2023-2024學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練（人教版）專題22 網(wǎng)格中求正弦含解析

2023-2024學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練專題22網(wǎng)格中求正弦【法一講解】轉(zhuǎn)移角后求正弦如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，與相交于點P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．解：取格點，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【法二講解】等面積法求正弦如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點都在格點上，則的值為（

）A． B． C． D．解：過點B作于點D，連接BC，如下圖，∵小正方形的邊長為1，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【法三講解】構(gòu)造直角三角形求正弦如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則的值為（

）A． B． C． D．解：如圖，連接格點CD，設(shè)1個網(wǎng)格的邊長為x，則，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故選：C【綜合演練】1．如圖，由6個形狀、大小完全相同的小矩形組成矩形網(wǎng)絡(luò)，小矩形的頂點稱為這個矩形網(wǎng)格的格點，已知小矩形較短邊長為1，點，，，都在格點上，則的值（

）A． B． C． D．22．如圖，的頂點都在方格紙的格點上，則sinC為(

)A． B． C． D．3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么的值為（

）．A． B． C． D．4．如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，格點A、B、C、D都在同一個圓上，則的值為（

）A． B． C． D．5．如圖，小正方形的邊長均為1，、、分別是小正方形的三個頂點，則的值為（

）A． B． C．1 D．6．如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC的值為_____．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的的面積等于，則的值是________．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，則__________．9．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD都交于O，則sin∠AOD＝_____．10．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為，則的正弦值是_______．11．在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，，，，都在格點處，與相交于，則的值等于_________．12．如圖，在4×5的網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點A、O、B均在格點上，則(1)△AOB的面積是_____________；(2)______________13．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為_______．14．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個正方形邊長都相等，A、O、B在如圖的格點上，則_____．15．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，則的值為______．16．如圖所示的方格紙是由9個大小完全一樣的小正方形組成的．點A、B、C、D均在方格紙的格點(即圖中小正方形的頂點)上，線段AB與線段CD相交于點E．設(shè)圖中每個小正方形的邊長均為1．（1）求證：AB⊥CD；（2）求sin∠BCD的值．17．圖①、圖②均是邊上為1的小正方形組成的的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．線段的端點均在格點上．（1）在圖①中作正方形；（2）在圖②中作，使點在格點上，且．18．如圖，由12個形狀、大小完全相同的小矩形組成一個大的矩形網(wǎng)格，小矩形的頂點稱為這個矩形網(wǎng)格的格點，已知這個大矩形網(wǎng)格的寬為6，△ABC的頂點都在格點．（1）求每個小矩形的長與寬；（2）在矩形網(wǎng)格中找一格點E，使△ABE為直角三角形，求出所有滿足條件的線段AE的長度．（3）求sin∠BAC的值．專題22網(wǎng)格中求正弦【法一講解】轉(zhuǎn)移角后求正弦如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，與相交于點P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．解：取格點，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【法二講解】等面積法求正弦如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點都在格點上，則的值為（

）A． B． C． D．解：過點B作于點D，連接BC，如下圖，∵小正方形的邊長為1，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【法三講解】構(gòu)造直角三角形求正弦如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則的值為（

