2023年天津市東麗區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷及答案

2023年天津市東麗區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷及答案

一、選擇題(本大題共12小題，共36.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.下列給出的方程中，屬于一元二次方程的是()

A.x(x-1)=6B.x2+-x/x+1=0C.(x-3)(x-2)=x2D.

ax2+bx+c=0

【答案】A

【解析】

【分析】一元二次方程必須滿足四個條件：

(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(2)二次項系數(shù)不為0；

(3)是整式方程；

(4)含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進(jìn)行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.

【詳解】A.該方程化簡為選X2-X-6=0符合一元二次方程的定義，所以它是一元二次方程,

故本選項正確；

B.該方程不是整式方程，故本選項錯誤；

C.該方程中化簡未知數(shù)x的最高次數(shù)是1,所以它不是一元二次方程，故本選項錯誤；

D.該方程中要規(guī)定a#0,所以它不是一元二次方程，故本選項錯誤；

故答案選：A.

【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程

的定義.

2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是()

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，不符合題意；

c、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、中心對稱圖形，符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查中心對稱圖形的識別.熟練掌握中心對稱圖形的定義：一個平面圖形，繞

一點旋轉(zhuǎn)180。，與自身完全重合，是解題的關(guān)鍵.

3.將二次函數(shù)丁=2必的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象

的表達(dá)式是（）

A.y=2（x+2y+3B.y=2（x+2）2-3

C.y=2（x-2）2-3D.y=2（x-2）2+3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平移的規(guī)律進(jìn)行求解即可得答案.

【詳解】將二次函數(shù)y=2V的圖象向右平移2個單位，可得：y=2（x-2）2

再向下平移3個單位，可得：y=2（x-2）2-3

故答案為：C.

【點睛】本題考查了平移的規(guī)律：上加下減，最加右減，注意上下平移動括號外的，左右平

移動括號里的.

4.若關(guān)于x的一元二次方程（。+1）%2+無+/—1=。的一個根是o,貝匹的值為（）

A.1B.-1C.+1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】把X=0代入方程（。+1）*+*+/—1=0,得出4―i=o,然后解關(guān)于a的方

程后利用一元二次方程的定義確定滿足條件的a的值.

【詳解】解：把X=0代入方程（。+1）%2+X+〃-1=0

得4-1=0，解得%=1,a2=-l,

而。+1wO,

所以。=1.

故選：A.

【點睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元

二次方程的解.

5.拋物線y=2必+1的頂點坐標(biāo)是（）

A.(2,1)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,2)

【答案】B

【解析】

[詳解]\'y=2x2+l=2(x-0)2+1,

拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,1）,

故選B.

6.如圖，在AABC中，AB=2,BC=3.6,ZB=60，將AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)度得

到A4DE,當(dāng)點8的對應(yīng)點。恰好落在8C邊上時，則的長為（）

B.1.8C.2D.2.6

【答案】A

【解析】

【分析】由將4ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到aADE,當(dāng)點B的對應(yīng)點D恰好落在

BC邊上,可得AD=AB,又由NB=60°,可證得4ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2,則

可求得答案.

【詳解】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AD=AB,

ZB=60，AD=AB,

，AADB為等邊三角形,

/.BD=AB=2,

：.CD=CB-BD=1.6,

故選A.

【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=AB

7.二次函數(shù)y=2x?—8x+l的最小值是（）

A.7B.-7C.9D.-9

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最值進(jìn)而得出答案.

y=2x2—8x+1=2(x2-4x)+1

【詳斛】=2[(X—2)2_4]+]=2(X-2)2_7

...當(dāng)x=2時，y有最小值-7

故選B

8.受新冠肺炎疫情影響,某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月份的300萬元,連續(xù)兩個月降至260萬元，

設(shè)平均降低率為x,則可列方程()

A.300(1-X)2=260B.300(l-x2)=

260C.300(l-2x)=

260D.300(1+X)2=260

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)該企業(yè)元月份及經(jīng)過兩個月降低后的生產(chǎn)總值，即可得出關(guān)于x的一元二次方

程，此題得解.

【詳解】解:由題意可得，元月份為300萬元，2月份為300(1-x),3月份為300(1-x)

2=260.

故選：A.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

9.一元二次方程尤②―4x—l=0配方后可化為()

A.(尤+2)2=5B.(x+2)2=3C.(x—2)2=5D.

(%-2『=3

【答案】C

【解析】

【分析】先把-1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4,再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完

全平方的形式.

2

【詳解】解：X-4X-1=0

x2-4x^=1

x2—4x+4=l+4

(x-2)2=5

故選C.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成(》+機(jī))2=〃(1120)的

形式，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

10.如圖，以某網(wǎng)格線所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，將△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°得到ADEF,

已知點A(2,-1),點P的坐標(biāo)為()

【答案】c

【解析】

【分析】先根據(jù)點A作標(biāo)，利用平移找到坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，確定點D的坐標(biāo)，

然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，點P為AD的中點，利用中點坐標(biāo)公式求解即可.

