重慶市南開中學2023-2024學年高一下學期3月月考數(shù)學試題

重慶南開中學校高2026級數(shù)學測試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理，結合題中所給的條件，求得結果.【詳解】根據(jù)正弦定理可得，即，解得，故選：B.【點睛】該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有利用正弦定理解三角形，屬于基礎題目.2.已知向量,則ABC=A.30 B.45 C.60 D.120【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意，得，所以，故選A．【考點】向量的夾角公式．【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題．3.下列各式中不能化簡為的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量加、減運算法則及運算律計算可得.【詳解】對于A：，故A不合題意；對于B：，故B滿足題意；對于C：，故C不合題意；對于D：，故D不合題意.故選：B4.已知單位向量，滿足，若向量，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出，及，從而利用向量余弦夾角公式計算得到，再利用同角三角函數(shù)平方關系求出.【詳解】因為，是單位向量，所以，又因為，，所以，，所以，因為，所以．故選：B．5.若平面向量，滿足，則對于任意實數(shù)，的最小值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設向量夾角為，設與的夾角為，利用和，得到，進而得到的最小值【詳解】由題意得，設向量夾角為，則，，設與的夾角為，，，，，故選：A【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于利用，得到，關鍵點在于根據(jù)與的夾角，得出的最小值，難度屬于中檔題6.如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點，G為EF上的一點，且，則實數(shù)m的值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可根據(jù)條件得出，并可設，然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運算即可得出，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出即可．【詳解】解：，F(xiàn)為BC的中點，，設，又，，解得.故選：A.【點睛】本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，平面向量基本定理，考查了計算能力，屬于中檔題．7.所在平面內(nèi)一點滿足，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用作為基底表示出.即可求得，由余弦二倍角公式即可求得.【詳解】所在平面內(nèi)一點，所以因為所以由余弦二倍角公式可得故選：C【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的簡單應用，屬于基礎題.8.已知函數(shù)，若實數(shù)a、b、c使得對任意的實數(shù)恒成立，則的值為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，由此得出方程組，分和，兩種情況討論，即可求解.【詳解】設，可得，其中，且，因為實數(shù)使得對任意的實數(shù)恒成立，即恒成立，即恒成立，所以由上式對任意恒成立，故必有，若，則由式①知，顯然不滿足式③，所以，所以，由式②知，則，當時，則式①，③矛盾.所以，由式①，③知，所以.故選：B.【點睛】知識方法：有關三角函數(shù)綜合問題的求解策略：1、根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進而加深理解函數(shù)的性質(zhì).2、熟練應用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結合數(shù)形結合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知、、均為非零向量，下列命題錯誤的是（）A.， B.可能成立C.若，則 D.若，則或【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量積的定義可判斷A選項；利用特例法可判斷BCD選項.【詳解】仍是向量，不是向量，A錯；不妨取，，，則，，此時，B對；若，，，則，但，C錯；若，，則，但，，D錯.故選：ACD.10.若直線與函數(shù)圖象交于不同的兩點，，已知點，為坐標原點，點滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】首先判斷的奇偶性，即可判斷A，從而得到、兩點關于原點對稱，再根據(jù)平面向量的坐標運算求出、，即可判斷B、C，設，則，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算判斷D.【詳解】對A，因為定義域為，則，，故A錯誤；對B，由，所以，所以為奇函數(shù)，又直線與函數(shù)圖象交于不同的兩點，，則、兩點關于原點對稱，且、的中點為坐標原點，所以，又，，所以，解得，所以，則，又，所以，故B錯誤；對C，又，故C正確；對D，不妨設，則，所以，，，，所以，故D正確.故選：CD11.已知，且方程無實數(shù)根，下列命題正確的是（）A.方程也一定沒有實數(shù)根B.若，則不等式對一切實數(shù)都成立C.若，則必存在實數(shù)，使成立D.若，則不等式對一切實數(shù)都成立【答案】ABD【解析】【分析】依題意可得函數(shù)的圖象與直線沒有交點，所以或恒成立，從而得到或恒成立，然后再逐一判斷即可得出答案.