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文檔簡介
第七章隨機變量及其分布7.5正態(tài)分布學習目標素養(yǎng)要求1.通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機變量,通過具體實例,借助頻率分布直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)分布的特征數(shù)學抽象2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義數(shù)據(jù)分析自學導引正態(tài)曲線正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)曲線【預習自測】思維辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)服從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量. (
)(2)離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描述,連續(xù)型隨機變量的概率分布用分布列描述. (
)【答案】(1)√
(2)×(1)正態(tài)密度函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方,x軸和正態(tài)曲線之間的區(qū)域的面積為1.(2)曲線是單峰的,它關于直線__________對稱.(3)曲線在x=μ處達到峰值__________.(4)當|x|無限增大時,曲線__________x軸.x=μ正態(tài)曲線的特點無限接近【預習自測】參數(shù)μ和σ對正態(tài)曲線的形狀有什么影響?提示:1.μ為位置參數(shù).當參數(shù)σ取固定值時,正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖1.2.σ為形狀參數(shù).參數(shù)σ的大小決定了曲線的高低和胖瘦,因此σ的變化影響曲線的形狀.σ越小,曲線越“瘦高”,表示隨機變量的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示隨機變量的分布越分散,如圖2.(1)若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記為X~
N(μ,σ2),特別地,當_____________時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.(2)若X~N(μ,σ2),則E(X)=______,D(X)=______.μ=0,σ=1正態(tài)分布的期望與方差μσ2【答案】C取值的概率(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈__________;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈________;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈________.在實際應用中,通常認為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取________________中的值,這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則.0.6827正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內0.95450.9973[μ-3σ,μ+3σ]【預習自測】已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,4),則P(-3≤ξ≤5)= (
)(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973)A.0.6827 B.0.9545C.0.0027 D.0.9973【答案】B【解析】由ξ~N(1,4)知,μ=1,σ=2,∴μ-2σ=-3,μ+2σ=5,∴P(-3≤ξ≤5)=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545.課堂互動題型1正態(tài)曲線的圖象及性質【答案】①③【解析】由正態(tài)分布密度曲線可知μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),①正確;由正態(tài)分布密度曲線可知σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),②錯誤;對于任意的正數(shù)t,由圖象知P(X≤t)表示的面積始終大于P(Y≤t)表示的面積,所以P(X≤t)>P(Y≤t),③正確.1.以下是關于正態(tài)密度曲線性質的敘述:(1)曲線關于直線x=μ對稱,這個曲線在x軸的上方;(2)曲線關于直線x=σ對稱,這個曲線只有當x∈(-3σ,3σ)時才在x軸上方;(3)曲線關于y軸對稱,因為曲線對應的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù);(4)曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左、右兩邊延伸時,曲線逐漸降低;(5)曲線的對稱軸由μ確定,曲線的形狀由σ確定;(6)σ越大,曲線越尖陡,σ越小,曲線越扁平.其中說法正確的有________(填序號).【答案】(1)(4)(5)【解析】直接根據(jù)正態(tài)密度曲線的性質作出判斷.(2)(3)(6)不符合上述性質,故錯誤.設ξ~N(1,22),試求:(1)P(-1<ξ≤3);(2)P(3<ξ≤5).解:∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2)=P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827.題型2利用正態(tài)分布的對稱性求概率【例題遷移1】
(改變問法)例2條件不變,求P(ξ≥5).【例題遷移2】
(變換條件,改變問法)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)= (
)A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2【答案】C【解析】∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴μ=2,對稱軸是直線x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6.∴P(0<ξ<2)=0.3.利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法:由于正態(tài)曲線是關于直線x=μ對稱的,且概率的和為1,故關于直線x=μ對稱的區(qū)間上概率相等.如:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)“3σ”法:利用X落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]內的概率分別是0.6827,0.9545,0.9973求解.2.設ξ~N(1,1),試求:(1)P(0<ξ≤2);(2)P(2<ξ≤3);(3)P(ξ≥3).解:∵ξ~N(1,1),∴μ=1,σ=1.(1)P(0<ξ≤2)=P(1-1<ξ≤1+1)=P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827.3D打印通常是采用數(shù)字技術材料打印機來實現(xiàn)的,常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型,后逐漸用于一些產品的直接制造,已經有使用這種技術打印而成的零部件.該技術應用十分廣泛,可以預計在未來會有廣闊的發(fā)展空間.某制造企業(yè)向A高校3D打印實驗團隊租用一臺3D打印設備,用于打印一批對內徑有較高精度要求的零件.該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件,從中隨機抽取10件零件,度量其內徑如表所示(單位:μm).題型3正態(tài)分布的綜合應用(1)計算平均值μ與標準差σ.(2)假設這臺3D打印設備打印出的零件內徑Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2).該團隊到工廠安裝調試后,試打了5個零件,度量其內徑分別為(單位:μm):86,95,103,109,118,試問此打印設備是否需要進一步調試,為什么?序號12345內徑979798102105序號678910內徑107108109113114則P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)=P(87<Z≤123)≈0.9973,零件內徑在(87,123]之外的概率大約只有0.0027,而86?(87,123],根據(jù)3σ原則,機器異常,需要進一步調試.解答正態(tài)分布的實際應用題,其關鍵是如何轉化,同時應熟練掌握正態(tài)分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三個區(qū)間內的概率,在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結合思想.3.某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站,由于交通擁擠,所需時間X(單位:分)近似服從正態(tài)分布X~N(50,102),求他在(30,60]分內趕到火車站的概率.已知隨機變量X服從μ=500,σ=20的正態(tài)分布,求X在(500,520)的取值概率.錯解:由已知X~N(500,202),則P(500<X<520)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827.易錯警示不能準確理解字母的含義致誤素養(yǎng)達成1.理解正態(tài)分布的概念和正態(tài)曲線的性質.2.正態(tài)總體在某個區(qū)間內取值的概率求法:(1)利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值求解.【答案】B2.(題型1)(多選)某次我市高三教學質量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多,成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由圖示曲線知下列說法中正確的是 (
)A.甲科總體的標準差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都最大D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同【答案】AD【解析】由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等,由分布密度曲線的性質,可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平;σ越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選AD.3.(題型2)設隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,則P(-1<ξ≤0)等于
(
)A.0.16 B.0.32C.0.34 D.0.68【答案】C【解析】∵ξ~N(0,1),又P(ξ≤1)=0.84,∴P(ξ>1)=1-0.84=0.16.∴P(ξ≤-1)=0.16.∴P(-1<ξ≤0)=0.5-0.16=0.34.4.(題型3)(2023年泰安模擬)隨著時代發(fā)展和社會進步,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的職業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2022年共有10000人參加了中小學教師資格考試的筆試,現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿分100分)作為樣本,整理得到如下頻數(shù)分布表:筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51025302010由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中,μ近似為100名
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