2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上專題8 分式章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）含答案

2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上專題10分式章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1分式及最簡(jiǎn)分式的概念】【方法點(diǎn)撥】1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.最簡(jiǎn)分式:若分式的分子和分母沒(méi)有公因式，這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式，約分時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式.【例1】（2019秋?泰安期中）下列各式，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)共有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】（2018春?沈北校級(jí)期中）代數(shù)式中分式的個(gè)數(shù)為A．6個(gè) B．5個(gè) C．1個(gè) D．3個(gè)【變式1-2】（2019春?溫江區(qū)期末）下列分式，，，最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-3】（2018秋?任城區(qū)期中）下列分式，，，中，最簡(jiǎn)分式有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)2分式有意義條件】【方法點(diǎn)撥】分式有意義的條件：分母不等于0.【例2】（2019秋?夏津縣校級(jí)月考）取何值時(shí)，下列分式有意義：（1）（2）（3）．【變式2-1】下列分式中的字母滿足什么條件時(shí)，分式有意義．（1）；（2）；（3）；（4）．【變式2-2】（2019秋?夏津縣校級(jí)月考）若分式有意義，求的取值范圍．【變式2-3】（2018秋?宜都市期末）若式子無(wú)意義，求代數(shù)式的值．【考點(diǎn)3分式值為0的條件】【方法點(diǎn)撥】滿足分式的值為0的條件：分子為0分母不為0.【例3】（2018秋?大荔縣期末）如果分式的值為0，求的值是多少？【變式3-1】（2019秋?東莞市校級(jí)期中）當(dāng)取何值時(shí)，分式的值為零．【變式3-2】（2019秋?北湖區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)取何值時(shí)，分式（1）有意義；（2）分式的值為0．【變式3-3】對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為零，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，試求、的值．【考點(diǎn)4分式的基本性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變.【例4】（2019春?稷山縣期末）若，為不等于0的整式，則下列各式成立的是A．為整式） B．為整式） C． D．【變式4-1】（2019秋?龍口市期中）下列各式從左到右變形正確的是A． B． C． D．【變式4-2】（2019秋?大名縣期中）下列各式中，正確的是A． B． C． D．【變式4-3】（2018秋?奉賢區(qū)期末）若分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則此分式的值A(chǔ)．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 C．不變 D．縮小到原來(lái)的【考點(diǎn)5利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求值】【例5】若、都是正實(shí)數(shù)，且，求的值．【變式5-1】（2019春?禪城區(qū)校級(jí)月考）已知：，求代數(shù)式的值．【變式5-2】（2019秋?高唐縣期末）已知，求分式的值．（提示：分式的分子與分母同除以．【變式5-3】已知實(shí)數(shù)滿足，求下列各式的值：（1）的值；（2）；（3）的值；（4）的值．【考點(diǎn)6分式的化簡(jiǎn)求值】【例6】（2019春?潛山市期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式6-1】（2019春?合肥期末）先化簡(jiǎn)，再求值：．其中﹣2≤m≤2且為整數(shù)，請(qǐng)你從中選取一個(gè)喜歡的數(shù)代入求值．【變式6-2】（2019春?衛(wèi)輝市期末）先化簡(jiǎn)：，然后從﹣3≤a≤3的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．【變式6-3】（2018秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考）（1）先化簡(jiǎn)：，并從0，，2中選一個(gè)合適的數(shù)，作為的值代入求值．（2）先化簡(jiǎn)后求值：，其中滿足．【考點(diǎn)7解分式方程】【方法點(diǎn)撥】分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③檢驗(yàn)(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根).【例7】（2019秋?武岡市期中）解方程：（1）（2）【變式7-1】（2019秋?臨淄區(qū)期中）解分式方程（1）（2）【變式7-2】（2019秋?岱岳區(qū)期中）解方程：（1）（2）【變式7-3】（2019秋?泰安期中）解下列分式方程：（1）（2）【考點(diǎn)8分式方程的增根】【例8】（2019?大城縣一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：．（1）她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【變式8-1】（2018春?安岳縣期末）關(guān)于的方程：．（1）當(dāng)時(shí)，求這個(gè)方程的解；（2）若這個(gè)方程有增根，求的值．【變式8-2】（2018春?洛寧縣期中）為何值時(shí)，關(guān)于的方程會(huì)產(chǎn)生增根？【變式8-3】（2018秋?克東縣期末）若關(guān)于的方程無(wú)解，求的值．【考點(diǎn)9分式方程的應(yīng)用之行程問(wèn)題】【例9】（2019秋?正定縣期中）市到市的距離約為，小劉開(kāi)著小轎車，小張開(kāi)著大貨車，都從市去市．小劉比小張晚出發(fā)1小時(shí)，最后兩車同時(shí)到達(dá)市，已知小轎車的速度是大貨車速度的1.5倍．（1）求小轎車和大貨車的速度各是多少．（列方程解答）（2）當(dāng)小劉出發(fā)時(shí)，求小張離市還有多遠(yuǎn)．【變式9-1】（2019?云南模擬）在“要致富先修路”的思想指導(dǎo)下，近幾年云南的交通有了快速的變化，特別是“高鐵網(wǎng)絡(luò)”延伸到云南以后，許多地區(qū)的經(jīng)濟(jì)和旅游發(fā)生了翻天覆地的變化，高鐵列車也成為人們外出旅行的重要交通工具．假期里小明和爸爸從昆明到某地去旅游，從昆明到該地乘汽車行駛的路程約為，高鐵列車比汽車行駛的路程少，高鐵列車比汽車行駛的時(shí)間少．已知高鐵列車的平均時(shí)速是汽車平均時(shí)速的2.5倍，求高鐵列車的平均時(shí)速．【變式9-2】（2019?宜賓）甲、乙兩輛貨車分別從、兩城同時(shí)沿高速公路向城運(yùn)送貨物．已知、兩城相距450千米，、兩城的路程為440千米，甲車比乙車的速度快10千米小時(shí)，甲車比乙車早半小時(shí)到達(dá)城．求兩車的速度．【變式9-3】（2019?高淳區(qū)二模）甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3200米．甲同學(xué)先步行200米，然后乘公交車去學(xué)校，乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的3倍．甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從家出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到8分鐘．（1）求乙騎自行車的速度；（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？【考點(diǎn)10分式方程的應(yīng)用之工程問(wèn)題】【例10】（2019秋?灤州市期中）列方程解應(yīng)用題某工程隊(duì)修建一條的道路，由于施工過(guò)程中采用了新技術(shù)，所以工作效率提高了，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．（1）求這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路多少米？（2）這項(xiàng)工程，如果要求工程隊(duì)提前兩天完成任務(wù)，那么實(shí)際的工作效率比原計(jì)劃增加百分之幾？【變式10-1】（2018秋?徽縣期末）某縣為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧惠民政策”，計(jì)劃將某村的居民自來(lái)水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成：若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊(duì)先合作施工15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需5天．（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？（2）為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成．則甲乙兩隊(duì)合作完成該工程需要多少天？【變式10-2】（2018秋?江北區(qū)期末）在我市區(qū)某中學(xué)美化校園招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要30天，若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天，需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在35天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢，還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？【變式10-3】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年9月10日至25日在杭州舉行，杭州奧體博覽城將成為杭州2022年亞運(yùn)會(huì)的主場(chǎng)館．某工廠承包了主場(chǎng)館建設(shè)中某一零件的生產(chǎn)任務(wù)，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件，若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件．（1）求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù)．