）A． B． C． D．解：如圖，連接格點CD，設(shè)1個網(wǎng)格的邊長為x，則，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故選：C【綜合演練】1．如圖，由6個形狀、大小完全相同的小矩形組成矩形網(wǎng)絡(luò)，小矩形的頂點稱為這個矩形網(wǎng)格的格點，已知小矩形較短邊長為1，點，，，都在格點上，則的值（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先證明∠ABD=90°，再求出BD=,AD=,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】解：如圖，∵小矩形較短邊長為1，有圖可知，小矩形較長邊長為2，∴AE=BE=2,BF=DF=1,∴∠ABE=45°,∠DBF=45°∴∠ABD=90°,∵AB=,BD=,AD=,∴===,故選A.【點睛】此題主要考查了勾股定理和三角函數(shù)的定義，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，的頂點都在方格紙的格點上，則sinC為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)連接格點AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定理逆定理判斷出△ACD是直角三角形，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，連接格點AD、BD，由勾股定理得，AC2=22+42=20，AD2=12+12=2，CD2=32+32=18，∵AD2+CD2=AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sinC==．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作輔助線構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點A作于點D，在中，利用勾股定理求得線段AC的長，再按照正弦函數(shù)的定義計算即可．【詳解】解：如圖，過點A作于點D，則，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，格點A、B、C、D都在同一個圓上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圓周角的推論得出，再利用勾股定理計算AC即可得出結(jié)果【詳解】連接AD、DC、AC由題意可知：∠ADC=90°∵∠AED=∠DCA∴在Rt△ADC中，∵故選：C【點睛】本題考查正弦值的計算、勾股定理、同弧所對的圓周角相等、熟練掌握圓周角的推論是關(guān)鍵5．如圖，小正方形的邊長均為1，、、分別是小正方形的三個頂點，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求得AB、BC、AC的長，然后再利用勾股定理逆定理證得是直角三角形，最后根據(jù)正弦的定義解答即可【詳解】解：如圖：連接，每個小正方形的邊長均為1，，，，，是直角三角形，．故答案為．【點睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定義，根據(jù)題意證得是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC的值為_____．【答案】．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、逆定理求出三角形的邊長，最后根據(jù)三角函數(shù)的意義求解即可．【詳解】解：如圖，連接格點BD，∵BD2＝12+12＝2，CD2＝12+12＝2，BC2＝22＝4，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°＝∠ADB，由勾股定理得，AB＝＝，BD＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故答案為：．【點睛】此題考查的是求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和正弦的定義是解決此題的關(guān)鍵．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的的面積等于，則的值是________．【答案】【分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)勾股定理即可求出AB和AC，然后根據(jù)三角形的面積求出CD，再根據(jù)正弦值的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點C作CD⊥AB于點D根據(jù)勾股定理可得AB=，AC=∵的面積等于∴解得：CD=在Rt△ACD中，=故答案為：．【點睛】此題考查的是勾股定理和求一個角的銳角三角函數(shù)，掌握勾股定理和構(gòu)造直角三角形求一個角的正弦值是解決此題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，則__________．【答案】【分析】根據(jù)所給圖形可得出，再求正弦值即可．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格所示，可得出，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的知識點是用格點解直角三角形，根據(jù)格點找出是解此題的關(guān)鍵．9．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD都交于O，則sin∠AOD＝_____．【答案】．【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．【詳解】解：如圖，由網(wǎng)格可得：AE＝，AB＝，BE=，∵，∴，∴∠AEB=90°，又DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，故sin∠AOD＝sin∠ABE＝；故答案為：.【點睛】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形，掌握勾股定理，解直角三角形是解題的關(guān)鍵.10．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為，則的正弦值是_______．【答案】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠1=∠A，在直角△ABC中，利用三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖：由勾股定理，得：，∵∠1=∠A，∴；故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，正確根據(jù)圓周角定理，把所求角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為∠A的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，，，，都在格點處，與相交于，則的值等于_________．【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想可以求得sin∠BOD的值，本題得以解決．【詳解】解：連接AE、EF，如圖所示，則AE∥CD，∴∠FAE=∠BOD，設(shè)每個小正方形的邊長為a，則AE=，AF=，EF=，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，∴sin∠FAE=即sin∠BOD=，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用勾股定理和等積法解答．12．如圖，在4×5的網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點A、O、B均在格點上，則(1)△AOB的面積是_____________；(2)______________【答案】

