第1課時圖形面積的最大值課件北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊

2.4二次函數(shù)的應(yīng)用第二章二次函數(shù)

第1課時圖形面積的最大值寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

(1)y=x2

-

4x

-

5；

(2)y=-x2

-

3x+4.

解：（1）開口方向：向上；對稱軸：x=2；頂點坐標(biāo)：（2，-9）；（2）開口方向：向下；對稱軸：x=；頂點坐標(biāo)：（

，

）；想一想思考

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

的最值由什么決定？最小值最大值

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

的最值由

a的符號、對稱軸的位置及自變量的取值范圍決定.xyOxyO例1

寫出下列拋物線的最值.（1）y=x2

-

4x

-

5;

解：(1)∵a=1＞0，對稱軸為

x=2，頂點坐標(biāo)為(2，-9),

∴當(dāng)x=2時，y取最小值，最小值為-9;(2)y=-x2

-

3x

+

4.

(2)∵a=-1＜0，對稱軸為

x=，頂點坐標(biāo)為(，),

∴當(dāng)x=時，y取最大值，最大值為;求二次函數(shù)的最大(或最小)值1例2已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋a－1的最小值為2，則a的值為()A．3B．－1C．4D．4或－1解析：∵二次函數(shù)

y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故選C.C引例

如圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)如果設(shè)矩形的一邊AB=xm，那么AD邊的長度如何表示?2幾何圖形面積的最大面積解：(1)設(shè)

AD=h，由圖可知

Rt△EDC∽Rt△CBF.∴∴EFGEF在上面的問題中，如果把矩形改為如圖所示的位置，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？你是怎樣知道的？解：如下圖所示，過點

G

作

GM⊥EF，交

DA

于點

N，交

CB

于點

M.∵DA//CB，∴GN⊥DA.∵DA//EF，MN議一議(2)設(shè)矩形的面積為ym，當(dāng)x取何值時，y的值最大?最大值是多少?（2）由題意可得∴當(dāng)

x=20時，y有最大值300.(0＜x＜40)EF

在Rt△EGF中，由得

GM=24（m）∴當(dāng)

x=12時，y有最大值

300.(0＜x＜40)GEFMN例3

如圖，用一段長為

60m

的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.(1)當(dāng)墻長32m時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？思考

這個問題研究的是哪兩個變量之間的關(guān)系？矩形面積與一邊長的關(guān)系.60-

2xxx①

設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量解：設(shè)垂直于墻的一邊長為

xm，則平行于墻的邊長為(60?

2x)m.∴S

=x(60?

2x)

=?2x2＋60x.②

根據(jù)題意，求出自變量的取值范圍∴14≤x＜30.60?2x≤32，x＞060?2x＞0③

寫出二次函數(shù)解析式，并化為頂點式60-

2xxx∵S=?2x2＋60x=?2(x?15)2+450，④

結(jié)合自變量的取值范圍可知，該二次函數(shù)在其頂點處取得最大值∴當(dāng)

x=15m時，S取最大值，此時

S最大值

=450m2.(2)當(dāng)墻長18m時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？60-

2xxx解：設(shè)垂直于墻的一邊長為

xm，由(1)知

S=?2x2＋60x=?2(x2?30x)=?2(x

?15)2+450.∴21≤x＜30.60?2x≤18，x＞060?2x＞0想一想：當(dāng)墻長發(fā)生改變時，根據(jù)問題(1)，什么會發(fā)什么改變，什么不變？觀察取值范圍，你有什么發(fā)現(xiàn)？Oxy3021∵15＜21，x=

15∴當(dāng)21≤

x＜30時，S隨

x的增大而減小，故當(dāng)x=21時，S取得最大值，此時

S最大值

=?2×(21?15)2+450=378(m2).歸納總結(jié)二次函數(shù)解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；2.當(dāng)自變量的取值范圍沒有限制時，可直接利用公式求它的最大值或最小值；3.當(dāng)自變量的取值范圍有所限制時，可先配成頂點式，然后畫出函數(shù)圖象的草圖，再結(jié)合圖象和自變量的范圍求函數(shù)最值.

例4

用某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為

15

m.當(dāng)

x

等于多少時，窗戶通過的光線最多？(結(jié)果精確到

0.01

m)此時，窗戶的面積是多少？(結(jié)果精確到

0.01

m2)xxy典例精析解：∵7x+4y+πx=15，∵0＜x＜15，且0＜

＜15，∴0＜x＜1.48.設(shè)窗戶的面積是Sm2，則∴當(dāng)

x=≈1.07時，S最大=≈4.02.因此，當(dāng)

x約為1.07m時，窗戶通過的光線最多.此時，窗戶的面積約為4.02m2.幾何面積最值問題一個關(guān)鍵一個注意建立函數(shù)關(guān)系式常見幾何圖形的面積公式依據(jù)最值有時不在頂點處，則要利用函數(shù)的增減性來確定（二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)）實際問題數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化回歸（實物中的拋物線形問題）1.如圖

1，用長

8m的鋁合金條制成如圖的矩形窗框，那么最大的透光面積是

.圖12.如圖1，在

△ABC中，∠B=90°，B=12cm，BC=24cm，動點

P從點

A開始沿

AB向

B以2cm/s的速度移動（不與點

B重合），動點

Q從點

B開始沿

BC以4cm/s的速度移動（不與點

C重合）.如果

P、Q分別從

A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過

s，四邊形

APQC的面積最小.3ABCPQ圖1鏈接中考3.(河北期末)

如圖，嘉嘉欲借助院子里的一面長

15

m

的墻，想用長為

40

m

的網(wǎng)繩圍成一個矩形

ABCD

給奶奶養(yǎng)雞，怎樣使矩形

ABCD

的面積最大呢?

同學(xué)淇淇幫她解決了這個問題，淇淇的思路是：設(shè)

BC

的邊長為

xm.

矩形

ABCD

的面積為

S

m2不考慮其他因素，請幫他們回答下列問題：(1)

求

S

與

x

的函數(shù)關(guān)系式.

直接寫出

x

的取值范圍；(2)

x

為何值時，矩形

ABCD