2024拋物線中焦點(diǎn)弦的有關(guān)問題

2024拋物線中焦點(diǎn)弦的有關(guān)問題拋物線中焦點(diǎn)弦的有關(guān)問題一直以來，焦點(diǎn)弦都是《圓錐曲線》中的重要知識點(diǎn)，也是高考中的熱點(diǎn)問題，針對“拋物線的幾何性質(zhì)”這節(jié)課，筆者認(rèn)為，教師在講完之后，可適當(dāng)延伸一些有關(guān)“焦點(diǎn)弦”的問題：F知識點(diǎn)1：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦。設(shè)，則（1）；（2）F證明：如圖，（1）若的斜率不存在時，依題意若的斜率存在時，設(shè)為則，與聯(lián)立，得綜上：（2）接上，，但（2）另證：設(shè)與聯(lián)立，得F知識點(diǎn)2：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦。設(shè)，則（1）（2）設(shè)直線的傾斜角為，則。F證明：（1）由拋物線的定義知（2）若由（1）知若聯(lián)立，得，而，F(xiàn)知識點(diǎn)3：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，則以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。F證明：過點(diǎn)分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為過中點(diǎn)向準(zhǔn)線引垂線，垂足為設(shè)以為直徑的圓的半徑為以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。F知識點(diǎn)4：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦。過點(diǎn)分別向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為則。F證明略F知識點(diǎn)5：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，則F證明：過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，而∽F知識點(diǎn)6：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，為拋物線的頂點(diǎn)，連接并延長交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)則F證明：設(shè)，則由知識點(diǎn)1知逆定理：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，過點(diǎn)作交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)則三點(diǎn)共線。證明略F知識點(diǎn)7：若是過拋物線的焦點(diǎn)的弦，設(shè)則F證法一：（1）若軸，則為通徑，而（2）若與軸不垂直，設(shè)，的斜率為，則與聯(lián)立，得由拋物線的定義知方法二：利用極坐標(biāo)系下拋物線的方程設(shè)則知識點(diǎn)8：已知拋物線中，為其過焦點(diǎn)的弦，則FF證明：設(shè)則而逆定理：已知拋物線中，為其弦且與軸相交于點(diǎn)，若且則弦過焦點(diǎn)。證明：設(shè)，，則=而而①又可設(shè)②由①②得恒過焦點(diǎn)可配套練習(xí)：1．過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，若與的長度分別為則（）A．B．C．D．2．直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，由分別向其準(zhǔn)線引垂線垂足分別為如果，為的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．3．直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)若則此拋物線方程可能為（）A．B．C．D．4．經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為其準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，記若則與的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．