2022-2023學(xué)年八專題11.8 一元一次不等式全章六類必考?jí)狠S題專題13.1 期中期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）二十五大必考點(diǎn)（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題13.1平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）二十五大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷】 1【考點(diǎn)2三線八角中的截線問題】 3【考點(diǎn)3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 4【考點(diǎn)4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】 6【考點(diǎn)5與垂線有關(guān)的角度計(jì)算或證明】 7【考點(diǎn)6利用平行線的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】 9【考點(diǎn)7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 10【考點(diǎn)8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 12【考點(diǎn)9平行線的運(yùn)用（單一輔助線）】 13【考點(diǎn)10平行線的運(yùn)用（多條輔助線）】 15【考點(diǎn)11平行線在折疊問題的運(yùn)用】 17【考點(diǎn)12平行線在三角尺中的運(yùn)用】 18【考點(diǎn)13平行線中的規(guī)律問題】 20【考點(diǎn)14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】 22【考點(diǎn)15與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 24【考點(diǎn)16利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】 26【考點(diǎn)17與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 27【考點(diǎn)18與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 29【考點(diǎn)19三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用】 30【題型20三角形的中線、高、角平分線】 31【題型21多邊形的內(nèi)角和與外角和】 32【題型22生活中的平移現(xiàn)象】 32【題型23圖形的平移】 33【題型24利用平移的性質(zhì)求解】 34【題型25利用平移解決實(shí)際問題】 35【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．∠1和∠2是同旁內(nèi)角 B．∠1和∠3是對(duì)頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角【變式1-1】（2022·青海·中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【變式1-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是()A．∠C與∠1是內(nèi)錯(cuò)角B．∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角C．∠A與∠B是同旁內(nèi)角D．∠A與∠3是同位角【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁內(nèi)角有c對(duì)，則a+b?c的值是____________【考點(diǎn)2三線八角中的截線問題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線DA、DB被AC所截形成的【變式2-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內(nèi)錯(cuò)角A．直線AD、BC被直線BD所截 B．直線AB、CD被直線BD所截C．直線AB、CD被直線AC所截 D．直線AD、BC被直線AC所截【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠2與∠3是直線______、____被第三條直線_____所截形成的_______．【變式2-3】（2022·全國·七年級(jí)）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出：(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角.(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.【考點(diǎn)3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例3】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關(guān)系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想不必證明．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．【考點(diǎn)4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】【例4】（2022·河南洛陽·七年級(jí)期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時(shí)，測(cè)得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時(shí)，小明坐在A點(diǎn)處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級(jí)期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級(jí)期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF第一次與AB平行時(shí)，∠CDF的度數(shù)是（A．15° B．30° C．45° D．75°【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）如圖，直線l1∥l2，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角板的銳角頂點(diǎn)B放在直線l2上，將三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點(diǎn)C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點(diǎn)A．65° B．75° C．85° D．80°【考點(diǎn)5與垂線有關(guān)的角度計(jì)算或證明】【例5】（2022·湖南·測(cè)試·編輯教研五七年級(jí)期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說明BD與AC互相垂直嗎？【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）請(qǐng)補(bǔ)充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù)．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：解：因?yàn)镈G//所以∠2=∠BAD（____________）．因?yàn)椤?=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//所以∠EFB=______（兩直線平行，同位角相等）因?yàn)镋F⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請(qǐng)說明理由：如果不能，添加一個(gè)條件，使它們平行（不必說明理由）．【變式5-3】（2022·全國·七年級(jí)）已知：直線MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點(diǎn)C是線段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是射線AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD．(1)在圖1中過點(diǎn)C作CE⊥CD，與射線BQ交于E點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點(diǎn)F是射線BQ上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線交于點(diǎn)G，請(qǐng)用含有α的代數(shù)式來表示∠DGF，并說明理由．【考點(diǎn)6利用平行線的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】【例6】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，點(diǎn)F，G在BC上，EF與DG交于點(diǎn)O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判斷DE與BC的位置關(guān)系，并證明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數(shù)．【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數(shù)；(2)判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明你的猜想．【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級(jí)期末）如圖所示，已知射線CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)證明：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)；(3)若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)說明理由．【變式6-3】（2022·北京密云·七年級(jí)期末）已知：點(diǎn)C是∠AOB的OA邊上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)D是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，射線CD不與OB相交．(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過點(diǎn)O作射線OE，使得OE//CD．（其中點(diǎn)E在∠AOB內(nèi)部）．①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1；②直接寫出∠BOE的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)F是射線OB上一點(diǎn)，且點(diǎn)F不與點(diǎn)O重合，當(dāng)∠AOB=α0°<α≤180°時(shí)，過點(diǎn)F作射線FH，使得FH//CD（其中點(diǎn)H在∠AOB的外部），用含α的代數(shù)式表示∠OCD與∠BFH【考點(diǎn)7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例7】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB∥直線CD，光線EF經(jīng)過鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線GH.