（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí)，引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多，按此測(cè)算，恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，求原計(jì)劃安排的工人人數(shù)．【考點(diǎn)11分式方程的應(yīng)用之利潤(rùn)問(wèn)題】【例11】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降，今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為90萬(wàn)元，今年銷售額只有80萬(wàn)元．（1）求今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元；（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元，每輛售價(jià)為10.5萬(wàn)元，A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元，若賣出這兩款汽車共15輛后，獲利不低于39萬(wàn)元，求B款汽車至少賣出多少輛？【變式11-1】（2019秋?萊西市期中）某超市用5000元購(gòu)進(jìn)某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥9000元資金購(gòu)進(jìn)該種干果，但這次每千克的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)提高了5元，購(gòu)進(jìn)干果數(shù)量是第一次的1.5倍．（1）該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克多少元？（2）如果超市按每千克40元的價(jià)格出售，當(dāng)大部分干果售出后，余下的100千克按售價(jià)的6折售完，超市銷售這種干果共盈利多少元？（3）如果這兩批干果每千克售價(jià)相同，且全部售完后總利淘不低于25%，那么每千克干果的售價(jià)至少是多少元？【變式11-2】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）某商家預(yù)測(cè)某種粽子能夠暢銷，就用6000元購(gòu)進(jìn)了一批這種粽子，上市后銷售非常好，商家又用14000元購(gòu)進(jìn)第二批這種粽子，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每袋進(jìn)價(jià)多了5元．（1）該商家兩批共購(gòu)進(jìn)這種粽子多少袋？（2）由于儲(chǔ)存不當(dāng)，第二批購(gòu)進(jìn)的粽子中有10%腐壞，不能售賣．該商家將兩批粽子按同一價(jià)格全部銷售完畢后獲利不低于8000元，求每袋粽子的售價(jià)至少是多少元？【變式11-3】（2019春?濱湖區(qū)期末）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品共用了20000元，乙種商品共用了24000元．已知乙種商品每件進(jìn)價(jià)比甲種商品每件進(jìn)價(jià)多8元，且購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品件數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種商品的每件進(jìn)價(jià)；（2）該商場(chǎng)將購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，甲種商品的銷售單價(jià)為60元，乙種商品的銷售單價(jià)為88元，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場(chǎng)決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價(jià)的七折銷售；乙種商品銷售單價(jià)保持不變．要使兩種商品全部售完后共獲利不少于24600元，問(wèn)甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售多少件？【考點(diǎn)12分式方程的應(yīng)用之方案問(wèn)題】【例12】（2019春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）某電腦公司經(jīng)銷甲種型號(hào)電腦，受各方因素影響，電腦價(jià)格不斷下降，今年三月份的電腦售價(jià)比去年同期每臺(tái)降價(jià)900元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售為10萬(wàn)元，今年銷售額只有8萬(wàn)元．（1）今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)多少元？（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號(hào)電腦，已知甲種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3400元，乙種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3000元，公司預(yù)計(jì)用不多于4.8萬(wàn)元且不少于4.7萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共15臺(tái)，則共有幾種進(jìn)貨方案？【變式12-1】（2019?金堂縣模擬）為了迎接“五?一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰．某服裝專賣店老板小王準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種夏季服裝．其中甲種服裝每件的成本價(jià)比乙種服裝的成本價(jià)多20元，甲種服裝每件的售價(jià)為240元比乙種服裝的售價(jià)多80元．小王用4000元購(gòu)進(jìn)甲種服裝的數(shù)量與用3200元購(gòu)進(jìn)乙種服裝的數(shù)量相同．（1）甲種服裝每件的成本是多少元？（2）要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種服裝共200件的總利潤(rùn)（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）不少于21100元，且不超過(guò)21700元，問(wèn)小王有幾種進(jìn)貨方案？【變式12-2】（2019?濟(jì)寧模擬）某校為了改善辦公條件，計(jì)劃從廠家購(gòu)買A、B兩種型號(hào)電腦．已知每臺(tái)A種型號(hào)電腦價(jià)格比每臺(tái)B種型號(hào)電腦價(jià)格多0.1萬(wàn)元，且用10萬(wàn)元購(gòu)買A種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬(wàn)購(gòu)買B種型號(hào)電腦的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格各為多少萬(wàn)元？（2）學(xué)校預(yù)計(jì)用不多于9.2萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共20臺(tái)，其中A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)，請(qǐng)問(wèn)有哪幾種購(gòu)買方案？【變式12-3】（2018秋?綦江區(qū)期末）某開(kāi)發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費(fèi)用為每天80元，乙工廠加工費(fèi)用為每天120元．（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成．在加工過(guò)程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天15元的午餐補(bǔ)助費(fèi)，請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說(shuō)明理由．八上專題8分式章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1分式及最簡(jiǎn)分式的概念】【方法點(diǎn)撥】1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.最簡(jiǎn)分式:若分式的分子和分母沒(méi)有公因式，這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式，約分時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式.【例1】下列各式，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)共有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．【答案】解：由題可得，是分式的有：，，（x﹣y），，共4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的定義，分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．【變式1-1】代數(shù)式中分式的個(gè)數(shù)為A．6個(gè) B．5個(gè) C．1個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)分式的定義，可得答案．【答案】解：代數(shù)式、、、、、的分母中含有字母，屬于分式，共有6個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的定義，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常數(shù)不是字母．【變式1-2】下列分式，，，最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【答案】解：＝，，＝x﹣y，＝＝，故只有是最簡(jiǎn)分式．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了最簡(jiǎn)分式，正確化簡(jiǎn)分式是解題關(guān)鍵．【變式1-3】下列分式，，，中，最簡(jiǎn)分式有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義，逐個(gè)判斷即可得結(jié)論．【答案】解：∵＝，故A不是最簡(jiǎn)分式；＝＝，故B不是最簡(jiǎn)分式；＝，故C是最簡(jiǎn)分式；分式的分子分母沒(méi)有公因式，故D最是簡(jiǎn)分式．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)分式的判斷，掌握最簡(jiǎn)分式的定義是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2分式有意義條件】【方法點(diǎn)撥】分式有意義的條件：分母不等于0.【例2】取何值時(shí)，下列分式有意義：（1）（2）（3）．【分析】（1）根據(jù)分式的分母不為零分式有意義，可得答案；（2）根據(jù)分式的分母不為零分式有意義，可得答案；（3）根據(jù)分式的分母不為零分式有意義，可得答案．【答案】解：（1）要使有意義，得2x﹣3≠0．解得x≠，當(dāng)x≠時(shí)，有意義；（2）要使有意義，得|x|﹣12≠0．解得x≠±12，當(dāng)x≠±12時(shí)，有意義；（3）要使有意義，得x2+1≠0．x為任意實(shí)數(shù)，有意義．