4

【分析】（1）利用正方形的面積減去各頂點上三角形的面積即可得到結(jié)果；（2）作OB邊上的高AC，算出AC，再利用正弦的定義求解．【詳解】解：（1）S△AOB===4；（2）作OB邊上的高AC，∵AO=，BO=，AB=，∴AC=S△AOB×2÷OB=4×2÷=，∴sin∠AOB==，故答案為：4；．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，正弦的定義，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點．13．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為_______．【答案】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】在網(wǎng)格上取個點D，得∵CD=4，AD=3∴∴故答案為：【點睛】本題考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，屬于學生靈活運用所學知識．14．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個正方形邊長都相等，A、O、B在如圖的格點上，則_____．【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積計算公式求出邊OA上的高BC即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點B作，垂足為C，，，即，，在中，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，則的值為______．【答案】【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜邊長，進而求得,的鄰邊與斜邊之比即可．【詳解】解：如圖所示，作AD⊥BC，垂足為D，AD=3，BD=4，∵∠ADB=∴利用勾股定理可得，∴cosB=＝，∴=+=．故答案為．【點睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，根據(jù)題意得出cos∠ABC,是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題16．如圖所示的方格紙是由9個大小完全一樣的小正方形組成的．點A、B、C、D均在方格紙的格點(即圖中小正方形的頂點)上，線段AB與線段CD相交于點E．設(shè)圖中每個小正方形的邊長均為1．（1）求證：AB⊥CD；（2）求sin∠BCD的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明，可得，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理先計算和的長，根據(jù)面積法可得的長，最后由三角函數(shù)定義可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，，，，，，又，，，；（2）解：在中，，，，同理，，，，，解得，．【點睛】本題考查網(wǎng)格型問題，還考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．17．圖①、圖②均是邊上為1的小正方形組成的的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．線段的端點均在格點上．（1）在圖①中作正方形；（2）在圖②中作，使點在格點上，且．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】（1）確定AB=，再根據(jù)正方形的四邊相等，四個角是直角即可作圖；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可作圖．【詳解】解：（1）如圖所示，正方形ABCD為所求；（2）如圖所示，為所求，且．【點睛】本題考查了網(wǎng)格圖中的創(chuàng)新作圖問題，設(shè)計了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉正方形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義．18．如圖，由12個形狀、大小完全相同的小矩形組成一個大的矩形網(wǎng)格，小矩形的頂點稱為這個矩形網(wǎng)格的格點，已知這個大矩形網(wǎng)格的寬為6，△ABC的頂點都在格點．（1）求每個小矩形的長與寬；（2）在矩形網(wǎng)格中找一格點E，使△ABE為直角三角形，求出所有滿足條件的線段AE的長度．（3）求sin∠BAC的值．【答案】（1）每個小矩形的長為3，寬為1.5；（2）3或3或；（3）．【詳解】分析：（1）設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，根據(jù)圖形可知小矩形的長與寬間的數(shù)量關(guān)系有兩個：2個矩形的寬=矩形的長；兩個矩形的寬+1個矩形的長=6，據(jù)此列出方程組，并解答即可；

（2）利用圖形和勾股定理逆定理進行解答；

（3）過B作BP⊥AC于P，則BM=MN=y，AM=2y，AB=AN=．由S△ABN=BN×AM=AN×BP，得到BP的長．在Rt△ABP中，利用正弦的定義求解即可．詳解：（1）設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，依題意得：，解得：，所以每個小矩形的長為3，寬為1.5；

（2）如圖所示：

AE=3或3或；

（3）如圖，過B作BP⊥AC于P，則BM=MN=y，AM=2y．∵AM⊥BN，∴AB=AN==．∵S△ABN=BN×AM=AN×BP，∴BP===．在Rt△ABP中，sin∠BAC=sin∠BAP==÷=．點睛：本題考查了四邊形綜合題，需要掌握二元一次方程組的應(yīng)用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學生的理解能力和觀察圖形的能力，求三角函數(shù)值需構(gòu)建直角三角形是解此類題的常用作法．專題23網(wǎng)格中求正切【法一】構(gòu)造直角三角形求如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，則________．【詳解】解：連接BC，由勾股定理可知：，，，∵，∴，∴為直角三角形，∴，故答案為：2．【法二】轉(zhuǎn)移角后再求如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．2 D．【詳解】：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值為：3，故選：A．【法三】等面積法求如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，點A，B、O都在格點（小正方形的頂點）上，則的值是______．解：作交于點C，由圖可知：，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：【綜合演練】1．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（

）A．2 B． C． D．2．如圖所示的方格紙中，△ABC的頂點都在格點上，則tan∠BAC的值為（）A． B． C． D．23．如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan∠ACB的值為（

