高中數(shù)學(xué)中的常用幾何模型及構(gòu)造方法大全

高中數(shù)學(xué)中的常用幾何模型及構(gòu)造方法大全

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

對稱全等模型

角分線模型

過角分畿某點(diǎn)作最城

柱角兩邊匐網(wǎng)等4皎，氣

說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對稱全

等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。

對稱半角模型

說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直角三角

形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

旋轉(zhuǎn)半角模型

說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將

另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點(diǎn)旋180度，造中心對稱

A

共旋轉(zhuǎn)模型

說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)常考察的內(nèi)容。

通過“8”字模型可以證明。

模型變換

DD

說明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是

等腰直角三角形與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公

共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):

說明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角

形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三

角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰

直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)

全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

中點(diǎn)模型

信長中微

幾何最終模型

對稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）

線段和差模型

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最妞模型同側(cè)、異制兩線段之牽最小模則

軸對稱模型

三線段之和過橋模型四邊形同長三角形周長

城短模型最小模型最小模型

旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）

說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長線段，定長線段的和為最

大值，定長線段的差為最小值。

剪拼模型

三角形f四邊形

I

說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形-正方形

說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形一正方形

E

旋轉(zhuǎn)相似模型

說明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角

形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角

符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

相似模型

說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等

量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。

（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)

的居多。

（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。

另外，相似、射影定理、相交弦