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義，分式的分母不為零分式有意義．【變式2-1】下列分式中的字母滿足什么條件時(shí)，分式有意義．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用分式有意義的條件是分母不等于零，進(jìn)而求出即可；（2）利用分式有意義的條件是分母不等于零，進(jìn)而求出即可；（3）利用分式有意義的條件是分母不等于零，進(jìn)而求出即可；（4）利用分式有意義的條件是分母不等于零，進(jìn)而求出即可．【答案】解：（1）m﹣1≠0時(shí)，分式有意義，故m≠1；（2）2﹣3x≠0時(shí)，分式有意義，故x≠；（3）x﹣1≠0時(shí)，分式有意義，故x≠1；（4）x﹣3≠0時(shí)，分式有意義，故x≠3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式有意義的條件，利用分母不等于零求出是解題關(guān)鍵．【變式2-2】若分式有意義，求的取值范圍．【分析】先把除法化為乘法，再根據(jù)分式有意義的條件即可得到結(jié)果．【答案】解：∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是注意分式所有的分母部分均不能為0，分式才有意義．【變式2-3】若式子無(wú)意義，求代數(shù)式的值．【分析】根據(jù)式子無(wú)意義可確定y的值，再化簡(jiǎn)代數(shù)式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．【答案】解：∵式子無(wú)意義，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y(tǒng)2﹣x2+x2＝y(tǒng)2＝（）2＝．【點(diǎn)睛】本題考查了分式無(wú)意義的條件和多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)求值．當(dāng)分母等于0時(shí)，分式無(wú)意義．【考點(diǎn)3分式值為0的條件】【方法點(diǎn)撥】滿足分式的值為0的條件：分子為0分母不為0.【例3】如果分式的值為0，求的值是多少？【分析】根據(jù)分式值．為0的條件：分子為0，分母不為0，求出x的值即可【答案】解：依題意得：x2﹣1＝0且2x+2≠0，解得x＝1，即分式的值為0時(shí)，x的值是1．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及分式值為零的條件，做題時(shí)注意分母不為0的條件．【變式3-1】當(dāng)取何值時(shí)，分式的值為零．【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．【答案】解：由分式的值為零，得3﹣|a|＝0，且6+2a≠0．解得a＝3，當(dāng)a＝3時(shí)，分式的值為零．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．【變式3-2】當(dāng)取何值時(shí)，分式（1）有意義；（2）分式的值為0．【分析】（1）分式有意義，分母不為零；（2）分式的值為零時(shí)，分子為零，但是分母不為零．【答案】解：（1）根據(jù)題意，得x2﹣9≠0，解得，x≠±3，即當(dāng)x≠±3時(shí)，分式有意義；（2）根據(jù)題意，得（x+3）（x﹣2）＝0，且x2﹣9≠0，解得，x＝2，即當(dāng)x＝2時(shí)，分式的值為零．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件、分式有意義的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．【變式3-3】對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為零，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，試求、的值．【分析】根據(jù)分式的值為零的條件為0的條件可得1+a+b＝0且a﹣2b+3≠0，根據(jù)分式無(wú)意義的條件可得a﹣2b﹣6＝0，兩者聯(lián)立可求a、b的值．【答案】解：∵分式，當(dāng)x＝1時(shí)，分式的值為零，∴1+a+b＝0且a﹣2b+3≠0，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式無(wú)意義，∴a﹣2b﹣6＝0，聯(lián)立可得，解得．故a的值是、b的值是﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式無(wú)意義的條件和分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．【考點(diǎn)4分式的基本性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變.【例4】若，為不等于0的整式，則下列各式成立的是A．為整式） B．為整式） C． D．【分析】分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．【答案】解：A．E可能為0，故不成立；B．不符合分式性質(zhì)，故錯(cuò)誤；C．（x+1）2≥0，故錯(cuò)誤；D．x2+1＞0，故正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，正確理解分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變是解題的關(guān)鍵，【變式4-1】下列各式從左到右變形正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，依次分析各個(gè)選項(xiàng)，選出正確的選項(xiàng)即可．【答案】解：A．分式的分子和分母同時(shí)乘以10，應(yīng)得，即A不正確，B.，故選項(xiàng)B正確，C．分式的分子和分母同時(shí)減去一個(gè)數(shù)，與原分式不相等，即C項(xiàng)不合題意，D.不能化簡(jiǎn)，故選項(xiàng)D不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，正確掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】下列各式中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【答案】解：（A）原式＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；（B）原式＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；（C）原式＝，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-3】若分式中的，的值同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則此分式的值A(chǔ)．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 C．不變 D．縮小到原來(lái)的【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【答案】解：＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點(diǎn)5利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)求值】【例5】若、都是正實(shí)數(shù)，且，求的值．【分析】已知等式左邊通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，整理后得到一個(gè)關(guān)系式，代入所求式子中計(jì)算即可求出值．【答案】解：∵﹣＝＝，∴﹣（a﹣b）（a+b）＝2ab，即a2﹣b2＝﹣2ab，則＝＝﹣．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．【變式5-1】已知：，求代數(shù)式的值．【分析】設(shè)t＝，則x、y、z可以用同一個(gè)字母來(lái)表示，然后將其代入代數(shù)式，然后將代數(shù)式化簡(jiǎn)即可．【答案】解：設(shè)t＝，則x＝2t①y＝3t②z＝4t③將①②③代入代數(shù)式，得＝＝，所以，代數(shù)式的值是．【點(diǎn)睛】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，將未知數(shù)x、y、z轉(zhuǎn)化為含有相同字母的量，然后代入所求代數(shù)式，只要將代數(shù)式化簡(jiǎn)即可．【變式5-2】已知，求分式的值．（提示：分式的分子與分母同除以．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母都除以ab，分式的值不變，再把換成3計(jì)算即可．【答案】解：分式的分子分母都除以ab，得＝＝，∵＝3，∴＝﹣3，所以原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題利用分式的基本性質(zhì)，分子分母都除以ab，巧妙運(yùn)用已知條件是解本題的關(guān)鍵，也是解本題的突破口．【變式5-3】已知實(shí)數(shù)滿足，求下列各式的值：（1）的值；（2）；（3）的值；（4）的值．【分析】（1）已知等式兩邊除以a，求出a+的值，即可確定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式變形，把a(bǔ)+的值代入計(jì)算即可求出值；（3）原式利用完全平方公式變形，把（2）結(jié)論代入計(jì)算即可求出值；（4）把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．【答案】解：（1）已知等式變形得：a+＝3，則原式＝9；（2）原式＝（a+）2﹣2＝9﹣2＝7；（3）原式＝（a2+）2﹣2＝49﹣2＝47；（4）由a2﹣3a+1＝0，得到a2＝3a﹣1，則原式＝＝8．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6分式的化簡(jiǎn)求值】【例6】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】根據(jù)分式的加法和減法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x＝﹣1代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【答案】解：+（x﹣3﹣）＝＝＝＝＝＝x﹣4，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．【變式6-1】先化簡(jiǎn)，再求值：．其中﹣2≤m≤2且為整數(shù)，請(qǐng)你從中選取一個(gè)喜歡的數(shù)代入求值．【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后從﹣2≤m≤2且m為整數(shù)中選取一個(gè)使得原分式有意義的整數(shù)代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【答案】解：（m+2+）÷（m+1）＝＝＝＝，∵﹣2≤m≤2且m為整數(shù)，∴當(dāng)m＝0時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．【變式6-2】先化簡(jiǎn)：，然后從﹣3≤a≤3的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)分式有意義的條件找出a的值代入原式即可求出答案．【答案】解：?+＝×…＝＝∵a≠±3，0∴取a＝1，原式＝＝2【點(diǎn)睛】本題考查分式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于中等題型．