不確定5．設(shè)為拋物線的頂點(diǎn)，為其過焦點(diǎn)的弦，若，求6．以拋物線的一條焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，求此拋物線和圓的方程。當(dāng)然，在高考中，直線與拋物線的位置關(guān)系不僅僅考查焦點(diǎn)弦問題，有關(guān)拋物線的切線形成的幾何問題最近幾年也一直是高考的熱點(diǎn)，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，教師不妨再和學(xué)生一起來集中歸納總結(jié)，僅供讀者參考。魔術(shù)師的地毯一天，著名魔術(shù)大師秋先生拿了一塊長和寬都是1.3米的地毯去找地毯匠敬師傅，要求把這塊正方形地毯改成0.8米寬2.1米長的矩形．敬師傅對秋先生說：“你這位大名鼎鼎的魔術(shù)師，難道連小學(xué)算術(shù)都沒有學(xué)過嗎？邊長1.3米的正方形面積為1.69平方米，而寬0.8米長2.1米的矩形面積只有1.68平方米，兩者并不相等?。〕遣萌?.01平方米，不然沒法做．”秋先生拿出他事先畫好的兩張?jiān)O(shè)計(jì)圖，對敬師傅說：“你先照這張圖（圖1.2）的尺寸把地毯裁成四塊，然后照另一張圖（圖1.3）的樣子把這四塊拼在一起縫好就行了．魔術(shù)大師是從來不會錯的，你放心做吧！”敬師傅照著做了，縫好一量，果真是寬0.8米長2.1米．魔術(shù)師拿著改好的地毯滿意地走了，而敬師傅卻還在納悶兒：這是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能幫敬師傅解開這個謎嗎？

過了幾個月，魔術(shù)師秋先生又拿來一塊地毯，長和寬都是1.2米，只是上面燒了一個燒餅大小（約0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬師傅將地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但長和寬仍舊是1.2米．敬師傅很為難，覺得這位魔術(shù)大師的要求不合理，根本無法做到．秋先生又拿出了自己的設(shè)計(jì)圖紙，要敬師傅按圖1.4的尺寸將地毯剪開，再按圖1.5的樣子拼在一起縫好．敬師傅照著做了，結(jié)果真的得到了一塊長和寬仍是1.2米的地毯，而原來的窟窿卻消失了．魔術(shù)師拿著補(bǔ)好的地毯得意洋洋地走了，而敬師傅還在想，補(bǔ)那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里來的呢？你能幫敬師傅解開這個謎嗎？你準(zhǔn)備如何著手去揭開魔術(shù)大秘密呢？通常的辦法是根據(jù)他給的尺寸按某個比例（例如10：1）縮小，自己動手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，實(shí)際量一量，看看秘密藏在什么地方．這種做模型（或做實(shí)驗(yàn)）的方法，是科技工作者和工程技術(shù)人員通常采用的方法．這種方法要求操作和測量都非常精確，否則你就發(fā)現(xiàn)不了秘密．例如，按縮小后的尺寸，剪拼前后面積差應(yīng)為1平方厘米，如果在你操作和測量過程中所產(chǎn)生的誤差就已經(jīng)大于1平方厘米了，那么你怎能發(fā)現(xiàn)那1平方厘米的面積差出在什么地方呢？數(shù)學(xué)工作者在研究和解決問題時，通常采用另一種方法—數(shù)學(xué)計(jì)算，即通過精細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算來發(fā)現(xiàn)剪拼前后的面積差出在何處．現(xiàn)在我們先來分析第一個魔術(shù)。比較圖1.2和圖1.3將圖1.2中的四塊圖形分別記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（圖1.6），而將圖1.3中相應(yīng)的四塊分別記為，，，（圖1.7）．現(xiàn)在的問題是，圖1.6中的四塊能否拼得像圖1.7那樣“嚴(yán)絲合縫”、“不重不漏”？也就是說，圖1.7中所標(biāo)的各個尺寸是否全都準(zhǔn)確無誤？例如圖1.7中的為直角三角形，如果時，點(diǎn)是否恰好落在矩形的對角線上？同樣，如果時，點(diǎn)是否恰好落在上？讓我們通過計(jì)算來回答這個問題．