高中數(shù)列講解

Day1:等差數(shù)列&等比數(shù)列morning:通項公式2021/10/10星期日1數(shù)列引入：古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上通過畫點發(fā)現(xiàn)了一連串具有規(guī)律的數(shù)，后人將這些按一定順序排列的數(shù)稱為數(shù)列。（1）（4）（9）（16）a1a2a3a4上面就是著名的正方形數(shù)，通過觀察可以得到它們可以表示為：這里的a1,a2,a3,...,an,...就是數(shù)列的一般形式,簡記為：{an}從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項相同的數(shù)列叫做常數(shù)列；而有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的叫做擺動數(shù)列。an=n22021/10/10星期日2數(shù)列{an}可以用一個式子來表示第n項和序號n之間的

關(guān)系，這個式子就是數(shù)列的通項公式。觀察下面幾列數(shù)的通項公式：（1）1,2,3,4,5,6，....，n,...（2）10,9,8，....，-1，-2，....（3）2,22，

23，24，25，....（4）10,20,30，...,1000，...（5）1，-1,1，-1，....（6）5，6,8,9,100，...-1，....an=n(n∈N）an=11-n(n∈N)an=2n(n∈N）an=n*10(n∈N）an=1,n∈奇數(shù)-1，n屬于偶數(shù)總結(jié)：（1）由第6個小題可以看到，并不是每一個數(shù)列都可以用一個通項公式來表示。

（2）若數(shù)列中被排列的數(shù)相同，但次序不同，它們不是同一數(shù)列。如:數(shù)列（7）4，5，6，7，8，9，10。

數(shù)列（8）10，9，8，7，6，5，42021/10/10星期日3

總結(jié)：（3）有些數(shù)列的通項公式并不唯一。

例如上述的數(shù)列（5）也可以表示為

（4）數(shù)列并不都是無窮的，它可分為有限數(shù)列和無窮數(shù)列兩種。Practice:（1）1,3,5,7,.....

（2）2,4,6,8,10，....

（4）Key:an=2n-1;an=2n

2021/10/10星期日4·等差數(shù)列：從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)。·公差：每兩項相差的常數(shù),通常用d表示。·等差中項：由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時A就叫做a和b的等差中項。A=（a+b)/2推導(dǎo)過程：∴等差數(shù)列的通項公式可以表示為：an=a1+(n-1)d.計算時也會用到：an=an-1+d.

2021/10/10星期日5例1:⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(21-1)×(-3)=-49⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為a=-5+(-4)*(n?1)=?4n?1,由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例2．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解:令a1=10，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時，n=10，此時需要支付車費a10=10+(14-4)×1.2=22元答：需要支付車費22元。Practice:(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;(3)已知d=-3,a5=8,求a1;(4)已知a1=12,a6=27,求d。2021/10/10星期日6

（5）如果一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，那么中間的角度是多少度？·等差數(shù)列的前n項和推導(dǎo)：【倒序相加法】∴等差數(shù)列的前n項和為：Sn=na1+n(n-1)*d/2或Sn=n(a1+an)/22021/10/10星期日7例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列{an},表示從2001年起各年投入的資金，其中a1=500，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為Sn=10*500+10*(10-1)*50/2=7250（萬元）答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.Practice:（1）a1=20,an=54,Sn=999,求d及n;（2）d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn；（3）某同學(xué)給自己制訂了七天的長跑計劃，第一天跑500米，以后每一天比前一天多跑500米，求這七天他一共跑了多少米？2021/10/10星期日82021/10/10星期日9·等比數(shù)列：如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)。·公比：后一項與前一項的比，通常用q表示?！さ缺葦?shù)列的通項公式：an=a1*qn-1注意：等比數(shù)列公比q是任意常數(shù),可正可負；首項a1和公比q均不為0.·等比數(shù)列的前n項和：Sn=na1,(q=1)Sn=a1(1-qn)/(1-q)，(q≠1）例3：一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18,求它的第1項和第2項.解：由題意知a3=12,a4=18,得：q=18/12=3/2∴a2=a3/q=12/(3/2)=8a1=8/(3/2)=16/3Practice:

(1)如果一個等比數(shù)列前5項和等于10，前10項和為50，那么它的前15項和為多少？

(2)某市近十年的國內(nèi)生產(chǎn)總值從2000億元開始以每年10%速度增長，這個城市近十年的國內(nèi)生產(chǎn)總值一共多少？2021/10/10星期日10Day1:等差數(shù)列&等比數(shù)列afternoon:求和總結(jié)2021/10/10星期日11求數(shù)列的前n項和，通常要掌握以下解法：直接法倒序相加法錯位相減法分組轉(zhuǎn)化法裂項相消法“an”法(公式法)2021/10/10星期日12一、公式法求和：1．（1）直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。

公比含字母是一定要討論

（2）利用公式法求和

2021/10/10星期日13運用公式求和注意項數(shù)正確怎么求?2021/10/10星期日142．錯位相減法求和：

例．已知數(shù)列求前n項和。

2021/10/10星期日15錯位相減法嘗試!當(dāng){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和適用錯位相減法.2021/10/10星期日162021/10/10星期日17三．裂項相消法求和：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項：

2021/10/10星期日182021/10/10星期日19分析:裂項后使得中間一些項互相抵消從而容易求和,這種方法叫做裂項相消法.1nx(n+2)的前n項的和。例.求數(shù)列11x3、12x4、13x5…解：11x3+12x4+sn=1nx(n+2)13x5+1(n-1)x(n+1)…+裂項公式是：1nx(n+k)=k1n1n+k1()-11-31()+21=21-41()+31-51()+[….n1n+21()-]=211121+-n+11-n+21()=432(n+1)(n+2)1-2021/10/10星期日20關(guān)鍵是變形!2021/10/10星期日21裂項相消法求和(1)求和

(2)求和2021/10/10星期日222021/10/10星期日232021/10/10星期日24方法四——分組法2021/10/10星期日25拆開重新組合再求和2021/10/10星期日26

2021/10/10星期日272021/10/10星期日28分析:拆項分組后構(gòu)成兩個等比數(shù)列的和的問題,這樣問題就變得容易解決了.解：原式=(x+x2+x3+…+xn)+()y1y21+++…+y31yn1=x(1-xn)1-x+y1yn1(1-)1y1-=x(1-xn)1-x+yn-1(y-1)yn2021/10/10星期日29方法五．合并求和：例：

解：原式=（100-99）（100+99）+（98-97）（98+97)+……+（2-1)(2+1）

=100+99+98+97+……+2+1=50502021/10/10星期日30方法六——倒序相加法2021/10/10星期日312021/10/10星期日327．其它求和方法還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。2021/10/10星期日33例.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為sn

，若an=(-1)n-1(2n-1),則s17+s23+s50

的值是多少？解：sn=1-3+5-7+9-11+……+(-1)n-1(2n-1)=(-2)+(-2)+(-2)+……當(dāng)n為偶數(shù)2k時S2k=(-2)k當(dāng)n為奇數(shù)2k+1時S2k+1=S2k+a2k+1S17=（-2)×8+33=17S23=（-2)×11+45=23S50=(-2)×25=-50所以s17+s23+s50=-10分析:通項中含有(-1)n或(-1)n-1的數(shù)列求和問題,常需要對n的奇偶情況進行討論，這種方法就稱之為奇偶討論法.2021/10/10星期日342021/10/10星期日35三、小結(jié)1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數(shù)列求和公式時注意分討論。2021/1