）

A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題4．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，若點A、B、C都在格點上，則tan∠BAC的值是_____．5．如圖，A，B，C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，若A，C，B′三點共線，則tan∠B′CB=________．6．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C都在這些小正方形的頂點上，則∠ABC的正切值是．7．如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格點上，則的正切值是______．8．如圖，在1×3的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則=_____________9．如圖，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C都在小正方形的頂點上，則∠ABC的正切值為_____．10．如圖所示，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，線段、的端點均為格點．（1）的長度為______；（2）與網(wǎng)格線交于，則______；（3）若與所夾銳角為，則______．11．如圖所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，與交于點，那么__________．12．如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上則tanA的值為______．13．如圖，每一個小方格的邊長都相等，點A、B、C三點都在格點上，則的值為________．14．如圖，點A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為________．三、解答題15．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：（1）用2B鉛筆畫AD∥BC（D為格點），連接CD；（2）線段CD的長為；（3）請你在△ACD的三個內(nèi)角中任選一個銳角，若你所選的銳角是，則它所對應(yīng)的正弦函數(shù)值是；（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是．16．閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題：已知：如圖1，在△ABC中，AB=，AC=，BC=2三邊的長分別為，求∠A的正切值．小華是這樣解決問題的：如圖2所示，先在一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中畫出格點△ABC（△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），然后在這個正方形網(wǎng)格中再畫一個和△ABC相似的格點△DEF，從而使問題得解．（1）圖2中與相等的角為，的正切值為；（2）參考小華解決問題的方法，利用圖4中的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）解決問題：如圖3，在△GHK中，HK=2，HG=，KG=，延長HK，求的度數(shù)．17．如圖，在邊長為1的小正方形方格紙中，有線段、，點、、、均在小正方形的頂點上．（1）在圖中畫一個以線段為斜邊的等腰直角三角形，點在小正方形的頂點上，并直接寫出的長；（2）在圖中畫一個鈍角三角形，點在小正方形的頂點上，并且三角形的面積為，．專題23網(wǎng)格中求正切【法一】構(gòu)造直角三角形求如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，則________．【詳解】解：連接BC，由勾股定理可知：，，，∵，∴，∴為直角三角形，∴，故答案為：2．【法二】轉(zhuǎn)移角后再求如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．2 D．【詳解】：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值為：3，故選：A．【法三】等面積法求如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，點A，B、O都在格點（小正方形的頂點）上，則的值是______．解：作交于點C，由圖可知：，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：【綜合演練】1．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接AC，根據(jù)網(wǎng)格圖不難得出，求出AC、AB的長度即可求出的正切值．【詳解】連接AC，由網(wǎng)格圖可得：，由勾股定理可得：AC=，AB=，∴tan=．故選：D．【點睛】本題主要考查網(wǎng)格圖中銳角三角函數(shù)值的求解，根據(jù)網(wǎng)格圖構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖所示的方格紙中，△ABC的頂點都在格點上，則tan∠BAC的值為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由勾股定理求出AB、AC、BC的長度，得出Rt△ABC，通過三角函數(shù)即可求出．【詳解】由題知：，，，∴∴三角形為Rt△ABCtan∠BAC==2故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan∠ACB的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意連接BD可知，進而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出tan∠ACB的值．【詳解】解：如圖，連接BD，根據(jù)圖象可知，則有，所以．故選：D．【點睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，注意掌握在直角三角形中，一銳角的正切等于它的對邊與鄰邊的比值．4．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，若點A、B、C都在格點上，則tan∠BAC的值是_____．【答案】1【分析】根據(jù)已知圖形得出，再求解即可.【詳解】連接，，，由勾股定理得：，.故答案為：.【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能求出是解此題的關(guān)鍵.5．如圖，A，B，C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，若A，C，B′三點共線，則tan∠B′CB=________．【答案】2【分析】利用勾股定理及其逆定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系進而得出結(jié)論．【詳解】如圖所示：連接BD，由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC，CD，BD=2．∵，∴∠CDB=90°，∴BD⊥B′C，則tan∠B′CB故答案為2．【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出BD⊥CB′是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C都在這些小正方形的頂點上，則∠ABC的正切值是．【答案】2【詳解】試題分析：設(shè)小正方形邊長為a，鏈接AC，那么因為所以考點：勾股定理點評：本題是銳角三角函數(shù)與勾股定理的結(jié)合，難度適中，解題關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格點上，則的正切值是______．【答案】2【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=，故答案為：2.【點睛】本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，在1×3的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則=_____________【答案】2【分析】連接BE與CD相交于F，由正方形的性質(zhì)、相似的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義得到得到，再由對頂角∠APC=∠BPF，即可得到.【詳解】如圖，連接BE與CD相交于F，∵四邊形BCED是正方形，∴，根據(jù)題意得：，∴△ADP∽△BCP，，即，即在Rt△PBF中，．∵∠APC=∠BPF，∴tan∠APC=2．故答案為：2．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．9．如圖，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C都在小正方形的頂點上，則∠ABC的正切值為_____．【答案】1【分析】根據(jù)勾股定理求出△ABC的各個邊的長度，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．【詳解】如圖：長方形AEFM，連接AC，∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，即∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°∴tan∠ABC=1【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知識點，能求出∠ACB＝90°是解此題的關(guān)鍵.10．如圖所示，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，線段、的端點均為格點．（1）的長度為______；（2）與網(wǎng)格線交于，則______；（3）若與所夾銳角為，則______．【答案】