如圖1.8建立直角坐標(biāo)系，以所在直線為軸，所在直線為軸，單位長度表示0.1米，于是有（0，0），（0，21），（8，21），（8，0），（0，13），（5，13），（3，8），（8，8）．如何判斷和是否恰好落在直線上呢？一種辦法是，的坐標(biāo)代入直線的方程，看是否滿足方程；另一種辦法是分別計(jì)算，，的斜率，比較它們是否相等．下面用后一種方法進(jìn)行討論．設(shè)線段的斜率為，則有，，．比較之，由得，即的斜角大于的斜角，的斜角又大于的斜角，可見和都不在對角線上，它們分別落在的兩側(cè)（圖1.8）：又由，得，，即，．可知將圖1.6中的四塊圖形按照圖1.7拼接時，在矩形對角線附近重疊了一個小平行四邊形（圖1.8）．正是這一微小的重疊導(dǎo)致面積減少，減少的正是這個重疊的的面積．記（3，8）到對角線（）的距離為，米，米，．把面積僅為0.01平方米的地毯拉成對角線長為米（約2.247米）的極細(xì)長的平行四邊形，在一個大矩形的對角線附近重疊了這么一點(diǎn)點(diǎn)，當(dāng)然很難覺察出來，魔術(shù)大是由正是利用了這一點(diǎn)蒙混過去，然而這一障眼法卻怎么也逃不過精細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算這一“火眼金睛”．

如果我們把上述分割正方形和構(gòu)成矩形所涉及的四個數(shù)，從小到大排列起來，即5，8，13，21，這列數(shù)有什么規(guī)律呢？相鄰兩數(shù)之和，正好是緊跟著的第三個數(shù)．按照這個規(guī)律，5前面應(yīng)該是（8－5＝）3，3前面應(yīng)是（5－3＝）2，2前面應(yīng)是（3－2＝）1，1前面應(yīng)是（2－1＝）1，21后面應(yīng)為（13＋21＝）34，34后面應(yīng)為（21＋34＝）55，等等，于是得到數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…這個數(shù)列的特點(diǎn)是，它的任意相鄰三項(xiàng)中前兩項(xiàng)之和即為第三項(xiàng)．我們稱這個數(shù)列為斐波那契數(shù)列．魔術(shù)師的上述第一個地毯魔術(shù)中的四個數(shù)5，8，13，21只是斐波那契數(shù)列中的一段，從該數(shù)列中任意取出其他相鄰的四個數(shù)，還能玩上述魔術(shù)嗎？為了使計(jì)算簡單一些，我們?nèi)〕鰯?shù)字更小的一段3，5，8，13來試一試．把邊長為8的正方形按圖1.9分成四塊，再拼成邊長為5和13的矩形（圖1.10）．

這時圖形的面積由圖1.9的64變成了圖1.10的65，憑空增加了1個單位面積．通過完全類似的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)圖1.10的尺寸是不合理的，實(shí)際上在矩形對角線附近，同樣會出現(xiàn)一個小平行四邊形．不過這次不是一個重疊的平行四邊形，而一具平行四邊形空隙（圖1.11）．這就是拼成的矩形比原來的下方形面積“增大”的秘密所在．我們可以使用斐波那契數(shù)列的任何相鄰四項(xiàng)，來玩上述分割重拼的魔術(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，正方形比重拼成的矩形，時而少一個單位面積，時而又多一個單位面積．這是因?yàn)橹仄磿r，在矩形對角線附近，有時會重疊一個細(xì)長的平行四邊形（因此失去一個單位面積），有時又會出現(xiàn)一個細(xì)長的平行四邊形空隙（因此多出一個單位面積）．面積何時變不，何時變大，有沒有規(guī)律呢？我們把斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…記為

，，，，，…這里，，，，，…，且具有遞推關(guān)系考察以為邊長的正方形面積與以及為兩邊長的矩形面積之間的關(guān)系．隨著從小到大依次取2，3，4，5，…，我們得到當(dāng)時有，即；當(dāng)時有，即；當(dāng)時有，即；當(dāng)時有，即；從中我們發(fā)現(xiàn)，隨著的奇偶變化，在上述關(guān)系式中，加1和減1交替出現(xiàn)．對于數(shù)列的第項(xiàng)，當(dāng)是大于1的奇數(shù)時有，此時正方形的面積比矩形小1．寫成統(tǒng)一的表示式就是．將斐波那契數(shù)列前后相鄰兩項(xiàng)的比，作成一個新的數(shù)列，，，，，，，…該數(shù)列的極限是一個定數(shù)（無理數(shù)），這個數(shù)有很重要的應(yīng)用，而且還有一個非常好聽的名字，叫“黃金分割比”．

