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文檔簡介
2.4二次函數(shù)的應用第二章二次函數(shù)
第1課時圖形面積的最大值寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
(1)y=x2
-
4x
-
5;
(2)y=-x2
-
3x+4.
解:(1)開口方向:向上;對稱軸:x=2;頂點坐標:(2,-9);(2)開口方向:向下;對稱軸:x=;頂點坐標:(
,
);想一想思考
二次函數(shù)
y=ax2+bx+c
的最值由什么決定?最小值最大值
二次函數(shù)
y=ax2+bx+c
的最值由
a的符號、對稱軸的位置及自變量的取值范圍決定.xyOxyO例1
寫出下列拋物線的最值.(1)y=x2
-
4x
-
5;
解:(1)∵a=1>0,對稱軸為
x=2,頂點坐標為(2,-9),
∴當x=2時,y取最小值,最小值為-9;(2)y=-x2
-
3x
+
4.
(2)∵a=-1<0,對稱軸為
x=,頂點坐標為(,),
∴當x=時,y取最大值,最大值為;求二次函數(shù)的最大(或最小)值1例2已知二次函數(shù)y=ax2+4x+a-1的最小值為2,則a的值為()A.3B.-1C.4D.4或-1解析:∵二次函數(shù)
y=ax2+4x+a-1有最小值2,∴a>0,y最小值===2,整理,得a2-3a-4=0,解得a=-1或4.∵a>0,∴a=4.故選C.C引例
如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD,其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)如果設矩形的一邊AB=xm,那么AD邊的長度如何表示?2幾何圖形面積的最大面積解:(1)設
AD=h,由圖可知
Rt△EDC∽Rt△CBF.∴∴EFGEF在上面的問題中,如果把矩形改為如圖所示的位置,其他條件不變,那么矩形的最大面積是多少?你是怎樣知道的?解:如下圖所示,過點
G
作
GM⊥EF,交
DA
于點
N,交
CB
于點
M.∵DA//CB,∴GN⊥DA.∵DA//EF,MN議一議(2)設矩形的面積為ym,當x取何值時,y的值最大?最大值是多少?(2)由題意可得∴當
x=20時,y有最大值300.(0<x<40)EF
在Rt△EGF中,由得
GM=24(m)∴當
x=12時,y有最大值
300.(0<x<40)GEFMN例3
如圖,用一段長為
60m
的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.(1)當墻長32m時,這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大?最大面積是多少?思考
這個問題研究的是哪兩個變量之間的關系?矩形面積與一邊長的關系.60-
2xxx①
設未知數(shù),用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關量解:設垂直于墻的一邊長為
xm,則平行于墻的邊長為(60?
2x)m.∴S
=x(60?
2x)
=?2x2+60x.②
根據(jù)題意,求出自變量的取值范圍∴14≤x<30.60?2x≤32,x>060?2x>0③
寫出二次函數(shù)解析式,并化為頂點式60-
2xxx∵S=?2x2+60x=?2(x?15)2+450,④
結合自變量的取值范圍可知,該二次函數(shù)在其頂點處取得最大值∴當
x=15m時,S取最大值,此時
S最大值
=450m2.(2)當墻長18m時,這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大?最大面積是多少?60-
2xxx解:設垂直于墻的一邊長為
xm,由(1)知
S=?2x2+60x=?2(x2?30x)=?2(x
?15)2+450.∴21≤x<30.60?2x≤18,x>060?2x>0想一想:當墻長發(fā)生改變時,根據(jù)問題(1),什么會發(fā)什么改變,什么不變?觀察取值范圍,你有什么發(fā)現(xiàn)?Oxy3021∵15<21,x=
15∴當21≤
x<30時,S隨
x的增大而減小,故當x=21時,S取得最大值,此時
S最大值
=?2×(21?15)2+450=378(m2).歸納總結二次函數(shù)解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍;2.當自變量的取值范圍沒有限制時,可直接利用公式求它的最大值或最小值;3.當自變量的取值范圍有所限制時,可先配成頂點式,然后畫出函數(shù)圖象的草圖,再結合圖象和自變量的范圍求函數(shù)最值.
例4
用某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部分是半圓,下半部分是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為
15
m.當
x
等于多少時,窗戶通過的光線最多?(結果精確到
0.01
m)此時,窗戶的面積是多少?(結果精確到
0.01
m2)xxy典例精析解:∵7x+4y+πx=15,∵0<x<15,且0<
<15,∴0<x<1.48.設窗戶的面積是Sm2,則∴當
x=≈1.07時,S最大=≈4.02.因此,當
x約為1.07m時,窗戶通過的光線最多.此時,窗戶的面積約為4.02m2.幾何面積最值問題一個關鍵一個注意建立函數(shù)關系式常見幾何圖形的面積公式依據(jù)最值有時不在頂點處,則要利用函數(shù)的增減性來確定(二次函數(shù)的圖象和性質)實際問題數(shù)學模型轉化回歸(實物中的拋物線形問題)1.如圖
1,用長
8m的鋁合金條制成如圖的矩形窗框,那么最大的透光面積是
.圖12.如圖1,在
△ABC中,∠B=90°,B=12cm,BC=24cm,動點
P從點
A開始沿
AB向
B以2cm/s的速度移動(不與點
B重合),動點
Q從點
B開始沿
BC以4cm/s的速度移動(不與點
C重合).如果
P、Q分別從
A、B同時出發(fā),那么經(jīng)過
s,四邊形
APQC的面積最小.3ABCPQ圖1鏈接中考3.(河北期末)
如圖,嘉嘉欲借助院子里的一面長
15
m
的墻,想用長為
40
m
的網(wǎng)繩圍成一個矩形
ABCD
給奶奶養(yǎng)雞,怎樣使矩形
ABCD
的面積最大呢?
同學淇淇幫她解決了這個問題,淇淇的思路是:設
BC
的邊長為
xm.
矩形
ABCD
的面積為
S
m2不考慮其他因素,請幫他們回答下列問題:(1)
求
S
與
x
的函數(shù)關系式.
直接寫出
x
的取值范圍;(2)
x
為何值時,矩形
ABCD
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