【詳解】因為方程無實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線沒有交點，所以或恒成立.因為或恒成立，所以沒有實數(shù)根，故A正確；若，則不等式對一切實數(shù)都成立，故B正確；若，則不等式對一切實數(shù)都成立，所以不存在實數(shù)，使，故C錯誤；若，則，可得，因此不等式對一切實數(shù)都成立，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為_____（用坐標表示）．【答案】【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定義求解.【詳解】向量在向量上的投影向量是，故答案為：.13.如圖，在和中，是的中點，，，若，則與的夾角的余弦值等于______.【答案】【解析】【分析】由題設得，由求，又，即可得，進而求與的夾角的余弦值.【詳解】由圖知：，，∴，又，且，，∴，∴，而，即，又，∴.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)幾何圖形，結合向量加減法的幾何應用及數(shù)量積的運算律，得到，進而求向量夾角余弦值.14.已知平面向量，，，，滿足，，，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先將所求向量式轉(zhuǎn)化變形，參變向量分離，再由變形向量式的幾何意義判斷最值狀態(tài)，最后坐標運算求解最值.【詳解】設，則設，，不妨設，，，，，即為的重心.則，點位于圓上或圓內(nèi)，故當在射線與圓周交點時，最大，即最大時.由得，.當且僅當時，取到最大值.故答案為：.【點睛】向量式的最值問題求解，要重視三個方面的分析：一是其本質(zhì)上與函數(shù)的最值求解一致，變形時要搞清參變向量，從而把握變形方向；二是要重視向量本身數(shù)形兼具的特點，利用幾何意義求解最值；三是坐標應用，向量坐標化將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在△中，為中線上一點，且，過點的直線與邊，分別交于點，.（1）用向量，表示；（2）設向量，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，結合向量線性運算，再用，表達即可；（2）用，表達，結合三點共線即可求得.【小問1詳解】∵中線上一點，且，∴；小問2詳解】∵，，，∴，又，，三點共線，∴，解得，故的值為.16.在平面直角坐標系中，為坐標原點，點，，滿足.（1）求的值；（2）已知，，，若函數(shù)最大值為3，求實數(shù)的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】(1)化簡得，即得的值；（2）先求出，再換元利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求實數(shù)的值.【詳解】（1）由題意知，，即，所以，即.（2）易知，，，則，，所以，令，則，，其對稱軸方程是.當時，的最大值為，解得；當時，的最大值為，解得（舍去）.綜上可知，實數(shù)的值為.【點睛】本題主要考查向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積，考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.17.如圖，在等腰梯形中，，，，是的中點.（1）記，且，求，值；（2）記，是線段上一動點，且，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，將兩邊平方，結合數(shù)量積的運算律及定義得到方程，解得即可；（2）建立平面直角坐標系，利用坐標法表示出數(shù)量積，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1詳解】依題意，所以，即，即，又，解得，（負值舍去）；【小問2詳解】過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，，，，，所以，，，因為，所以所以，所以，令，，設且，則，當時，，則，又，所以；當時，，則，又，所以；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，且，所以，所以，即的取值范圍為.18.如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點（O為圓心），且（為銳角）.點C為單位圓上的動點，線段交線段于點.（1）求（結果用表示）；（2）若①求的取值范圍：②設，記，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義以及幾何意義結合圖形分析運算；（2）①根據(jù)數(shù)量積結合三角函數(shù)運算求解；②結合圖形分析可得，根據(jù)向量的相關知識運算整理，再結合函數(shù)單調(diào)性與最值，運算求解.【小問1詳解】【小問2詳解】①.設.由題意得，則所以因為，則所以，則；（2）設，則，所以，由得，即，整理得，所以，所以.即.，令∵，則，即∴在上單調(diào)遞增，則所以函數(shù)值域是.19.如圖所示，為等邊三角形，，為的內(nèi)心，點在以為圓心，為半徑的圓上運動.（1）求出的值.（2）求的范圍.（3）若，當最大時，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）以為原點，為軸建立平面直角坐標系如圖所示，依題意點在圓上，設，即可表示，，，根據(jù)平面向量模的坐標表示及同角三角函數(shù)的基本關系計算可得；（2）由（1）知，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系，得到，又，兩邊同除，令，，將原式化為，再根據(jù)求出的