相傳早在歐幾里得之前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400～前347）提出并解決了下列按比例分線段的問題：“將線段分為不相等的兩段，使長段為全線段和短段的比例中項(xiàng)．”歐幾里得把它收入《幾何原本》之中，并稱它分線段為中外比．據(jù)說“黃金分割”這個華貴的名字是中世紀(jì)著名畫家達(dá)·芬奇取的，從此就廣為留傳，直至今日．對于長度為的線段，使的分點(diǎn)稱為“黃金分割點(diǎn)”（圖1.12）．設(shè)，則．即黃金分割比．從古希臘起直到今天，人們都認(rèn)為這種比例在造型藝術(shù)上具有很高的美學(xué)價值．在所有矩形中，兩邊之比符合黃金分割比的矩形是最優(yōu)美的．難怪日常生活中許多矩形用品和建筑中的矩形結(jié)構(gòu)，往往是按黃金分割比設(shè)計(jì)的．甚至連人體自身的形體美，即最優(yōu)美的身段，也遵循著黃金分割比．據(jù)說“維納斯”雕像以及世界著名藝術(shù)珍品中的女神像，她們身體的腰以下部分的長度與整個身高的比，都近于0.618，于是人們就把這個比作為形體美的標(biāo)準(zhǔn)．芭蕾舞女演員腰以下部分的身長與身高之比，一般約在0.58左右，因此在她們翩翩起舞時，總是腳尖點(diǎn)地，使腰以下部分的長度增長8～10厘米，以圖展示符合0.618身段比例的優(yōu)美體形（圖1.13），給觀眾以美的藝術(shù)享受．黃金分割比不僅在藝術(shù)上，而且在工程技術(shù)上也有重要意義．工廠里廣泛使用的“優(yōu)選法”，就是黃金分割比的一種應(yīng)用，因此有人干脆把優(yōu)選法稱為“0.618法”．在實(shí)際應(yīng)用時，黃金分割比可用斐波那契數(shù)列中相鄰前后兩項(xiàng)的比作為近似值來代替．越大，比值越近似黃金分割比．我們接著分析魔術(shù)師秋先生的第二個魔術(shù)，其秘密在哪里呢？補(bǔ)洞用的那一小塊面積是從哪里來的呢？根據(jù)識破第一個魔術(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們來考查拼成新的無洞正方形的各個尺寸（圖1.14）是否全都準(zhǔn)確無誤？這就要追查到分割有洞正方形的各個尺寸（圖1.15）是否全都準(zhǔn)確無誤碼？在圖1.15中分割正方形四邊的尺寸是取定的，用不著懷疑．值得懷疑的是中間的那條分割線，它的尺寸可靠嗎？其中是正確的，“”及“”對嗎？而它們正是新拼正方形兩邊上線段及的尺寸．如圖1.15所示，分別以直線和為軸和軸建立坐標(biāo)系，于是有（0，7），（12，12），（7，0），（7，3），要得到及的長度，只須求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．是直線與直線的交點(diǎn)．直線的方程是，即；直線的方程是．兩方程聯(lián)立解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，）．于是得到，因而．這就是說，在新拼正方形（圖1.14）中，左邊上的線段的長不是7而是，右邊上的線段的長不是10而是．這樣，新拼圖形的左邊長為，右邊長為，上下兩邊，因此新拼圖形不是邊長為12的正方形，而是一個的長方形，比原來的有洞正方形稍微短了一點(diǎn)點(diǎn)（短1個單位長的）．兩者的面積相差（單位面積），而這正好等于那個洞的面積．這個補(bǔ)洞的魔術(shù)之所以能夠成功，靠的就是兩者之差是一個很狹窄的細(xì)長條，不易被人覺察，但在精確的數(shù)學(xué)計(jì)算面前，秘密馬上就被揭穿了．我們也可以用平面幾何方法算出圖1.15中的線段實(shí)際長多少．過作的平行線交于（圖1.15），則～，于是有，即，得，于是．輪換對稱不等式的證明技巧輪換對稱不等式形式優(yōu)美，證明技巧很多，但規(guī)律難尋。本文介紹利用基本不等式等號成立的條件湊項(xiàng)證明，只要領(lǐng)悟添項(xiàng)的技巧，這類不等式完全可以程式化證明，供參考。一、湊項(xiàng)升冪法已知，且，求證：分析：由于當(dāng)時，上述不等式的“=”成立，于是。證明：因?yàn)?，所以，同理，，上述三式相加，并將代入化簡即得證。二、湊項(xiàng)降冪法證明Cauchy不等式證明：設(shè)，則，所以，即。三、湊項(xiàng)去分母法例3設(shè)是正數(shù)，且，求證：（1990年第24屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克