中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的長(zhǎng)不可能是（

）A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.53．如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題：4．如圖，在網(wǎng)格紙中，有A、B兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C，使得是直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是__________個(gè)．5．如圖，在中，，且周長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)．若同時(shí)出發(fā)，則過秒時(shí)，的面積為___________．6．如圖，在中，，，，是的平分線，若、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________三、解答題：7．如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1，ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)直接寫出AB=________，BC=________，AC=________；(2)判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)直接寫出BC邊上的高=________．8．如圖，已知在中，，垂足為點(diǎn)，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：．

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)17.2.1勾股定理的逆定理同步練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列各組數(shù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．2，3，4 B．9，， C．，， D．7，，【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不能作為直角三角形的三邊，不符合題意；B、，不能作為直角三角形的三邊，不符合題意；C、，不能作為直角三角形的三邊，不符合題意；D、，能作為直角三角形的三邊，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理，熟練掌握直角三角形的三邊關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．2．的三邊為，，，下列條件不能確保為直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵，，∴，解得：，∴，即為直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；設(shè)，∴，即不為直角三角形，故B選項(xiàng)符合題意；∵，∴，即為直角三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；∵，∴，∵，∴，即為直角三角形，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．下列條件：①，②，③，④．⑤中，能確定是直角三角形的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的定義和勾股定理的逆定理解答．【詳解】解：①時(shí)，∵∴∴，是直角三角形，符合題意；②，是直角三角形，符合題意；③，設(shè)，則，從而，是直角三角形，符合題意；④當(dāng)時(shí)，顯然是最大角，則，是銳角三角形，不符合題意；⑤，，是直角三角形，符合題意；綜上所述，能確定△ABC是直角三角形的有4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，同時(shí)也考查了三角形內(nèi)角和定理．4．如圖，中，，為的角平分線，則的面積為（）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．根據(jù)勾股定理逆定理，推出是，再證明，從而推斷出，得．設(shè)，利用勾股定理，求出，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．∵，∴．∴是，．∵于E，∴．在和中，∴．∴．∴．設(shè)，則．在中，．∴．∴．∴．∴的面積為．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及其逆定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．5．的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．26【答案】C【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得、、的值，再利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，，，是直角三角形，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．6．若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c且滿足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根據(jù)三邊關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)換得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.【詳解】（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b≠0，∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，∴△ABC直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三邊關(guān)系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形狀，熟練掌握，即可解題.7．如果的三邊分別為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】將原式整理得出，計(jì)算出，判斷出為直角三角形，即可求出．【詳解】解：，，，，又，，為直角三角形，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的非負(fù)性，勾股定理的逆運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出的值．二、填空題：8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列條件中能判定是直角三角形的是__.（填寫序號(hào)）（1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n為大于1的正整數(shù)）【答案】（1）（2）（3）（5）【分析】(1)(2)(3)(5)根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，(4)根據(jù)直角三角形的定義判斷．【詳解】解：（1），符合勾股定理的逆定理，能夠判斷△ABC是直角三角形，符合題意；（2），符合勾股定理的逆定理，能夠判斷△ABC是直角三角形，符合題意；（3）由，可得：，符合勾股定理的逆定理，能夠判斷△ABC是直角三角形，符合題意；（4），此時(shí)∠C＝75°，不能夠判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；（5），符合勾股定理的逆定理，能夠判斷△ABC是直角三角形，符合題意；故答案為：（1）（2）（3）（5）.【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定方法，掌握勾股定理的逆定理是關(guān)鍵．9．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．判斷是______三角形；計(jì)算的面積______．【答案】