光線反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結(jié)論：①直線EF平行于直線GH；②∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線；④當(dāng)CD繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90時(shí)，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【變式7-1】（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP，一束光線AB射在其中一塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會(huì)平行嗎？若不平行，請(qǐng)說明理由，若平行，請(qǐng)給予證明【變式7-2】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB=25°時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，求∠H的度數(shù)．【變式7-3】（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)七年級(jí)期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自QD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，湖面上點(diǎn)M是音樂噴泉的中心．（1）若把燈P自PA轉(zhuǎn)至PB，或者燈Q自QD轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請(qǐng)求出P、Q兩燈照射一次各需要的時(shí)間；（2）12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時(shí)開啟后的35秒內(nèi)，請(qǐng)問開啟多長時(shí)間后，兩燈的光束互相垂直？【考點(diǎn)8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例8】（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直線AB于點(diǎn)E，DF∥AB交直線(1)如圖1，若點(diǎn)F在邊BC上，直接寫出∠BAC與∠EFD的數(shù)量關(guān)系；(2)若點(diǎn)F在邊BC的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并說明理由．【變式8-1】（2022·湖北襄陽·七年級(jí)期末）如圖，已知AM∥BN，P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，(1)若∠A=50°，求∠CBD的度數(shù)；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BPA與∠BDA的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出∠BPA與∠BDA的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，探究∠ABC與∠DBN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式8-2】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）已知：直線AB∥CD，經(jīng)過直線AB上的定點(diǎn)P的直線EF交CD于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N為直線CD上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)，點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，連接PM，PN，滿足(1)如圖1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接寫出∠COP的度數(shù)為：______．(2)如圖2，射線PQ為∠MPE的角平分線，用等式表示∠NPQ與∠POM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式8-3】（2022·湖北孝感·七年級(jí)期末）在三角形ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過點(diǎn)D作FG⊥FD交射線CB于點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)F在線段BE上，①用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖，求證：∠ABC+∠BFG?∠EDF=90°；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，依題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，不需證明．【考點(diǎn)9平行線的運(yùn)用（單一輔助線）】【例9】（2022·四川德陽·七年級(jí)期末）已知：AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，在兩直線間取一點(diǎn)E．(1)如圖1，求證：∠E=∠APE+∠CQE；(2)將線段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內(nèi)部一點(diǎn)H．①如圖2，若∠E=90°，求∠H的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)I在直線AB、CD內(nèi)部，且PI平分∠BPE，連接HI，若∠I?∠H=m°，∠E=n°，請(qǐng)直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系，不必證明．【變式9-1】（2022·廣東梅州·八年級(jí)期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點(diǎn)C落在OB邊上，經(jīng)過點(diǎn)D作直線MN∥OB交OA邊于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)D的左側(cè)．(1)如圖1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度數(shù)；(2)若∠MDC的平分線DF交OB邊于點(diǎn)F，如圖2，當(dāng)DF∥OA，且α＝60°時(shí)，證明：CE∥OA．【變式9-2】（2022·陜西西安·八年級(jí)期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖1，已知兩直線a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，說明理由；(3)競賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，當(dāng)AC平分∠BAM時(shí)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式9-3】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在直線ST上，點(diǎn)C在MN，ST之間，且滿足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)證明：MN∥(2)如圖2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE，且∠DAE＝2∠CBT，試判斷∠CAE與∠(3)如圖3，若∠ACB＝45°，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接寫出∠CAE：∠CAN的值．【考點(diǎn)10平行線的運(yùn)用（多條輔助線）】【例10】（2022·云南普洱·七年級(jí)期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE//GF．如圖（1），若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點(diǎn)M，AB⊥DE于點(diǎn)N．(1)請(qǐng)你直接寫出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請(qǐng)你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)請(qǐng)你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式10-1】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分(1)如圖1，若BP∥CE，求證：(2)CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點(diǎn)F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD之間時(shí)，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大?。咀兪?0-2】（2022·廣東·新豐縣教育局教研室七年級(jí)期末）細(xì)觀察，找規(guī)律．（1）下列各圖中的MA1與①圖①中的∠A②圖②中的∠A③圖③中的∠A④圖④中的∠A⑤第⑩個(gè)圖中的∠A⑥第n個(gè)圖中的∠A（2）下列各圖中AB//①圖甲中∠B、∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系是______．②圖乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的數(shù)量關(guān)系是______．③圖丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的數(shù)量關(guān)系是______．【變式10-3】（2022·北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校七年級(jí)期末）已知，如圖1，射線PE分別與直線AB，CD相交于E、F兩點(diǎn)，∠PFD的平分線與直線AB相交于點(diǎn)M，射線PM交CD于點(diǎn)N，設(shè)∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80?2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝，β＝；直線AB與CD的位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點(diǎn)G、H分別在射線MA和線段MF上，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線PM繞著端點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與AB、CD相交于點(diǎn)M1和點(diǎn)N1時(shí)，作∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點(diǎn)Q，問在旋轉(zhuǎn)的過程中∠FPN【考點(diǎn)11平行線在折疊問題的運(yùn)用】【例11】（2022·山東濰坊·七年級(jí)期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC，則翻折角∠1與∠2一定滿足的關(guān)系是（