【詳解】根據(jù)點A(2,-1)先作平移兩個單位，再向上平移一個單位得坐標(biāo)原點，建立如

圖平面直角坐標(biāo)系，點D(0,-5),

點P是旋轉(zhuǎn)中心，

；.P是AD連線中點，

0+2-5-1

/.P點的橫坐標(biāo)為二=1,縱坐標(biāo)為——=-3,

22

...點P坐標(biāo)為(1,-3).

故選擇C.

【點睛】本題考查圖形與坐標(biāo)，平移性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，掌握圖形與坐標(biāo)，平移性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性

質(zhì)是解題關(guān)鍵，本題難度不大是常考題.

11.若A(—2,yJ,B(-l,y2),。(2,%)為二次函數(shù)y=d+2x+2的圖像上的三點，則

X、%、%的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先計算拋物線的對稱軸，在計算各點與對稱軸的水平距離，根據(jù)拋物線開口向上,

距離越大，函數(shù)值也越大比較即可.

【詳解】解：,.,>=%2+2%+2,

，對稱軸為直線x=———=-1,且a=1>0，

2x1

VA（-2,y1）,5（-1,%）,C（2,%）,

/.點A到對稱軸直線x=-1的距離為服=T一（一2）=1，

點B到對稱軸直線x=-l的距離為dB=-1-（-1）=0,

點C到對稱軸直線x=-l的距離為dc=2-（-1）=3,

V0<1<3,

dB<dA<dc,

根據(jù)拋物線開口向上，離對稱軸越近，函數(shù)值越小，

?1?為<%<%.

故選：C.

【點睛】本題考查了拋物線的增減性，熟練掌握拋物線開口向上，離對稱軸越近，函數(shù)值越

小是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，拋物線丁=奴2+陵+。（。/0）與苫軸交于點4-1,0）和3,與V軸交于點C.下

列結(jié)論：?abc<0；②2a+Z?<0；@4-a-2b+c>0；④3a+c>0,其中正確的結(jié)論個

數(shù)為（）

【答案】B

【解析】

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與。的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，

進(jìn)而判斷①；根據(jù)對稱軸〈1求出2a與b的關(guān)系，進(jìn)而判斷②；根據(jù)x=-2時，y>0可判斷

③；由X=-1和2a與b的關(guān)系可判斷④.

【詳解】,?,拋物線開口向上，

a>0,

???對稱軸在y軸右邊，

b

----〉0,即b<09

2a

???拋物線與y軸的交點在犬軸的下方，

???cv0,

abc>0，故①錯誤；

b

對稱軸在1左側(cè)，，----<1

2a

.\-b<2a,即2a+b>0,故②錯誤；

當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c>0,故③正確；

當(dāng)x二T時,拋物線過x軸，即a-b+c=O,

??b=a+c,

又2a+b>0,

2a+a+c>0,即3a+c>0,故④正確；

故答案選：B.

【點睛】此題考查二次函數(shù)圖像位置與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，共18.0分)

13.方程x2=4的解是.

【答案】x=±2

【解析】

【分析】直接運用開平方法解答即可.

【詳解】解：???X2=4

**?x—iy/4~±2.

故答案為x=+2.

【點睛】本題主要考查了運用開平方法求解一元二次方程，牢記運用開平方法求的平方根而

不是算術(shù)平方根是解答本題的關(guān)鍵，也是解答本題的易錯點.

14.若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)X2+3X-1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是.

【答案】左，一9且片片1

4

【解析】

【詳解】試題解析：由題意知，k/1.

:方程有實數(shù)根，

A=32—4x(左一1)x(—1)=5+4左20,

k-S-—且左wl.

4

故答案為左3且左wi.

4

15.有一個人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均一

個人傳染了個人.

【答案】12

【解析】

【分析】設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流

感，列方程求解

【詳解】解：設(shè)平均一人傳染了x人，

x+l+(x+1)x=169

解得：x=12或x=-14(舍去).

???平均一人傳染12人.

故答案為：12.

【點睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是看到兩輪傳染，從而可列方程求解.

16.如圖，拋物線>=奴2+/?》+。的對稱軸為x=l,點P,點Q是拋物線與x軸的兩個交

點，若點P的坐標(biāo)為(4,0),則點Q的坐標(biāo)為.

【答案】(-2,0)

【解析】

【詳解】???拋物線》=?%2+bx+c的對稱軸為兀=1,點p,點Q是拋物線與x軸的兩個交

點，

/.點P和點Q關(guān)于直線％=1對稱，

又：點P的坐標(biāo)為(4,0),

...點Q的坐標(biāo)為(-2,0).

