湖北省高中名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月一模測評試題數(shù)學(xué)

2024屆高三三月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19題．滿分150分．考試用時120分鐘．考試時間：2024年3月27日下午15：00—17：00注意事項：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．2 C． D．2．已知集合，，若定義集合運算：，則集合的所有元素之和為（）A．6 B．3 C．2 D．03．畫條直線，將圓的內(nèi)部區(qū)域最多分割成（）A．部分 B．部分C．部分 D．部分4．某運動愛好者最近一周的運動時長數(shù)據(jù)如下表：星期一二三四五六日時長（分鐘）6015030601090120則（）A．運動時長的第30百分位數(shù)是30 B．運動時長的平均數(shù)為60C．運動時長的極差為120 D．運動時長的眾數(shù)為605．已知數(shù)列中，，，，則下列說法不正確的是（）A． B．C．是等比數(shù)列 D．6．若，則（）A．88 B．87 C．86 D．857．已知函數(shù)，，若有兩個零點，則（）A． B． C． D．8．以表示數(shù)集中的報小值，已知不全為0的實數(shù)x，y，二元函數(shù)，則的最大值為（）A．0 B． C．1 D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)為函數(shù)的一個極值點，則（）A． B．C． D．10．已知拋物線，過的焦點的直線與交于A，B兩點，設(shè)的中點為，分別過A，B兩點作拋物線的切線，相交于點，則（）A．點必在拋物線的準(zhǔn)線上B．C．面積的最小值為D．過作直線的平行線交軸于點，則11．已知函數(shù)，則（）A．當(dāng)時，方程無解B．當(dāng)時，存在實數(shù)使得函數(shù)有兩個零點C．若恒成立，則D．若方程有3個不等的實數(shù)解，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知數(shù)列中，，，，則的前項和__________．13．已知直線與橢圓交于A，B兩點，與橢圓交于C，D兩點，若，則實數(shù)__________．14．所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體．在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫作擬柱體的高．現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，且下底面邊長為4，上底面各頂點在下底面的射影點為下底面各邊的中點，高為2，則該擬柱體的體積為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解笞應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）判斷的形狀；（2）若在邊上，且，，以和為邊，，向外作兩個正方形，求這兩個正方形面積和的最小值．16．（15分）如圖，已知三棱錐中，平面底面，平面，且，．（1）求三棱錐的體積；（2）已知，求平面與平面所成二面角的正弦值．17．（15分）已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)有三個不同零點的必要條件是；（2）由代數(shù)基本定理，次復(fù)系數(shù)多項式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有個根（重根按重數(shù)計算）．若，證明：方程至多有3個實數(shù)根．18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點為圓心，a，b（，，a，b為定值）為半徑分別作同心圓，，設(shè)為圓上任一點（不在軸上），作直線，過點作圓的切線與軸交于點，過圓與軸的交點作圓的切線與直線交于點，過點，分別作軸，軸的垂線交于點．（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)，點，，過點的直線與軌跡交于A，B兩點（兩點均在y軸左側(cè)）．（i）若，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為，求的值；（ii）若點是曲線上（軸左側(cè)）的點，過點作直線與曲線在處的切線平行，交于點，證明：的長為定值．19．（17分）設(shè)的所有可能取值為，稱（）為二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列，用表格表示為：YX…………1仿照條件概率的定義，有如下離散隨機變量的條件分布列：定義，對于固定的，若，則稱為給定條件下的條件分布列．離散隨機變量的條件分布的數(shù)學(xué)期望（若存在）定義如下：．