）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1?∠2=30° D．2∠1?3∠2=30°【變式11-1】（2022·山東·滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=(

)A．60° B．70° C．80° D．90°【變式11-2】（2022·全國·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，將三角形ABC向下翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為DE.試說明：DE∥BC．【變式11-3】（2022·江蘇·常州市第二十四中學(xué)七年級(jí)期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點(diǎn)F．(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)12平行線在三角尺中的運(yùn)用】【例12】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板ACD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)90°后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t=______________秒時(shí)，三角板A′CD【變式12-1】（2022·河北·青縣教育局教研室七年級(jí)期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，BC邊與EF邊都在直線l上，若直線MN∥AC，且MN經(jīng)過點(diǎn)D，則∠CDN=_________；【變式12-2】（2022·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）一副三角板ADE和ABC按如圖1所示放置，點(diǎn)B在斜邊AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．現(xiàn)將三角板ADE固定不動(dòng)，三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°，使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2，當(dāng)∠BAD＝15°時(shí)，BC∥DE，則∠BAD【變式12-3】（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）在一次課外活動(dòng)中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明將△ADE從圖中位置開始，繞點(diǎn)A按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第____秒時(shí)，邊AB與邊DE平行．【考點(diǎn)13平行線中的規(guī)律問題】【例13】（2022·山東泰安·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=____________；(2)如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，請(qǐng)直接用含【變式13-1】（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線l分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段MN或NM的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)．請(qǐng)直接寫出∠APC、α、B之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P是AB、CD之間的一點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)A、C右側(cè)），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線交于點(diǎn)Q．若∠APC＝116°，請(qǐng)結(jié)合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．【變式13-2】（2022·四川·樹德中學(xué)七年級(jí)期末）（1）如圖①，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，（2）如圖②，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，（3）如圖③，已知AB∥CD，請(qǐng)直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通過以上3個(gè)問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式13-3】（2022·北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級(jí)期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計(jì)了一種折疊紙條的游戲．如圖1，紙條的一組對(duì)邊PN∥QM（紙條的長度視為可延伸），在PN，QM上分別找一點(diǎn)A，B，使得∠ABM＝α．如圖2，將紙條作第一次折疊，使BM′與BA在同一條直線上，折痕記為解決下面的問題：（1）聰明的小白想計(jì)算當(dāng)α＝90°時(shí)，∠BR1N′的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請(qǐng)幫他補(bǔ)全問題并求解：如圖3，PN∥QM，A，B分別在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折疊：BR1平分_________，（2）聰穎的小桐提出了一個(gè)問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿AR1折疊紙條（如圖4），是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)（3）笑笑看完此題后提出了一個(gè)問題：當(dāng)0°<α≤90°時(shí)，將圖2記為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折疊，使BM′與BR1在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使BM′與BR①第二次折疊時(shí)，∠BR2N②第n次折疊時(shí)，∠BRnN【考點(diǎn)14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】【例14】（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校七年級(jí)期末）將兩個(gè)等邊三角形（每個(gè)內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（旋轉(zhuǎn)角0°(1)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0°<α≤60°時(shí)，請(qǐng)寫出∠(2)如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60°<α≤120°時(shí)，請(qǐng)寫出∠(3)當(dāng)DE//BC時(shí)請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【變式14-1】（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，其直角頂點(diǎn)O在直線l上，將三角板AOB繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠2的度數(shù)（0°<∠2<360°）．請(qǐng)你解決下列問題：(1)當(dāng)∠2的度數(shù)為多少時(shí)，AB∥(2)如右圖，作AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請(qǐng)舉例說明．