【分析】(1)利用勾股定理求出CD的長度；(2)證明△DEG∽△CEF，得到，由此計算出答案；(3)取各點M，連接CM，則CM∥AB，取格點H，連接MH，使MH交CD于N，如圖，證明△DMN∽△HMD，得到，代入數(shù)值，求得，，計算得到，利用公式求出，即可得到答案．【詳解】(1)，故答案為：；(2)如圖，取網(wǎng)格線CF、DG，連接GF，∵∠G=∠F=，∠GED=∠FEC，∴△DEG∽△CEF，∴，∴，故答案為：；(3)取各點M，連接CM，則CM∥AB，取格點H，連接MH，使MH交CD于N，如圖，∵∠MDH=∠DNM=，∠DMN=∠HMD，∴△DMN∽△HMD，∴，∴，解得，，∴，∴，∴，故答案為：．．【點睛】此題考查勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．11．如圖所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，與交于點，那么__________．【答案】【分析】要求∠APD的正切值，要把∠APD放在直角三角形中，構(gòu)造直角三角形，連結(jié)正方形的對角線AE，EF、FB，故有AE=EF=FB=CD，直角三角形構(gòu)成△AEG，下面解決AE與EG的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)G在EF上，EF=AE，只要G為EF中點，為此證△AGE≌△BGF，在Rt△AGE中tan∠AGE可求即可．【詳解】如圖連結(jié)AE、EF、FB，EF與AB交于G，由正方形知AE=EF=EB=DC，∠AEG=∠GFB=90o,∠AGE=∠BGF,∴△AGE≌△BGF(AAS)，EG=FG=AE，∵EF∥DC，∴∠AGE=∠APD，在Rt△AGE中tan∠AGE==2,∴tan∠APD=2．故答案為：2．【點睛】本題考查網(wǎng)格中求角的正切值問題，關(guān)鍵是把給的角轉(zhuǎn)移到三角形中，掌握正方形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)，三角函數(shù)．12．如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上則tanA的值為______．【答案】【分析】連接BD，找到∠BAC所在的直角三角形，利用勾股定理求出BD及AB的長，求得∠BAC的對比與鄰邊之比即可．【詳解】解：連接BD，則△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，∵BD=，AB=，∴tan∠BAD=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是找到直角三角形ABD．13．如圖，每一個小方格的邊長都相等，點A、B、C三點都在格點上，則的值為________．【答案】【分析】根據(jù)已知圖形去添加合適得輔助線，從而得出，再求解即可．【詳解】解：連接，由圖可知：，，，滿足，∴，設(shè)小方格的邊長為，則，，故，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，構(gòu)造輔助線使得再結(jié)合解直角三角形相關(guān)知識是解此題的關(guān)鍵．14．如圖，點A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為________．【答案】【分析】過點作，垂足為．根據(jù)格點和勾股定理先求出、，利用三角形的面積求出、，最后求出的正切．【詳解】解：過點作，垂足為．由格點三角形可知：，．，．，．．．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：（1）用2B鉛筆畫AD∥BC（D為格點），連接CD；（2）線段CD的長為；（3）請你在△ACD的三個內(nèi)角中任選一個銳角，若你所選的銳角是，則它所對應(yīng)的正弦函數(shù)值是；（4）若E為BC中點，則tan∠C