【變式6-3】（1）先化簡(jiǎn)：，并從0，，2中選一個(gè)合適的數(shù)，作為的值代入求值．（2）先化簡(jiǎn)后求值：，其中滿足．【分析】（1）根據(jù)分式的混合計(jì)算的法則進(jìn)行計(jì)算，先算括號(hào)內(nèi)的，除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，分式乘法先約分，再相乘，x只能取0，而不能取﹣1，2，應(yīng)注意．（2）先將各自的分子、分母進(jìn)行因式分解，再轉(zhuǎn)化為乘法，約分后，整體代入即可求出結(jié)果．【答案】解：（1）＝（﹣）×＝×＝；∵x≠﹣1，x≠2，∴x＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝＝1．（2）＝××＝（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2；當(dāng)a2﹣a＝0時(shí)，原式＝﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，掌握計(jì)算法則、熟練進(jìn)行分解因式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7解分式方程】【方法點(diǎn)撥】分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③檢驗(yàn)(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根).【例7】解方程：（1）（2）【分析】（1）根據(jù)解分式方程的過(guò)程進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先確定公分母，再進(jìn)行計(jì)算即可．【答案】解：（1）3﹣2（x﹣2）＝﹣x解得x＝7經(jīng)檢驗(yàn)：x＝7是原方程的根∴原方程的解是x＝7．（2）2（1﹣x）+5（1+x）＝10解得x＝1檢驗(yàn)：把x＝1代入到（x+1）（x﹣1）中，得：（1+1）×（1﹣1）＝0∴原分式方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解決本題的關(guān)鍵是解分式方程要進(jìn)行驗(yàn)根．【變式7-1】解分式方程（1）（2）【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：2x+2＝4，解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是增根，分式方程無(wú)解；（2）去分母得：x+x+2＝32，解得：x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是分式方程的解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【變式7-2】解方程：（1）（2）【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：3﹣x+1＝x﹣4，解得：x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝4是增根，分式方程無(wú)解；（2）去分母得：4x＝6x﹣12﹣1，解得：x＝6.5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝6.5是分式方程的解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【變式7-3】解下列分式方程：（1）（2）【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）方程兩邊同乘（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）﹣（x+1）＝4，去括號(hào)得：2x﹣2﹣x﹣1＝4，解得：x＝7，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝7時(shí)，（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的解；（2）方程兩邊同乘3（x﹣3）得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3）解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，3（x﹣3）＝0，∴x＝3是原方程的增根∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【考點(diǎn)8分式方程的增根】【例8】小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：．（1）她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【分析】（1）把？＝5代入方程，進(jìn)而利用解分式方程的方法解答即可；（2）設(shè)？為m，利用分式方程的增根解答即可．【答案】解：（1）方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1解得x＝0經(jīng)檢驗(yàn)，x＝0是原分式方程的解．（2）設(shè)？為m，方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1由于x＝2是原分式方程的增根，所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1所以，原分式方程中“？”代表的數(shù)是﹣1．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．【變式8-1】關(guān)于的方程：．（1）當(dāng)時(shí)，求這個(gè)方程的解；（2）若這個(gè)方程有增根，求的值．【分析】（1）把a(bǔ)的值代入分式方程，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最簡(jiǎn)公分母為0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．【答案】解：（1）當(dāng)a＝3時(shí)，原方程為﹣＝1，方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，解這個(gè)整式方程得：x＝﹣2，檢驗(yàn)：將x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x＝﹣2是原方程的解；（2）方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，若原方程有增根，則x﹣1＝0，解得：x＝1，將x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，解得：a＝﹣3．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式8-2】為何值時(shí)，關(guān)于的方程會(huì)產(chǎn)生增根？【分析】先去分母得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，由于關(guān)于x的方程+＝會(huì)產(chǎn)生增根，則（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝﹣2或x＝2，然后把x＝﹣2和x＝2分別代入（m﹣1）x+10＝0即可得到m的值．【答案】解：原方程化為+＝，方程兩邊同時(shí)乘以（x+2）（x﹣2）得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，∵關(guān)于x的方程+＝會(huì)產(chǎn)生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2或x＝2，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，當(dāng)x＝2時(shí)，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，∴m＝﹣4或m＝6時(shí)，原方程會(huì)產(chǎn)生增根．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根：先把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母為0，則這個(gè)整式方程的解就是分式方程的增根．【變式8-3】若關(guān)于的方程無(wú)解，求的值．【分析】方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程無(wú)解可得m﹣1＝0或?qū)＝3代入整式方程，即可求出m的值．【答案】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，整理得：（m﹣1）x＝2，當(dāng)m﹣1＝0，即m＝1時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)m﹣1≠0時(shí)，x﹣3＝0，即x＝3時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)＝3，即m＝，所以m＝1或m＝．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，分式方程的解即為能使分式方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，且分式方程分母不為0．【考點(diǎn)9分式方程的應(yīng)用之行程問(wèn)題】【例9】市到市的距離約為，小劉開(kāi)著小轎車，小張開(kāi)著大貨車，都從市去市．小劉比小張晚出發(fā)1小時(shí)，最后兩車同時(shí)到達(dá)市，已知小轎車的速度是大貨車速度的1.5倍．（1）求小轎車和大貨車的速度各是多少．（列方程解答）（2）當(dāng)小劉出發(fā)時(shí)，求小張離市還有多遠(yuǎn)．【分析】（1）設(shè)大貨車的速度為x千米/小時(shí)，則小轎車的速度為1.5x千米/小時(shí)，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合小轎車比大貨車少用1小時(shí)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)小張離B市的距離＝A，B兩市間的距離﹣小張的速度×小張出發(fā)的時(shí)間，即可求出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)大貨車的速度為x千米/小時(shí)，則小轎車的速度為1.5x千米/小時(shí)，依題意，得：﹣＝1，解得：x＝70，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝70是原方程的解，且符合題意，∴1.5x＝105．答：大貨車的速度為70千米/小時(shí)，小轎車的速度為105千米/小時(shí)．（2）210﹣70×1＝140（千米）．答：當(dāng)小劉出發(fā)時(shí)，小張離B市還有140千米．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】在“要致富先修路”的思想指導(dǎo)下，近幾年云南的交通有了快速的變化，特別是“高鐵網(wǎng)絡(luò)”延伸到云南以后，許多地區(qū)的經(jīng)濟(jì)和旅游發(fā)生了翻天覆地的變化，高鐵列車也成為人們外出旅行的重要交通工具．假期里小明和爸爸從昆明到某地去旅游，從昆明到該地乘汽車行駛的路程約為，高鐵列車比汽車行駛的路程少，高鐵列車比汽車行駛的時(shí)間少．已知高鐵列車的平均時(shí)速是汽車平均時(shí)速的2.5倍，求高鐵列車的平均時(shí)速．