【變式14-2】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，已知PQ∥MN，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)（速度是a°/秒），射線BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)（速度是b°/秒）、且a、b滿足a?3+(1)a=_____________，b=____________；(2)如圖2，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t<60），兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點(diǎn)C，過C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，求∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系；(3)若射線BP先旋轉(zhuǎn)20秒，射線AM才開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線AM旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t<160），若旋轉(zhuǎn)中AM∥BP，求t的值．【變式14-3】（2022·浙江湖州·七年級(jí)期末）如圖1，已知直線AB∥CD，∠CMN=60°，射線ME從MD出發(fā)，繞點(diǎn)M以每秒a度的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)MC后立即以相同的速度返回，到達(dá)MD后繼續(xù)改變方向，繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線NF從NA出發(fā)，繞點(diǎn)N以每秒b度的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)NB后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)ME也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．其中a，(1)求a，b的值；(2)若NF先運(yùn)動(dòng)30秒，然后ME一起運(yùn)動(dòng)，設(shè)ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中ME∥NF時(shí)，求(3)如圖2，若ME與NF同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在ME第一次到達(dá)MC之前，ME與NF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥ME于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)Q，則在運(yùn)動(dòng)過程中，若設(shè)∠NME的度數(shù)為m，請(qǐng)求出∠NPQ的度數(shù)（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)15與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】【例15】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）【認(rèn)識(shí)概念】如圖1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則AD，AE叫做∠BAC的“三分線”．其中，AD是“近AB三分線”，AE是“遠(yuǎn)AB三分線”．【理解應(yīng)用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分線AD與∠B的角平分線(2)如圖2，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的近AB三分線和∠ACB近AC三分線，若BO⊥CO，求∠A的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的遠(yuǎn)BC三分線和∠ACB遠(yuǎn)BC三分線，且∠A＝m°，直線PQ過點(diǎn)O分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q，請(qǐng)直接寫出∠1﹣∠2的度數(shù)（用含【變式15-1】（2022·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）如圖：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平線，∠A=40o，∠BPC=________．【變式15-2】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則∠P的度數(shù)是．（2）如圖2，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠EBC和∠FCD，則∠P的度數(shù)是．（3）如圖3，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度數(shù)．【變式15-3】（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請(qǐng)直接寫出∠MNB與∠A【考點(diǎn)16利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】【例16】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）已知：三角形ABC和同一平面內(nèi)的點(diǎn)D．(1)如圖①，點(diǎn)D在BC邊上，DE∥BA交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB于點(diǎn)F若∠EDF=85°，則∠A的度數(shù)為______；(2)如圖②，點(diǎn)D在BC的延長線CM上，DF∥CA交BA延長線于點(diǎn)F，DE在∠FDM內(nèi)部，若∠EDF=∠BAC，試說明DE∥BA；(3)如圖③，點(diǎn)D是三角形ABC外部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D畫DE∥BA交直線AC于點(diǎn)E，畫DF∥CA交直線AB于點(diǎn)F，請(qǐng)用等式直接表示∠EDF與∠BAC之間的關(guān)系．【變式16-1】（2022·山東煙臺(tái)·期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在三角形ABC的三條邊上，點(diǎn)G在DF上，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B，DE與BC所在的直線存在什么位置關(guān)系？請(qǐng)?jiān)敿?xì)說明理由．【變式16-2】（2022·吉林·前郭縣一中七年級(jí)期末）兩個(gè)三角形ABC和DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，∠A=60°，∠DCE=∠E=45°．(1)當(dāng)AB∥DC時(shí)，如圖①，求(2)當(dāng)CD與CB重合時(shí)，如圖②，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，當(dāng)AB∥EC時(shí)，求【變式16-3】（2022·廣東·佛山市順德區(qū)勒流育賢實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）知識(shí)延展：三角形的一邊和另一邊的反向延長線組成的角叫三角形的外角，如∠ACD是三角形的外角．容易說明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，如圖可得：∠ACD=∠A十∠B．請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)和延展知識(shí)解決如下問題：(1)如圖，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大?。?2)如圖，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大?。?3)如圖，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，則∠AEC、∠ADC、∠ABC之間是否存在某種等量關(guān)系？