拋物線的簡單幾何性質(zhì)

關(guān)于拋物線的簡單幾何性質(zhì)定義：在平面內(nèi),與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新第2頁,共19頁，2024年2月25日，星期天范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。第3頁,共19頁，2024年2月25日，星期天對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點(diǎn)(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，第4頁,共19頁，2024年2月25日，星期天頂點(diǎn)3、定義：拋物線與它的對稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.只有一個注:這與橢圓有四個頂點(diǎn),雙曲線有兩個頂點(diǎn)不同。第5頁,共19頁，2024年2月25日，星期天離心率4、P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。第6頁,共19頁，2024年2月25日，星期天（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1第7頁,共19頁，2024年2月25日，星期天特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊第8頁,共19頁，2024年2月25日，星期天y2=2pxxyo·FlAB過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段AB叫做拋物線的通徑，長度為2pP越大，開口越闊補(bǔ)充（1）通徑：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。第9頁,共19頁，2024年2月25日，星期天補(bǔ)充（1）通徑：|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2PP越大,開口越開闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）第10頁,共19頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對稱性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：第11頁,共19頁，2024年2月25日，星期天

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論第12頁,共19頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是

.2、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則P=

。4第13頁,共19頁，2024年2月25日，星期天例2、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長。第14頁,共19頁，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’第15頁,共19頁，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’第16頁,共19頁，2024年2月25日，星期天拋物線的焦點(diǎn)弦的特征1、已知AB是拋物線y2＝2px的任意一條焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1）、B（x2，y2）1）求證：y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。2）設(shè)θ為直線AB的傾斜角，求證：當(dāng)θ＝90o時，取得︱AB︱的最小值2p。3）若弦AB過焦點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。第17頁,共19頁，2024年2月25日，星期天四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個頂點(diǎn)，一個