【分析】設(shè)汽車的平均時(shí)速為xkm/h，則高鐵列車的平均時(shí)速為2.5xkm/h，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合高鐵列車比汽車行駛的時(shí)間少5h，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【答案】解：設(shè)汽車的平均時(shí)速為xkm/h，則高鐵列車的平均時(shí)速為2.5xkm/h，依題意，得：﹣＝5，解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原分式方程的解，且符合題意，∴2.5x＝250．答：高鐵列車的平均時(shí)速為250km/h．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】甲、乙兩輛貨車分別從、兩城同時(shí)沿高速公路向城運(yùn)送貨物．已知、兩城相距450千米，、兩城的路程為440千米，甲車比乙車的速度快10千米小時(shí)，甲車比乙車早半小時(shí)到達(dá)城．求兩車的速度．【分析】設(shè)乙車的速度為x千米/時(shí)，則甲車的速度為（x+10）千米/時(shí)，路程知道，且甲車比乙車早半小時(shí)到達(dá)C城，以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解．【答案】解：設(shè)乙車的速度為x千米/時(shí)，則甲車的速度為（x+10）千米/時(shí)．根據(jù)題意，得：+＝，解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），∴x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原方程的解，且符合題意．當(dāng)x＝80時(shí)，x+10＝90．答：甲車的速度為90千米/時(shí)，乙車的速度為80千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、分式方程的解法，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)時(shí)間＝，列方程求解．【變式9-3】甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3200米．甲同學(xué)先步行200米，然后乘公交車去學(xué)校，乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行速度是乙騎自行車速度的，公交車的速度是乙騎自行車速度的3倍．甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從家出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到8分鐘．（1）求乙騎自行車的速度；（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？【分析】（1）設(shè)乙騎自行車的速度為xm/min，則公交車的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（2）8×200＝1600米即可得到結(jié)果．【答案】解：（1）設(shè)乙騎自行車的速度為xm/min，則公交車的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，由題意得：﹣8＝+．解得x＝200．經(jīng)檢驗(yàn)x＝200原方程的解答：乙騎自行車的速度為200m/min．（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)還要繼續(xù)騎行8分鐘，所以8×200＝1600（m）．答：乙同學(xué)離學(xué)校還有1600m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到甲的運(yùn)動(dòng)速度是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)10分式方程的應(yīng)用之工程問(wèn)題】【例10】列方程解應(yīng)用題某工程隊(duì)修建一條的道路，由于施工過(guò)程中采用了新技術(shù)，所以工作效率提高了，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．（1）求這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路多少米？（2）這項(xiàng)工程，如果要求工程隊(duì)提前兩天完成任務(wù)，那么實(shí)際的工作效率比原計(jì)劃增加百分之幾？【分析】（1）設(shè)這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路x米，則實(shí)際每天修建道路（1+50%）x米，根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前4天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)實(shí)際的工作效率比原計(jì)劃增加的百分比為y，根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路x米，則實(shí)際每天修建道路（1+50%）x米，依題意，得：﹣＝4，解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的解，且符合題意．答：這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修建道路100米．（2）設(shè)實(shí)際的工作效率比原計(jì)劃增加的百分比為y，依題意，得：﹣＝2，解得：y＝0.2＝20%．經(jīng)檢驗(yàn)，y＝20%是原方程的解，且符合題意．答：實(shí)際的工作效率比原計(jì)劃增加20%．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵【變式10-1】某縣為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧惠民政策”，計(jì)劃將某村的居民自來(lái)水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成：若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍．如果由甲、乙隊(duì)先合作施工15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需5天．（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？（2）為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成．則甲乙兩隊(duì)合作完成該工程需要多少天？【分析】（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，則甲隊(duì)單獨(dú)施工需要x天完工，乙隊(duì)單獨(dú)施工需要1.5x天完工，根據(jù)甲隊(duì)完成的工作量+乙隊(duì)完成的工作量＝總工作量（單位1），即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）由（1）可求出甲、乙單獨(dú)施工所需天數(shù)，再利用兩隊(duì)合作完工所需時(shí)間＝總工作量÷（甲隊(duì)一天完成的工作量+乙隊(duì)一天完成的工作量），即可求出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，則甲隊(duì)單獨(dú)施工需要x天完工，乙隊(duì)單獨(dú)施工需要1.5x天完工，依題意，得：+＝1，解得：x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，且符合題意．答：這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是30天．（2）由（1）可知：甲隊(duì)單獨(dú)施工需要30天完工，乙隊(duì)單獨(dú)施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙兩隊(duì)合作完成該工程需要18天．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】在我市區(qū)某中學(xué)美化校園招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要30天，若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天，需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在35天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢，還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)甲完成的部分+乙完成的部分＝總工程量（單位1），即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可求出結(jié)論；（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)全程合作需要y天完成該工程，根據(jù)甲完成的部分+乙完成的部分＝總工程量（單位1），即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再分別求出甲隊(duì)單獨(dú)完成以及甲、乙兩隊(duì)全程合作完成該工程所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，依題意，得：+＝1，解得：x＝45，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝45是所列分式方程的解，且符合題意．答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要45天．（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)全程合作需要y天完成該工程，依題意，得：+＝1，解得：y＝18．甲隊(duì)單獨(dú)完成該工程所需費(fèi)用為3.5×30＝105（萬(wàn)元）；∵乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程需要45天，超過(guò)35天的工期，∴不能由乙隊(duì)單獨(dú)完成該項(xiàng)工程；甲、乙兩隊(duì)全程合作完成該工程所需費(fèi)用為（3.5+2）×18＝99（萬(wàn)元）．∵105＞99，∴在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．【變式10-3】第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年9月10日至25日在杭州舉行，杭州奧體博覽城將成為杭州2022年亞運(yùn)會(huì)的主場(chǎng)館．某工廠承包了主場(chǎng)館建設(shè)中某一零件的生產(chǎn)任務(wù)，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件，若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件．（1）求原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù)．