若存在，請(qǐng)你得出結(jié)論，說明理由；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)17與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】【例17】（2022·遼寧盤錦·七年級(jí)期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請(qǐng)說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，M，D三點(diǎn)不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請(qǐng)直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【變式17-1】（2022·山東德州·七年級(jí)期中）如圖所示，DE∥BC，∠1=∠3，(1)求證：FG⊥AB．(2)若∠3=45°，求∠ADE的度數(shù)．【變式17-2】（2022·江蘇南通·七年級(jí)期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交直線CD于點(diǎn)F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠B=60°，∠ACB=30°，則∠EGC=______°；②若∠A=80°，求∠EGC的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在射線DB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出答案．【變式17-3】（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【考點(diǎn)18與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】【例18】（2022·江蘇·睢寧縣桃園中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，將紙片沿著MN折疊，使C，D分別落在直線AB上的C′，D′處，則∠AMD′+∠A．50° B．60° C．70° D．80°【變式18-1】（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AC邊上取點(diǎn)D，使得AD=AB，連接BD．點(diǎn)E、F分別為AD、BD邊上的點(diǎn)，且∠DEF=48°，將△DEF沿直線EF翻折，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，若GF//BC，則∠C的度數(shù)為_______．【變式18-2】（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，連接AB．（1）如圖1，已知AC，BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，①點(diǎn)A，B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大?。谌鐖D2，將ΔABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，記作點(diǎn)C′，則∠ABO=_______°；如圖3，將ΔABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，記作點(diǎn)C′′，則∠ABO=（2）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線交其延長線交于E，F(xiàn)，在ΔAEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的32倍，求∠ABO【變式18-3】（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，三角形ABC中，∠A=58°,∠B=90°,∠C=32°．點(diǎn)E是BC邊上的定點(diǎn)，點(diǎn)D在AC邊上運(yùn)動(dòng)．沿DE折疊三角形CDE，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處．（1）如圖2，若DE//AB，求∠ADG的度數(shù)．（2）如圖3，若EG//AB，求∠ADG的度數(shù)．（3）當(dāng)三角形DEG的三邊與三角形ABC的三邊有一組邊平行時(shí)，直接寫出∠CDG的度數(shù)【考點(diǎn)19三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用】【例19】（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)黃石十四中?？计谥校┮韵铝懈鹘M線段為邊，能組成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，5cm【變式19-1】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)?？计谥校┰O(shè)a，b，c是△ABC的三邊，化簡：a+b?c?【變式19-2】（2022秋·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谥校┯?cm、5cm、7cm、9cm、11cm的五根木棒可組成不同的三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【變式19-3】（2022秋·安徽蕪湖·八年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)校考期中）已知一個(gè)三角形的三邊長分別為2a，a?1，5，求整數(shù)a的值．【題型20三角形的中線、高、角平分線】【例20】（2022春·福建廈門·七年級(jí)廈門雙十中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，AD、AE、AF分別是它的高線、角平分線和中線，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．BF=CF B．∠ACD+∠CAD=90° C．AD≤AE D．S【變式20-1】（2022春·內(nèi)蒙古包頭·七年級(jí)包頭市第二十九中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，AE=2ED，且S△ABC=122，則【變式20-2】（2022春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面積；(2)AD的長度；(3)△ACE與△ABE的周長的差．【變式20-3】（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成70和【題型21多邊形的內(nèi)角和與外角和】【例21】（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，六邊形ABCDEF中，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°，則∠F的度數(shù)為（A．120° B．125° C．130° D．140°【變式21-1】（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在計(jì)算某n邊形的內(nèi)角和時(shí)，不小心少算了一個(gè)內(nèi)角，得到和為2021°，這個(gè)角的大小是_____________．【變式21-2】（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)15米后向左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進(jìn)15米，又向左轉(zhuǎn)30°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，共走了_____米．【變式21-3】（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1:5，則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為________．【題型22生活中的平移現(xiàn)象】【例22】（2022春·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（