故答案為(-2,0).

17.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，ZAOB=ZB^30°,

OA=2,將一AOB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應(yīng)點笈的坐標(biāo)是

【答案】(-A/3,3)

【解析】

【分析】作軸于H,由題可得Q4'=A8=2,N6'A'〃=60°,即可求出37/和

OH,由第二象限點的特征橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)縱坐標(biāo)為正數(shù)即可

【詳解】解：如圖，作軸于H.

由題意：OA=AB'=2,ZB'AH=60°,

：.ZAB'H=30°,

：.AH'=^A'B'=1,B'H=6,

：.OH=3,

川-百,3).

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

18.如圖，把拋物線丫=!(平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點A(-6,0)和原點0(0,

0),它的頂點為P,它的對稱軸與拋物線丫=!(交于點Q,則圖中陰影部分的面積為.

y.

p

27

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)點0與點A的坐標(biāo)求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點P的坐標(biāo)，過點

P作PM，y軸于點M,根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于四邊形NPMO的面積，然

后求解即可.

【詳解】過點P作PM±y軸于點M,設(shè)PQ交x軸于點N,

:拋物線平移后經(jīng)過原點0和點A(-6,0),

平移后的拋物線對稱軸為x=-3.

.?.平移后的二次函數(shù)解析式為：y=1(x+3)2+h,

19

將(-6,0)代入得出：0=—(-6+3)2+h,解得：h=---.

22

-9

???點P的坐標(biāo)是(一3,---).

2

根據(jù)拋物線對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPM0的面積,

°927

S=3x—=—,

22

27

故答案為：—

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出平移后的拋物線的對稱軸的

解析式，并對陰影部分的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.解下列方程：

（1）X2+2X-4=0（配方法）；

（2）3X2-6X-2=0（公式法）.

【答案】（1）—1，%2=-75-1

3+7153-V15

1323

【解析】

【分析】（1）先把常數(shù)項移到等號的另一邊，配方后利用直接開平方法求解；

（2）先確定二次項、一次項系數(shù)及常數(shù)項，代入求根公式即可.

【小問1詳解】

解：移項，得x?+2x=4,

配方，得x，2x+l=5,

（x+1）2=5,

,,X+1=±>

玉=y/5—1,X,=—y/5—1-

【小問2詳解】

解：'.'a—3,b=-6,c—-2,

A=Z?2-4ac=36+24=60>0，

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根，

.-b+ylb2-4ac6±7603土岳

??X---------------=--------=--------，

2a63

.3+V153-厲

【點睛】本題考查解一元二次方程，熟記求根公式及配方法的技巧，掌握配方法及公式法解

一元二次方程的步驟是解題關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為4（1,3）,5（2,5）,C（4,2）

（每個方格的邊長均為1個單位長度）

B

（1）將平移，使點A移動到點4,請畫出△ABG；

（2）作出一A3。關(guān)于。點成中心對稱的&G，并直接寫出A，B2,。2的坐標(biāo)?

【答案】（1）作圖見解析部分；

（2）作圖見解析部分；&（—1,—3）,與（—2,—5）,C2（—4；—2）

【解析】

【分析】（I）利用平移變換的性質(zhì)分別作出B,C的對應(yīng)點用，G即可；

（2）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點a，§2，02，便可得坐標(biāo).

【小問1詳解】

如圖，為所作.

【小問2詳解】

如圖，.,432。2為所作，1,—3）,62（—2,—5）,G（T，—2）

【點睛】本題考查作圖-平移變換，中心對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性

質(zhì)，中心對稱變換的性質(zhì).

21.已知關(guān)于x的方程f—47nx+4帆2—9=0.

（1）求證：該方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若該方程有一個根-1,求用的值.

【答案】（1）見解析；（2）1或-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可證明；

（2）把方程的根代入原方程即可求解.

【詳解】(1)證明：A(-4m)2-4x1x(4m2-9)=36

.,.A>0

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)把％=-1代入原方程，得4〃，+4〃L8=0

解得:=1,m2=-2.

【點睛】此題主要考查根的判別式與方程的根，解題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根的判別式

特點及應(yīng)用.

22.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,-3),且頂點坐標(biāo)為(-1,-4).

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A、B,與y軸的交點為C,求AABC的面積.

【答案】(1)y=(x+1)°-4或y=x°+2x-3；(2)6

【解析】

【分析】(1)先設(shè)所求函數(shù)解析式是y=a(x+1)2-4,再把(0,-3)代入，即可求a,進(jìn)

而可得函數(shù)解析式；

(2)令函數(shù)等于0,解關(guān)于x一元二次方程，即可求A、B兩點的坐標(biāo)；從而可得AABC的

面積等于ABX0C的一半.

