垂徑定理課件數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

2.3垂徑定理九年級(jí)下湘教版1.經(jīng)歷探索并證明垂徑定理及其逆定理的過(guò)程，理解并掌握垂徑定理及其逆定理.2.運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決相關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)如圖，1400年前，我國(guó)隋代建造的趙州橋的橋拱是圓弧形，如果知道它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)），拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離），同學(xué)們思考一下怎樣可以求出橋拱的半徑呢？新課引入在⊙O中，AB是任一條弦，CD

是⊙O

的直徑，且CD⊥AB，垂足為E.試問(wèn)：AE與BE，與，與分別相等嗎？新知學(xué)習(xí)思考因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，將⊙O

沿直徑CD對(duì)折，AE與BE重合，，

分別與,

重合，即AE=BE

，,.你能試著用學(xué)過(guò)的知識(shí)證明這個(gè)結(jié)論嗎？連接OA，OB.∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形.∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD.從而∠AOC=∠BOC.∴

，證明：∵CD是直徑，且CD⊥AB，∴AM=BM.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.幾何語(yǔ)言：∴歸納●OABCDM└過(guò)圓心試一試上面我們學(xué)習(xí)了垂徑定理的文字語(yǔ)言描述如下：

·ODEABC

一條直線若滿足:①過(guò)圓心②垂直于弦則③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧

已知①②

可推出③④⑤猜想：已知①③

？②④⑤猜想1：如果有一條直徑平分一條弦，那么它就能垂直于這條弦，也能評(píng)分這條弦，也能平分這條弦所對(duì)的兩條弧

·ODEA圖示：·ODABC

C

B·ODEABC

·ODEABC

被平分的弦是直徑被平分的弦不是直徑猜想1：如果有一條直徑平分一條弦，那么它就能垂直于這條弦，也能評(píng)分這條弦，也能平分這條弦所對(duì)的兩條弧

圖示：·ODABC

被平分的弦是直徑反例：·ODABC

直徑雖然平分弦但不垂直于弦所以猜想1有問(wèn)題，我們不妨要求被平分的弦不能是直徑，提出猜想2再來(lái)研究一下是否成立猜想2：如果有一條直徑平分一條不是直徑的弦，那么它就能垂直于這條弦，也能評(píng)分這條弦，也能平分這條弦所對(duì)的兩條弧

已知：如圖，CD

是⊙O

的直徑，CD平分弦AB于點(diǎn)E.求證：CD

⊥AB于點(diǎn)E

，=

，=·ODEABC

證明：

連接

AO、BO，則

AO=BO.在△OAB中，∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形.∵CD平分弦AB于點(diǎn)E，∴OE⊥AB于點(diǎn)E，即CD⊥AB與點(diǎn)E.∴=

，=

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵CD

是⊙O

的直徑，CD平分AB于點(diǎn)E，∴

CD⊥AB于點(diǎn)E，

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：·ODEAC

B試一試：更換條件你還能證明嗎？探究①過(guò)圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧

猜想3：已知①⑤

？②③④猜想3：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.·ODEAC

B正確已知結(jié)論

命題①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?、佗邰冖堍萜椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對(duì)的兩條?、佗堍冖邰萜椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?、佗茛冖邰堍冖邰佗堍菹业拇怪逼椒志€過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?、冖堍佗邰荽怪庇谙也⑶移椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直線過(guò)圓心，并且平分弦和所對(duì)的另一條?、冖茛佗邰堍邰堍佗冖萜椒窒也⑶移椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?、邰茛佗冖堍堍茛佗冖燮椒窒宜鶎?duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心，并且垂直平分弦歸納例1下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？是不是，因?yàn)闆](méi)有垂直是不是，因?yàn)镃D沒(méi)有過(guò)圓心OABCABDCOEABOECABOCDE①過(guò)圓心

②垂直于弦

例2如圖，弦AB=8cm，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，DE＝2cm，求⊙O的直徑CD的長(zhǎng).解連接OA.設(shè)OA=rcm，則OE

＝r-2（cm）∵CD⊥AB，

由垂徑定理得在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2＝OE2+AE2即r2

＝（r-2）2+42

解得r

＝5.∴CD=2r=10（cm）.例3證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD

平行．求證：證明：作直徑EF⊥AB，∴.又∵AB∥CD，

EF

⊥AB

，∴EF

⊥CD.∴.因此.

即.例4如圖，AB

是⊙O的直徑，C

是⊙O上一點(diǎn)，AC

＝8cm，AB

＝10cm，OD⊥BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng).解∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位線，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC=6cm；故BD=BC=3cm．二

垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用回到一開(kāi)始的問(wèn)題，已知趙州橋的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.你能用垂徑定理解決這個(gè)問(wèn)題嗎？分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫(huà)出幾何圖形.解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與弧AB相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知AB=37，CD=7.23，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.∴

AD=AB=×37=18.5，解：由題意得，AB

=

6

m，OE⊥AB于F，

∴AF

=AB

=

3

m.

∵設(shè)

AB

所在圓O的半徑為

r，且

EF

=

2

m，

∴AO

=

r，OF

=

r

-

2.

在

Rt△AOF

中，由勾股定理可知：AO

2

=

AF

2

+

OF

2，

即

r2

=

32

+(

r

-

2)2

解得

r

=

m．

即

AB

所在圓

O

的半徑為

m．例1如圖，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度

AB

=

6

m，弓形的高

EF

=

2

m，現(xiàn)設(shè)計(jì)安裝玻璃，請(qǐng)幫工程師求出弧

AB

所在圓

O

的半徑．例2一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示,其中有水部分水面寬0.8m、水深0.2m,則此輸水管道的直徑是（）A.0.4mB.0.5mC.0.8mD.1mDBA分析：過(guò)圓心作OA垂直于水面，連接OB由此形成了一個(gè)直角三角形，可設(shè)OA為xm，OB為(0.2+x)m根據(jù)垂徑定理可知AB為0.4m在直角三角形AOB中，由勾股定理可得x=0.3m所以半徑OB=0.5m,直徑為1m涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法：在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)

a，半徑

r，弦心距

d（圓心到弦的距離），弓形高

h的計(jì)算題，常常通過(guò)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.弓形中重要數(shù)量關(guān)系：弦

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r之間有以下關(guān)系：ABCDOhrd

d+h=r

OABC·歸納1.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為

5cm，油面寬

AB為

6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?/p>

8cm，則油面

AB上升了（）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7D思路點(diǎn)撥：上升的過(guò)程中油面寬度為8cm不止是一個(gè)時(shí)刻。注意圓中的多種情況隨堂練習(xí)2.（2022云南省卷）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為()A.

B.C.

D.B3.（2022四川瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.若AC＝4

，DE＝4，則BC的長(zhǎng)是()A．1B．C．2D．4C4.如圖，⊙P與y軸交于點(diǎn)M（0,﹣4），N（0,﹣10），圓心P的橫坐標(biāo)為﹣4．則⊙P的半徑為（）A．3B．4C．5

D．6C思路點(diǎn)撥：將點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度5.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上的一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接

OC.●

OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為

Rm,則

OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.6.《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形