）①方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動(dòng)；③鐘擺的擺動(dòng)；④汽車雨刷的運(yùn)動(dòng)A．①② B．②③ C．①②④ D．②【變式22-1】（2022春·重慶璧山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）今年4月，被稱為“豬兒蟲”的璧山云巴正式運(yùn)行．云巴在軌道上運(yùn)行可以看作是（

）A．對(duì)稱 B．旋轉(zhuǎn) C．平移 D．跳躍【變式22-2】（2022春·湖北宜昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)爬到點(diǎn)B，只考慮路徑、時(shí)間、路程等因素，下列結(jié)論正確的為（

）A．乙比甲先到 B．甲比乙先到C．甲和乙同時(shí)到 D．無法確定哪只螞蟻先到【變式22-3】（2022春·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，人民公園內(nèi)一塊長方形草地上原有一條1m寬的筆直小路，現(xiàn)要將這條小路改造成彎曲小路，小路的上邊線向下平移1m就是它的下邊線，那么改造后小路的面積（A．變大了 B．變小了 C．沒變 D．無法確定【題型23圖形的平移】【例23】（2022春·內(nèi)蒙古興安盟·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年，中國舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，如圖，通過平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的圖形是（

）A． B．C． D．【變式23-1】（2022春·全國·七年級(jí)期末）下列汽車標(biāo)志中可以看作是由某圖案平移得到的是（

）A． B． C． D．【變式23-2】（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）觀察下列五幅圖案，在②③④⑤中可以通過①平移得到的圖案是（

）A．② B．③ C．④ D．⑤【變式23-3】（2022春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┫铝袌D案可以看作某一部分平移后得到的是（）A． B． C． D．【題型24利用平移的性質(zhì)求解】【例24】（2022春·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，將這個(gè)長方形向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到長方形EFGH，則陰影部分的面積為（

）A．30 B．32 C．36 D．40【變式24-1】（2022春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC的周長為2021，在其內(nèi)部有5個(gè)小直角三角形，且這5個(gè)小直角三角形都有一條邊與BC平行，則這5個(gè)小直角三角形周長的和為_________．【變式24-2】（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿直線AB向右平移到達(dá)△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，則∠CBE的度數(shù)為______．【變式24-3】（2022春·廣東韶關(guān)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把邊長為2的正方形的局部進(jìn)行圖①~圖④的變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（

）A．18 B．16 C．12 D．8【題型25利用平移解決實(shí)際問題】【例25】（2022春·北京西城·七年級(jí)北京市西城外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，公園里長為20米寬為10米的長方形草地內(nèi)修建了寬為1米的道路，則草地面積是________平方米．【變式25-1】（2022春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某酒店重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，其側(cè)面如圖所示，則需地毯__米．【變式25-2】（2022春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖（單位，m），一塊長方形草坪中間有兩條寬度相等的石子路（每條石子路間距均勻），請(qǐng)你求出草坪（陰影部分）的面積．【變式25-3】（2022春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長方形的長均為10個(gè)單位長度，寬均為5個(gè)單位長度）在圖1中，將線段AB向上平移1個(gè)單位長度到A′B′在圖2中，將折線ABC（其中點(diǎn)B叫做折線ABC的一個(gè)“折點(diǎn)”）向上平移1個(gè)單位長度到折線A′B′問題解決：(1)在圖3中，請(qǐng)你類似地畫一條有兩個(gè)“折點(diǎn)”的折線，同樣向上平移1個(gè)單位長度，從而得到一個(gè)封閉圖形，并用斜線畫出陰影部分：(2)設(shè)圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1、S2，則S1=平方單位；并比較大?。篠(3)聯(lián)想與探索：如圖4．在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個(gè)單位長度），長方形的長為a，寬為b，請(qǐng)你直接寫出空白部分表示的草地的面積是平方單位．（用含a，b的式子表示）專題13.1平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）二十五大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷】 1【考點(diǎn)2三線八角中的截線問題】 4【考點(diǎn)3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 6【考點(diǎn)4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】 13【考點(diǎn)5與垂線有關(guān)的角度計(jì)算或證明】 16【考點(diǎn)6利用平行線的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】 20【考點(diǎn)7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 26【考點(diǎn)8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 32【考點(diǎn)9平行線的運(yùn)用（單一輔助線）】 39【考點(diǎn)10平行線的運(yùn)用（多條輔助線）】 46【考點(diǎn)11平行線在折疊問題的運(yùn)用】 56【考點(diǎn)12平行線在三角尺中的運(yùn)用】 60【考點(diǎn)13平行線中的規(guī)律問題】 65【考點(diǎn)14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】 74【考點(diǎn)15與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 81【考點(diǎn)16利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】 89【考點(diǎn)17與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 95【考點(diǎn)18與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】 105【考點(diǎn)19三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用】 112【題型20三角形的中線、高、角平分線】 114【題型21多邊形的內(nèi)角和與外角和】 118【題型22生活中的平移現(xiàn)象】 120【題型23圖形的平移】 122【題型24利用平移的性質(zhì)求解】 124【題型25利用平移解決實(shí)際問題】 127【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．∠1和∠2是同旁內(nèi)角 B．∠1和∠3是對(duì)頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角定義判斷即可．【詳解】A.∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∠1和∠3是對(duì)頂角，此選項(xiàng)正確；C.∠3和∠4是同位角，此選項(xiàng)正確；D.∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，此選項(xiàng)正確；故選A.【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，同位角，內(nèi)錯(cuò)角，