（1）設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列為YX123410.10.30.20.620．050.20.150.40.150.50.351求給定條件下的條件分布列；（2）設(shè)為二維離散隨機變量，且存在，證明：；（3）某人被困在有三個門的迷宮里，第一個門通向離開迷宮的道，沿此道走30分鐘可走出迷宮；第二個門通一條迷道，沿此迷道走50分鐘又回到原處；第三個門通一條迷道，沿此迷道走70分鐘也回到原處．假定此人總是等可能地在三個門中選擇一個，試求他平均要用多少時間才能走出迷宮．2024屆高三三月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分細(xì)則1．B【解析】因為，所以，選B．2．A【解析】因為，所以集合的所有元素之和為6，選A．3．B【解析】設(shè)畫條直線，將圓最多分割成部分，有，，所以，選B．4．D【解析】數(shù)據(jù)排序為：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位數(shù)為60，A錯；平均數(shù)為，B錯；極差為140，C錯；眾數(shù)為60，D對．選D．5．D【解析】由，，得，所以，，故，，ABC正確，選D．6．A【解析】易知，當(dāng)時，，所以，而，所以，選A．7．C【解析】由，得或，所以或，由，所以，，A、B錯誤．，C正確，，D錯誤，選C．8．C【解析】易知．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，選C．9．AC【解析】由，，有，，，A正確，B錯誤；是函數(shù)圖象的對稱軸，C正確；是函數(shù)的對稱中心，D錯誤，選AC．10．ABC【解析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立有，設(shè)，，有，，，的斜率分別為，，有，，解得，所以A正確；，，經(jīng)計算，，B正確；對C，，易知當(dāng)時取最小值，C正確；對D，由于軸，所以四邊形為平行四邊形，所以，而，D錯誤，選ABC．11．BCD【解析】對A，，，，令，，易知，，，，所以，方程有解，A錯誤；對B，有兩個零點0，所以當(dāng)時，有兩個零點，正確；對C，若恒成立，即恒成立，即恒成立，令，則，令，則，所以在是增函數(shù)，又，，因此，，使得①，所以當(dāng)時，，即，則在上是減函數(shù)，當(dāng)時，，即，則在上式增函數(shù)，則②，由①得，又設(shè)，易知在是增函數(shù)，所以③，將③代入②得，因此，正確．對D，或，即或兩個方程有3個解，令，，可知在上遞減，在上遞增，且當(dāng)時，從而，從而，正確．選BCD．12．，所以，，所以，所以．填：13．將直線方程分別與兩個橢圓方程聯(lián)立，有，，設(shè)，，，，有，，所以線段與的中點重合，故，所以．填：1．14．過上底頂點向下底作垂線，可得該擬柱體的體積為中間正六棱柱的體積與外側(cè)6個四棱雉的體積之和，上底面邊長為，正六棱柱的體積，四棱錐的體積為，從而擬柱體的體積為．填：．15．（1）由及正弦定理可得，．整理有．從而，或．而，所以是直角三角形．（2）由（1）知，，設(shè)，，在中，由正弦定理，，．同理在中，．所以兩個正方形面積和．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以兩個正方形面積和的最小值為．16．（1）取中點為，連結(jié)，由，平面，所以．．又平面底面，所以平面．所以．所以底面．從而的體積為．（2）由（1）以為原點，過點作平行線為軸，，分別為x，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．有，，，．，，．設(shè)為平面的法向量，，，有．平面的法向量．有．所以平面與平面所成二面角的正弦值為．17．解：（1），其判別式．若函數(shù)有三個不同零點，則必有極大值點與極小值點．故，從而其必要條件為．（3）令．．．．由，可知．所以在定義域上單調(diào)遞增，則其僅有唯一零點，不妨記為，可知在上，在上，故先減后增．所以至多有兩個不同的零點，不妨設(shè)為，，從而在上遞增，，遞減，遞增．從而至多有三個不同零點．所以方程至多有3個實數(shù)根．18．（1）設(shè)，則．過的切線方程為，所以由和，得．設(shè)，則即由，得為所求的方程．（2）設(shè)內(nèi)切圓圓心為，點G，H，J分別為圓與，，的切點．（i）由（1）可知，軌跡是以為焦點的雙曲線，由雙曲線定義可知，，，．由，有，r為內(nèi)切圓的半徑．從而，有．又，所以切點與重合，設(shè)，有，．聯(lián)立有，所以．（ii）設(shè)，過點作的角平分線，交軸于點，設(shè)，，，由角平分線定理，，有，解得．從而．設(shè)切線為，與雙曲線方程聯(lián)立，解得，所以切線即為，從而．延長至，使得，連結(jié)，有，設(shè)過原點的與處切線平行的直線與交于點，由于為中點，所以為中點，又，所以．從而．所以．19．（1）因為，所以用第一行各元素分別除以0