（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計(jì)劃正常生產(chǎn)的同時(shí)，引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)比20個(gè)工人原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多，按此測(cè)算，恰好提前兩天完成24000個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，求原計(jì)劃安排的工人人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件x個(gè)，根據(jù)時(shí)間是一定的，列出方程求得原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)，再根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，即可求得規(guī)定的天數(shù)；（2）設(shè)原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為y人，根據(jù)等量關(guān)系：恰好提前兩天完成2400個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù)，列出方程求解即可．【答案】解：（1）設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件x個(gè)，由題意得，，得x＝2400，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2400是原方程的根，且符合題意．∴規(guī)定的天數(shù)為24000÷2400＝10（天）．答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)的零件2400個(gè)，規(guī)定的天數(shù)是10天；（2）設(shè)原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為y人，依題意有[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000，解得y＝480，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝480是原方程的根，且符合題意．答：原計(jì)劃安排的工人人數(shù)為480人．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)11分式方程的應(yīng)用之利潤(rùn)問(wèn)題】【例11】某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降，今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為90萬(wàn)元，今年銷售額只有80萬(wàn)元．（1）求今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元；（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元，每輛售價(jià)為10.5萬(wàn)元，A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元，若賣出這兩款汽車共15輛后，獲利不低于39萬(wàn)元，求B款汽車至少賣出多少輛？【分析】（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)為x萬(wàn)元，則去年同期A款汽車每輛售價(jià)為（x+1）萬(wàn)元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合今年5月份與去年同期銷售數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)B款汽車賣出a輛，則A款汽車賣出（15﹣a）輛，根據(jù)總利潤(rùn)＝單輛利潤(rùn)×銷售數(shù)量結(jié)合獲利不低于39萬(wàn)元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其最小值即可．【答案】（1）解：設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)為x萬(wàn)元，根據(jù)題意，得．解得x＝8．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原方程的解．答：今年5月份A款汽車每輛售價(jià)為8萬(wàn)元；（2）解：設(shè)B款汽車賣出a輛，根據(jù)題意，得a（10.5﹣7.5）+（15﹣a）×（8﹣6）≥39，解得a≥9．答：B款汽車至少賣出9輛．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合今年5月份與去年同期銷售數(shù)量相等，列出關(guān)于x的分式方程；（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝單輛利潤(rùn)×銷售數(shù)量結(jié)合獲利不低于39萬(wàn)元，列出關(guān)于m的一元一次不等式．【變式11-1】某超市用5000元購(gòu)進(jìn)某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥9000元資金購(gòu)進(jìn)該種干果，但這次每千克的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)提高了5元，購(gòu)進(jìn)干果數(shù)量是第一次的1.5倍．（1）該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克多少元？（2）如果超市按每千克40元的價(jià)格出售，當(dāng)大部分干果售出后，余下的100千克按售價(jià)的6折售完，超市銷售這種干果共盈利多少元？（3）如果這兩批干果每千克售價(jià)相同，且全部售完后總利淘不低于25%，那么每千克干果的售價(jià)至少是多少元？【分析】（1）設(shè)第一次該干果的進(jìn)貨價(jià)是每千克x元，則第二次購(gòu)進(jìn)干果的進(jìn)貨價(jià)是每千克（x+5）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，再結(jié)合第一次購(gòu)進(jìn)干果數(shù)量是試銷時(shí)的1.5倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，可求出兩次購(gòu)進(jìn)干果的數(shù)量，再由利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)每千克干果售價(jià)y元，根據(jù)利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)第一次該干果的進(jìn)貨價(jià)是每千克x元，則第二次購(gòu)進(jìn)干果的進(jìn)貨價(jià)是每千克（x+5）元，根據(jù)題意得：×1.5＝，解得：x＝25經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是所列方程的解．答：該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克25元．（2）第一次購(gòu)進(jìn)該干果的數(shù)量是5000÷25＝200（千克），再次購(gòu)進(jìn)該干果的數(shù)量是200×1.5＝300（千克），獲得的利潤(rùn)為（200+300﹣100）×40+100×40×0.6﹣5000﹣9000＝4400（元）．答：超市銷售這種干果共盈利4400元；（3）設(shè)每千克干果售價(jià)y元，根據(jù)題意得：500y﹣5000﹣9000≥（5000+9000）×25%，解得：y≥35．答：每千克干果的售價(jià)至少是35元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于y的一元一次不等式．【變式11-2】某商家預(yù)測(cè)某種粽子能夠暢銷，就用6000元購(gòu)進(jìn)了一批這種粽子，上市后銷售非常好，商家又用14000元購(gòu)進(jìn)第二批這種粽子，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每袋進(jìn)價(jià)多了5元．（1）該商家兩批共購(gòu)進(jìn)這種粽子多少袋？（2）由于儲(chǔ)存不當(dāng)，第二批購(gòu)進(jìn)的粽子中有10%腐壞，不能售賣．該商家將兩批粽子按同一價(jià)格全部銷售完畢后獲利不低于8000元，求每袋粽子的售價(jià)至少是多少元？【分析】（1）設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)這種粽子x袋，則第二次購(gòu)進(jìn)2x袋，根據(jù)單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量結(jié)合第二次購(gòu)進(jìn)的單價(jià)比第一次高5元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每袋粽子的售價(jià)是y元，根據(jù)利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本結(jié)合獲利不低于8000元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)這種粽子x袋，則第二次購(gòu)進(jìn)2x袋，依題意，得：﹣＝5，解得：x＝200，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝200是所列分式方程的解，且符合題意，∴x+2x＝600．答：該商家兩批共購(gòu)進(jìn)這種粽子600袋．（2）設(shè)每袋粽子的售價(jià)是y元，依題意，得：[200+200×2×（1﹣10%）]y﹣6000﹣14000≥8000，解得：y≥50．答：每袋粽子的售價(jià)至少是50元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式11-3】某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品共用了20000元，乙種商品共用了24000元．已知乙種商品每件進(jìn)價(jià)比甲種商品每件進(jìn)價(jià)多8元，且購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品件數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種商品的每件進(jìn)價(jià)；（2）該商場(chǎng)將購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，甲種商品的銷售單價(jià)為60元，乙種商品的銷售單價(jià)為88元，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場(chǎng)決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價(jià)的七折銷售；乙種商品銷售單價(jià)保持不變．要使兩種商品全部售完后共獲利不少于24600元，問(wèn)甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售多少件？【分析】（1）設(shè)甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為x元，乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為y元．