同旁內(nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.【變式1-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【答案】D【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．【變式1-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是()A．∠C與∠1是內(nèi)錯(cuò)角B．∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角C．∠A與∠B是同旁內(nèi)角D．∠A與∠3是同位角【答案】B【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角的定義可以得到A、C、D是正確的，∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，不是內(nèi)錯(cuò)角．【詳解】A、∠C與∠1是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)正確；B、∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠A與∠B是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)正確；D、∠A與∠3是同位角，故本選項(xiàng)正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的概念，比較簡單．【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁內(nèi)角有c對(duì)，則a+b?c的值是____________【答案】6【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的定義分別得到a，b，c的值，即可求解．【詳解】∵同位角有：∠8與∠4，∠5與∠1，∠7與∠3，∠6與∠2，∠4與∠9，∠7與∠9，共6對(duì)；內(nèi)錯(cuò)角有：∠7與∠1，∠6與∠4，∠5與∠9，∠2與∠9，共4對(duì)，同旁內(nèi)角有：∠7與∠4，∠6與∠1，∠1與∠9，∠6與∠9共4對(duì)，∴a=6，b=4,c=4，∴a+b?c=6，故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的定義，掌握它們的定義，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2三線八角中的截線問題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線DA、DB被AC所截形成的【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：如圖，∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的判斷，熟知內(nèi)錯(cuò)角的定義是解題關(guān)鍵，弄清哪兩條直線被第三條直線所截才能形成內(nèi)錯(cuò)角是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內(nèi)錯(cuò)角A．直線AD、BC被直線BD所截 B．直線AB、CD被直線BD所截C．直線AB、CD被直線AC所截 D．直線AD、BC被直線AC所截【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義即可完成．【詳解】由圖知，∠ABD與∠BDC是直線AB、CD被直線BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的識(shí)別，兩條直線被第三條直線所截，若兩個(gè)角在兩條截線之間，且在被截線的兩旁，則稱這對(duì)角為內(nèi)錯(cuò)角，掌握內(nèi)錯(cuò)角的含義是正確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠2與∠3是直線______、____被第三條直線_____所截形成的_______．【答案】