【詳解】解：(1)設(shè)y=a(x+1)2-4,把點(0,-3)代入得：a=l,

函數(shù)解析式y(tǒng)=(x+1)°-4或y=x2+2x-3；

(2)VX2+2X-3=0,

解得xi=l,Xz=-3,

?.A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),

」.△ABC面積=—倉K3=6.

23.如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園ABCD,

墻

C

“菜園

q1--------------B

(1)在墻的長度不限的條件下，當(dāng)AB邊長為多少米時，菜園的面積最大為多少？

(2)在墻的長度為14米的條件下，當(dāng)AB邊長為多少米時，菜園的面積最大為多少？

【答案】(1)當(dāng)AB邊長為15米時，菜園的面積最大為——平方米；(2)當(dāng)AB邊長為14

2

米時，菜園的面積最大為H2平方米

【解析】

【分析】(1)設(shè)AB邊的長為x米，菜園的面積為y平方米，則BC邊的長為3(30^)米,

根據(jù)矩形的面積公式即可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值

問題；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得出，在0WxW14中，y值隨x值的增大而

增大，代入x=14即可求出y的最大值.

【詳解】解：(1)設(shè)AB邊的長為x米，菜園的面積為y平方米，則BC邊的長為g(30-x)

米，

根據(jù)題意得：y=；(30—x)x=—；x°+15x=—；(x—15)

2222

a=—；<0,

225

...當(dāng)x=15時，y取最大值，最大值為——.

2

225

答：當(dāng)AB邊長為15米時，菜園的面積最大為——平方米.

2

(2):在0WxW14中，y值隨x值的增大而增大，

.?.當(dāng)x=14時，y取最大值，最大值為112.

答：當(dāng)AB邊長為14米時，菜園的面積最大為112平方米.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及矩形的面積，解題

的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)矩形的面積公式找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

找出：在0WxW14中，y值隨x值的增大而增大.

24.如圖，點0是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，ZB0C=150°,將△B0C繞點C按順時針方向

旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到AADC,連接0D,OA.

D

/OjZ\\

B^---------——==="iC

(1)求NODC的度數(shù)；

(2)試判斷AD與OD的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若0B=2,0C=3,求A0的長(直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)60°(2)AD1.OD,見解析

(3)AO=V13

【解析】

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形0DC為等邊三角形即可求解；

(2)將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△ADC,可知NADC=NB0C=150°,

即得/AD0=/ADC-/0DC=90°,故AD_LOD；

(3)在RtZ\AOD中，由勾股定理即可求得A0的長.

【小問1詳解】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CO,ZOCB=ZDCA.

：.ZACO+Z.OCB=ZACO+ZDCA,即NACB=ZDCO.

：,ABC為等邊三角形，；.ZACB=60°.

AZDCO=60°.AOCD為等邊三角形，NODC=60°.

【小問2詳解】

ADYOD.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZBOC=ZADC=150°.

?/ZODC=60°,ZADO=ZADC-ZODC=90°.

即A￡)_LOr).

【小問3詳解】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AD=0B=2,

VA0CD為等邊三角形，

.?.0D=0C=3,

在Rt^AOD中，由勾股定理得：

A0=7AD2+(9D2

=@+33

【點睛】本題考查等邊三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及直角三角形判定、勾股定理等知識，解題

的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀.

25.己知，如圖拋物線〉=依2+3狽+°(。＞0)與y軸交于點。，與x軸交于A,B兩點、,

點A在點B左側(cè)，點8的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB.

(2)若點。橫坐標(biāo)為-2,且是拋物線上的點，求四邊形A3CD面積；

(3)若點E在x軸上，點p在拋物線上，是否存在以A,C,E，P為頂點且以AC為

一邊的平行四邊形？若存在，寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3Q

【答案】(1)J=-X2+-X-3

-44

(2)13.5

,.大六p/oa、pf-3-V41f-3+A/41

(3)存在《(-3,-3),P2-------,3，月--------,3

IJI7

【解析】

【分析】⑴根據(jù)0c=305,8(1,0),求出C點坐標(biāo)(0,—3),把點8,C的坐標(biāo)代入

y=ax1+3ax+c,待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)過點。作DE〃y軸分別交線段AC于點E.根據(jù)題意得出D,E的坐標(biāo)，把S四邊形

分解為SABC+SACD，分別進(jìn)行計算即可求解；

(3)①過點。作C4〃x軸交拋物線于點《，過點A作《耳〃AC交x軸于點片，此時

四邊形為平行四邊形.②平移直線AC交x軸于點E,交x軸上方的拋物線于點

鳥，鳥，由題意可知點鳥、鳥的縱坐標(biāo)為3,從而可求得其橫坐標(biāo).

小問1詳解】

解：5的坐標(biāo)為(1,0),

:.OB=1.

OC=3OB=3,點。在x軸下方，

,-.C（0,-3）.

將B（1,O）,C（0,—3）代入拋物線的