根據(jù)“某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元．購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品件數(shù)相同”列出方程；（2）設(shè)甲種商品按原銷售單價(jià)銷售a件，則由“兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元”列出不等式．【答案】解：（1）設(shè)甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為x元，則乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為（x+8）元．根據(jù)題意，得，＝，解得x＝40．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解．答：甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為40元，乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為48元；（2）甲乙兩種商品的銷售量為＝500．設(shè)甲種商品按原銷售單價(jià)銷售a件，則（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（500﹣a）+（88﹣48）×500≥24600，解得a≥20．答：甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售20件．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用．本題屬于商品銷售中的利潤(rùn)問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題，隱含著一個(gè)等量關(guān)系：利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)．【考點(diǎn)12分式方程的應(yīng)用之方案問(wèn)題】【例12】某電腦公司經(jīng)銷甲種型號(hào)電腦，受各方因素影響，電腦價(jià)格不斷下降，今年三月份的電腦售價(jià)比去年同期每臺(tái)降價(jià)900元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售為10萬(wàn)元，今年銷售額只有8萬(wàn)元．（1）今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)多少元？（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號(hào)電腦，已知甲種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3400元，乙種電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3000元，公司預(yù)計(jì)用不多于4.8萬(wàn)元且不少于4.7萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共15臺(tái)，則共有幾種進(jìn)貨方案？【分析】（1）設(shè)今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)為x元，則去年同期甲種電腦每臺(tái)售價(jià)為（x+900）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合如果賣出相同數(shù)量的電腦去年銷售額為10萬(wàn)元而今年銷售額只有8萬(wàn)元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該公司可購(gòu)進(jìn)m臺(tái)甲種電腦，則可購(gòu)進(jìn)（15﹣m）臺(tái)乙種電腦，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合總價(jià)不多于4.8萬(wàn)元且不少于4.7萬(wàn)元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)即可得出各進(jìn)貨方案．【答案】解：（1）設(shè)今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)為x元，則去年同期甲種電腦每臺(tái)售價(jià)為（x+900）元，依題意，得：＝，解得：x＝3600，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3600是所列分式方程的解，且符合題意．答：今年三月份甲種電腦每臺(tái)售價(jià)為3600元．（2）設(shè)該公司可購(gòu)進(jìn)m臺(tái)甲種電腦，則可購(gòu)進(jìn)（15﹣m）臺(tái)乙種電腦，依題意，得：，解得：5≤m≤7．∵m為正整數(shù)，m＝5，6，7，∴該公司共有三種進(jìn)貨方案，方案1：購(gòu)進(jìn)5臺(tái)甲種電腦，10臺(tái)乙種電腦；方案2：購(gòu)進(jìn)6臺(tái)甲種電腦，9臺(tái)乙種電腦；方案3：購(gòu)進(jìn)7臺(tái)甲種電腦，8臺(tái)乙種電腦．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【變式12-1】為了迎接“五?一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰．某服裝專賣店老板小王準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種夏季服裝．其中甲種服裝每件的成本價(jià)比乙種服裝的成本價(jià)多20元，甲種服裝每件的售價(jià)為240元比乙種服裝的售價(jià)多80元．小王用4000元購(gòu)進(jìn)甲種服裝的數(shù)量與用3200元購(gòu)進(jìn)乙種服裝的數(shù)量相同．（1）甲種服裝每件的成本是多少元？（2）要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種服裝共200件的總利潤(rùn)（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）不少于21100元，且不超過(guò)21700元，問(wèn)小王有幾種進(jìn)貨方案？【分析】（1）設(shè)甲種服裝每件的成本是x元，則乙服裝成本價(jià)為（x﹣20）元/件，根據(jù)“用4000元購(gòu)進(jìn)甲種服裝的數(shù)量與用3200元購(gòu)進(jìn)乙種服裝的數(shù)量相同”列分式方程求解即可；（2）設(shè)甲種服裝購(gòu)進(jìn)m件，則乙種服裝購(gòu)進(jìn)（200﹣m）件，然后根據(jù)購(gòu)進(jìn)這200件服裝的費(fèi)用不少于21100元，且不超過(guò)21700元，列出不等式組解答即可．【答案】解：（1）設(shè)甲種服裝每件的成本是x元，則乙服裝成本價(jià)為（x﹣20）元/件，則＝．解得x＝100經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的根，且符合題意．答：甲種服裝每件的成本是100元；（2）設(shè)甲種服裝購(gòu)進(jìn)m件，則乙種服裝購(gòu)進(jìn)（200﹣m）件，則21100≤（240﹣100）m+（160﹣80）（200﹣m）≤21700解之得：85≤m≤95．因?yàn)閙是正整數(shù)，所以m可以取85、86、87、88、89、90、91、92、93、94、95．所以進(jìn)貨方案有11種．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、不等式組的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式12-2】某校為了改善辦公條件，計(jì)劃從廠家購(gòu)買A、B兩種型號(hào)電腦．已知每臺(tái)A種型號(hào)電腦價(jià)格比每臺(tái)B種型號(hào)電腦價(jià)格多0.1萬(wàn)元，且用10萬(wàn)元購(gòu)買A種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬(wàn)購(gòu)買B種型號(hào)電腦的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格各為多少萬(wàn)元？（2）學(xué)校預(yù)計(jì)用不多于9.2萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共20臺(tái)，其中A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)，請(qǐng)問(wèn)有哪幾種購(gòu)買方案？【分析】（1）設(shè)求A種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格為x萬(wàn)元，則B種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格（x﹣0.1）萬(wàn)元．根據(jù)“用10萬(wàn)元購(gòu)買A種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬(wàn)購(gòu)買B種型號(hào)電腦的數(shù)量相同”列出方程并解答．（2）設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)電腦y臺(tái)，則購(gòu)買B種型號(hào)電腦（20﹣y）臺(tái)．根據(jù)“A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)”、“用不多于9.2萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦”解答．【答案】解：（1）設(shè)求A種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格為x萬(wàn)元，則B種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格（x﹣0.1）萬(wàn)元．根據(jù)題意得：，解得：X＝0.5．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝0.5是原方程的解，x﹣0.1＝0.4答：A、B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格分別是0.5萬(wàn)元和0.4萬(wàn)元．（2）設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)電腦y臺(tái)，則購(gòu)買B種型號(hào)電腦（20﹣y）臺(tái)．根據(jù)題意得：0.5y+0.4（20﹣y）≤9.2．解得：y≤12，又∵A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)，∴10≤y≤12y的整數(shù)解為10、11、12．∴有3種方案．即：購(gòu)買A種型號(hào)電腦10臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦10臺(tái)；購(gòu)買A種型號(hào)電腦11臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦9臺(tái)；購(gòu)買A種型號(hào)電腦12臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦8臺(tái)．【點(diǎn)睛】考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用．