直角

【分析】根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)勾股定理的逆定理證明是，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴是，且,∴，故答案為：直角；．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．10．已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系，則的形狀是_______．【答案】等腰直角三角形【分析】由算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性可求出，再根據(jù)勾股定理逆定理和等腰三角形的定義即可判斷該三角形為等腰直角三角形．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的形狀是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理和等腰三角形的定義．掌握算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．11．已知中，，，（n為大于2的整數(shù)），則∠_____．【答案】【分析】先計(jì)算，再計(jì)算，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，，∴∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用，整式的乘法運(yùn)算，熟練的利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解本題的關(guān)鍵．12．若a，b，c是直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)，且，則三條角平分線的交點(diǎn)到一條邊的距離為______．【答案】2【分析】先利用完全平方式進(jìn)行變形求a，b，c的值，再證明如圖，為的三條角平分線的交點(diǎn)，過作垂足分別為則再利用等面積法可得答案.【詳解】解：∵．∴．∴．∴，，．∴，，．如圖，為的三條角平分線的交點(diǎn)，過作垂足分別為則而又．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確配方求出a，b，c的值并判斷三角形是直角三角形．三、解答題：13．根據(jù)下列條件，判斷以為邊的三角形是不是直角三角形．(1)，，．(2)，，．(3)，，．【答案】(1)是直角三角形(2)不是直角三角形(3)是直角三角形【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可；（2）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可；（3）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可；【詳解】（1）∵，∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形；（2）∵，即較小的兩邊的平方和不等于最長(zhǎng)的邊的平方，∴以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形；（3）∵，∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理，解題關(guān)鍵是牢記“如果一個(gè)三角形有兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形”．14．已知滿足．(1)求的值；(2)試問以為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)不能構(gòu)成直角三角形，見解析【分析】（1）利用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零，確定a，b，c的值即可；（2）根據(jù)勾股定理得逆定理直接判斷即可得解；【詳解】（1）∵，∴，，＝0，∴，，；（2）∵，∴不能構(gòu)成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)及勾股定理逆定理，熟練掌握非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知在中，，D是上一點(diǎn)，且，．求證：是直角三角形．【答案】見解析【分析】先計(jì)算出的三條邊長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理判定是是直角三角形．【詳解】證明：∵，，∴，∵，，∴，∴，即是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是求出三邊并且滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方．16．如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）【答案】為直角三角形，理由詳見解析.【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：如圖所示.圖1

圖2如圖1，在中，，，因?yàn)?，所以，即為直角三角?如圖2，在中，.在中，.在中，.所以，所以，即為直角三角形.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵.17．在的三邊分別是，且，判斷的形狀，證明你的結(jié)論．【答案】直角三角形，理由見解析【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：∵∴，，，∴，故是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會(huì)利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形是解答的關(guān)鍵．能力提升篇一、單選題：1．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)A到直線的距離是2【答案】A【分析】求出AC，AB，根據(jù)三角形的面積公式可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷B；根據(jù)勾股定理可判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線距離的意義可判斷D．【詳解】解：B、∵，，，∴，∴∠BAC＝90°，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；A、∵∠BAC＝90°，，，∴，本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；C、由勾股定理得：，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；D、設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為h，∵，∴，∴h＝2，即點(diǎn)A到直線BC的距離是2，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．2．已知的三邊之比為，其中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的長(zhǎng)不可能是（

）A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.5【答案】A【分析】由，設(shè)AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，從而求得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由，設(shè)AC=x，BC=x，AB=2x，∵，∴2x=12，解得x=6，∴AC=6，BC=，∴，，∴，∴∠ACB=90°，∴AC，∵點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴即，故B、C、D不符合題意，A項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理及垂線段最短，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．二、填空題：4．如圖，在網(wǎng)格紙中，有A、B兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C，使得是直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是__________個(gè)．【答案】8【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)的位置如，其中，，AB=2，由勾股定理得：，為直角三角形，同理：為直角三角形，網(wǎng)格中其他點(diǎn)C如圖所示，所以格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)△ABC是直角三角形得出多種情況解答．5．如圖，在中，，且周長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)以每秒2cm的速度移動(dòng)．若同時(shí)出發(fā)，則過秒時(shí)，的面積為___________．【答案】18【分析】首先設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算求解．【詳解】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長(zhǎng)為36cm，則AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，解得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．故答案為：18．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面積．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，，是的平分線，若、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是