AB

AC

BD

同旁內(nèi)角【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義即可判斷．【詳解】由同旁內(nèi)角的概念可知：如圖所示，∠2與∠3是直線AB，AC被直線BD所截而成的同旁內(nèi)角；故答案為：AB；AC；BD；同旁內(nèi)角；【點(diǎn)睛】本題考查了同旁內(nèi)角的定義，熟悉掌握同旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·全國·七年級(jí)）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出：(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角.(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.【答案】(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠5；(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角是∠1和∠7；(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角是∠3和∠4【分析】根據(jù)兩條直線被第三條直線所截，所形成的角中，兩角在兩條直線的中間，第三條直線的兩旁，可得內(nèi)錯(cuò)角，兩角在兩直線的中間，第三條直線的同側(cè)，可得同旁內(nèi)角，兩角在兩條直線的同側(cè)，第三條直線的同側(cè)，可得同位角.【詳解】解：(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠5.(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角是∠1和∠7.(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角是∠3和∠4.【點(diǎn)睛】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成F形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成Z形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成U形．【考點(diǎn)3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例3】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【答案】DE；AF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】先通過已知條件證明DE∥AF，再由兩直線平行同位角相等和等量代換證出AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠B=∠C．【詳解】證明：∵∠1=∠2（已知），∴DE∥AF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠A=∠BED（兩直線平行，同位角相等）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故答案為：DE；AF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關(guān)系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想不必證明．【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，兩直線平行；(2)成立(3)不成立，GM⊥HN．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠MGE=∠NHG，再利用平行線的判定即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠HGM=∠NHG，再利用平行線的判定即可；（3）設(shè)GM與HN交于點(diǎn)P，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．（1）證明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分線∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分線，∴∠AGM=∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分線，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代換）∴GM∥HN．（3）（3）（1）中的結(jié)論不成立，GM⊥HN，理由：如圖：設(shè)GM與HN交于點(diǎn)P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分線，∴∠BGM=∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分線，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+∠NHG）=90°∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正確；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正確；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，∵2∠1-∠4=90°，∴∠1=45°+12∴∠3+12綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)57°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠B=180°，進(jìn)而推出∠C+∠B=180°，即可證明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，據(jù)此即可證明結(jié)論；（2）先由平行線的性質(zhì)得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，進(jìn)而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可證明BG是∠EBC的平分線；（3）設(shè)∠GDH=∠HDC=α，設(shè)∠EBG=∠CBG=β，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出66°+2β+2α=180°，則α+β=57°，過點(diǎn)H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，則∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；（1）解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D；（2）解：∵AD∥BC，∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，∵∠AEB=2∠G，∴∠CBE=2∠G，∴∠EBG+∠CBG=2∠G，∴∠EBG=∠CBG=∠G，∴BG是∠EBC的平分線；（3）解：∵DH是∠GDC的平分線，∴∠GDH=∠HDC，設(shè)∠GDH=∠HDC=α，∵AD∥BC，∴∠BCD=∠GDC=2α，設(shè)∠EBG=∠CBG=β，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，∴66°+2β+2α=180°，∴α+β=57°，過點(diǎn)H作HP∥AB交AG于P，∴∠PHB+∠ABH=180°，∵AB∥CD，∴CD∥HP，∴∠DHP=∠HDC=α，∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∴∠BHD=57°；【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】【例4】（2022·河南洛陽·七年級(jí)期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時(shí)，測(cè)得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時(shí)，小明坐在A點(diǎn)處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【答案】B【分析】此題可以構(gòu)造平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析計(jì)算．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作DE∥AC，則有∠1=∠OAC=28°而∠2=∠1，所以，上下最大可以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為∠2=∠1=56°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是一道生活問題，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于平行線的問題，解題關(guān)鍵是利用“兩直線平行,同位角相等”解答．【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級(jí)期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得，∠1=75°，∠AOB=35°，∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，當(dāng)∠2=∠AOB時(shí)，a∥b，∴∠2=40°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級(jí)期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF第一次與AB平行時(shí)，∠CDF的度數(shù)是（A．15° B．30° C．45° D．75°【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，則可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）如圖，直線l1∥l2，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角板的銳角頂點(diǎn)B放在直線l2上，將三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點(diǎn)C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點(diǎn)A．65° B．75° C．85° D．80°【答案】A【分析】過A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3，進(jìn)而求得∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出答案．【詳解】解：過C作CE∥l1，∵l1∥l2，∴CE∥l1∥l2，∴∠3=∠1=35°，∴∠4=90°-∠3=55°，∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．故選：A．【點(diǎn)睛】題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5與垂線有關(guān)的角度計(jì)算或證明】【例5】（2022·湖南·測(cè)試·編輯教研五七年級(jí)期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說明BD與AC互相垂直嗎？【答案】見解析【分析】根據(jù)∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．【詳解】證明：∵∠1=∠C，∴ED∥BC，∴∠2=∠DBC，∵∠2=∠3，∴∠DBC=∠3∴BD∥FG，∵FG⊥AC，∴BD⊥AC．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)及判定，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）請(qǐng)補(bǔ)充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù)．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：解：因?yàn)镈G//所以∠2=∠BAD（____________）．因?yàn)椤?=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//所以∠EFB=______（兩直線平行，同位角相等）因?yàn)镋F⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【答案】兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：因?yàn)镈G//所以∠2=∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)椤?=∠2（已知），所以∠1=∠BAD（等量代換），所以EF//所以∠EFB=∠ADB（兩直線平行，同位角相等），因?yàn)镋F⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（垂直的定義），所以∠ADF=90°（等量代換），所以AD⊥BC（垂直的定義），故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請(qǐng)說明理由：如果不能，添加一個(gè)條件，使它們平行（不必說明理由）．【答案】（1）平行，理由見解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）平行．理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，∴AD∥BC；（2）不能判斷AB與CD平行，添加CD⊥AC即可判斷AB與CD平行．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AB∥CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定定理，掌握“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·全國·七年級(jí)）已知：直線MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點(diǎn)C是線段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是射線AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD．(1)在圖1中過點(diǎn)C作CE⊥CD，與射線BQ交于E點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點(diǎn)F是射線BQ上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線交于點(diǎn)G，請(qǐng)用含有α的代數(shù)式來表示∠DGF，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠DGF=180°-12α【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可．②過點(diǎn)C作CT∥MN．利用平行線的性質(zhì)和判定以及垂線的性質(zhì)解決問題．（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本結(jié)論可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分線的定義及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．(1)解：