分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式12-3】某開(kāi)發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費(fèi)用為每天80元，乙工廠加工費(fèi)用為每天120元．（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成．在加工過(guò)程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天15元的午餐補(bǔ)助費(fèi)，請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)甲工廠每天加工x件新品，乙工廠每天加工1.5x件新品，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：甲廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品所需天數(shù)﹣乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品所需天數(shù)＝20，由等量關(guān)系列出方程求解．（2）分別計(jì)算出甲單獨(dú)加工完成、乙單獨(dú)加工完成、甲、乙合作完成需要的時(shí)間和費(fèi)用，比較大小，選擇既省時(shí)又省錢的加工方案即可．【答案】（1）解：設(shè)甲工廠每天加工x件新品，乙工廠每天加工1.5x件新品，則：解得：x＝16經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16是原分式方程的解∴甲工廠每天加工16件產(chǎn)品，乙工廠每天加工24件產(chǎn)品（2）方案一：甲工廠單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)，則需要的時(shí)間為：960÷16＝60天需要的總費(fèi)用為：60×（80+15）＝5700元方案二：乙工廠單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)，則需要的時(shí)間為：960÷24＝40天需要的總費(fèi)用為：40×（120+15）＝5400元方案三：甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)，設(shè)共需要a天完成任務(wù)，則16a+24a＝960∴a＝24∴需要的總費(fèi)用為：24×（80+120+15）＝5160元綜上所述：甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)既省時(shí)又省錢．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其結(jié)果是否符合題意；②選擇最優(yōu)方案時(shí)，需將求各個(gè)方案所需時(shí)間和所需費(fèi)用，經(jīng)過(guò)比較后選擇最優(yōu)的那個(gè)方案．專題11期末考試重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180°.【例1】（2019春?石景山區(qū)期末）如圖，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求證：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【變式1-1】（2018秋?包河區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度數(shù)；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，試用含α、β的式子表示∠EAD，則∠EAD＝．（直接寫出結(jié)論即可）【變式1-2】（2019春?福州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．作∠BDE＝∠ABD交AB于點(diǎn)E．（1）求證：ED∥BC；（2）點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）連接BM，∠ABM的平分線交射線ED于點(diǎn)N．若∠MBC＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度數(shù)．【變式1-3】（2018秋?豐城市期末）已知將一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線直線MN∥DE，若∠ACD＝20°，試求∠CAM的大?。究键c(diǎn)2三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【例2】（2019春?寶應(yīng)縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【變式2-1】（2018春?岱岳區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度數(shù)．【變式2-2】（2018春?商水縣期末）如圖，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．【變式2-3】（2019春?南開(kāi)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點(diǎn)F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度數(shù)．【考點(diǎn)3全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例3】（2019?南岸區(qū)）如圖，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，點(diǎn)E為AD邊上的一點(diǎn)，且AC＝AE，連接CE交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AD交CE于點(diǎn)F．（1）求證：△AGE≌△AFC；（2）若AB＝AC，求證：AD＝AF+BD．【變式3-1】（2019?福州模擬）（1）已知，如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E，求證：DE＝BD+CE．（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（2018秋?天臺(tái)縣期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，若AD＝a，DE＝b，（1）如圖1，求BE的長(zhǎng)，寫出求解過(guò)程；（用含a，b的式子表示）（2）如圖2，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫出BE的長(zhǎng)．（用含a，b的式子表示）【變式3-3】（2019春?道外區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在BC邊上，∠AED＝90°（1）求證：∠BAE＝∠CED；（2）若AB+CD＝DE，求證：AE+BE＝CE；（3）在（2）的條件下，若△CDE與△ABE的面積的差為18，CD＝6，求BE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)4動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的全等三角形應(yīng)用】【例4】（2019春?平川區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？【變式4-1】（2019春?永新縣期末）△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D、E分別是AB，AC上的不動(dòng)點(diǎn)．且BD+CE＝BC，點(diǎn)P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)PC＝CE時(shí)（如圖1），求∠DPE的度數(shù)；（2）若PC＝BD時(shí)（如圖2），求∠DPE的度數(shù)還會(huì)與（1）的結(jié)果相同嗎？若相同，請(qǐng)寫出求解過(guò)程；若不相同，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4-2】（2019春?寶安區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿C→B→C，作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）試證明：AD∥BC；（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究這樣的情況會(huì)出現(xiàn)幾次？并分別求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間t和G點(diǎn)的移動(dòng)距離．【變式4-3】（2018秋?十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，若∠BAC＝25°，則∠DCE＝．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【考點(diǎn)5“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）?！纠?】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥EF．【變式5-1】（2019秋?青山區(qū)期中）在△ABC中，BC邊上的高AG平分∠BAC．（1）如圖1，求證：AB＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的長(zhǎng)．【變式5-2】（2019?衡陽(yáng)校級(jí)期中）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．【變式5-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N，問(wèn)DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)6等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形?！纠?】（2018秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長(zhǎng)．【變式6-1】（2018秋?邵陽(yáng)縣期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC（1）試判定△ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．【變式6-2】（2019秋?壽光市期末）如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得△BMN．（1）求證：△ABE≌△DBC．（2）試判斷△BMN的形狀，并說(shuō)明理由．【變式6-3】（2019秋?中江縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【考點(diǎn)7利用因式分解與乘法公式求值】【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．【變式7-1】（2019秋?崇明縣期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【變式7-2】（2019春?杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【變