(完整版)小學奧數(shù)-長方體表面積與展開圖(教師版)

長方體表面積與展開圖【例1】★如下圖，一個邊長為3a厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個截口是邊長為a厘米的正方形的長方體（都和對面打通）．如果這個鏤空的物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截口的邊長．【解析】原來正方體的表面積為：6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米）．六個邊長為a的小正方形的面積為：6×a×a＝6a2（平方厘米）；挖成的每個長方體空洞的側面積為：3a×a×4＝12a2（平方厘米）；三個長方體空洞重疊部分的校長為a的小正方體空洞的表面積為：a×a×4＝4a2（平方厘米）．根據(jù)題意：6×9a2－6a2＋3（12a2－4a2）＝2592，化簡得：54a2－6a2＋24a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米即正方形截口的邊長為6厘米【例2】★★有一些相同尺寸的正方體積木，準備在積木的各面上粘貼游戲所需的字母和數(shù)目字．但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請你想辦法，在不另添積木的情況下，把積木的各面面積的總和增加一倍．【解析】把每一塊積木鋸三次?！纠?】★★一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高是以厘米為單位的數(shù)，且都是質數(shù)．問這個長方體的體積和表面積各是多少?【解析】要求長方體的體積和表面積，就要求出長方體的長、寬、高．因為這個長方體的前面和上面的面積之和是209平方厘米，也就是長×寬+長×高=長×(寬+高)=209．根據(jù)已知條件，長、寬、高都是質數(shù)，我們把209分解質因數(shù)得到209=11×19．在11和19中，只有19可分拆為2與17兩個質數(shù)的和．這樣，我們可以確定長方體的長、寬、高分別是11、2、17或者11、17、2．由此可求得長方體的表面積和體積．【例4】★★如圖11-3，一個正方體形狀的木塊，棱長l米，沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊．那么，這60塊長方體表面積的和是多少平方米?【解析】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個面的面積．現(xiàn)在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體一個面的面積1×l=1(平方米)，所以表面積增加了9×2×1=18(平方米)．原來正方體的表面積為6×1=6(平方米)，所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為6+18=24(平方米)．【小試牛刀】右圖是4×5×6正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？【解析】三面涂紅色的只有8個頂點處的8個立方體；兩面涂紅色的在棱長處，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36塊；一面涂紅的表面中間部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52塊．【例5】★邊長為1厘米的正方體，如圖這樣層層重疊放置，那么當重疊到第5層時，這個立體圖形的表面積是多少平方厘米？【解析】圖形所含塊數(shù)的規(guī)律：第1層1塊，第2層3塊，第3層6塊，第4層10塊，第5層15塊，依次增加2、3、4、5…，當重疊到第5層時，該立體圖形的上下、左右、前后方向的表面面積都是15平方厘米，該圖形的總表面積為90立方厘米。【小試牛刀】把19個棱長為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個立體圖形.求這個立體圖形的表面積．【解析】從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示．因此，這個立體圖形的表面積為：2個上面+2個左面+2個前面．上表面的面積為：9平方厘米，左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為：10平方厘米．因此，這個立體圖形的總表面積為：（9＋8＋10）×2＝54（平方厘米）．【例6】★★圖2—36是一個立方體紙盒的展開圖，當折疊成紙盒時，標志為1的點與哪些點重合?【解析】在圖2—37所示的立方體上觀察8個頂點，其中與A點不在一個表面上的只有B點，也就是說，沿著表面走，這兩個點的路程最遠．在展開圖上，這兩個點恰好是相鄰兩個小正方形所構成的長方形的對角線上的兩個端點．解題過程：1、2、6點都距9點最遠，也就是說，1、2、6點都與9點不在一個表面上·而與9點不在一個表面上的只有一個點，所以，1、2、6點是同一個點，即折疊成紙盒時，1、2、6三點重合．【例7】★★下圖是正方體的11種展開圖和2種偽裝圖（即它們不是正方體的展開圖）．請你指出偽裝圖是哪兩個？【解析】無論哪一個圖中都有六個小正方形，都好像有道理，但當我們把相鄰兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是（10）和（12），這兩個圖形，都是有五面在拼合時不成問題，但是最后一面總是擠在外面而成不了正方體．【小試牛刀】如下面的各圖中均有若干個六面體，每小題圖中的幾個六面體上A、B、C、D、E、F六個字母的排列順序完全相同（即每個小題中六面體上刻字母的方式是完全一樣的）試判斷各小題的圖中A、B、C三個字母的對面依次是哪幾個字母？【解析】（1）由圖中可知，A與B、C、E、F都相鄰，故A的對面是D．E、F的位置可按右手關系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右圖所示，讓四指方向從A轉動而指向F，此時大拇指正好指向E（向上）．如果，判斷為F在C對面，由（1）中左圖所示，讓四指的方向從A向F，此時大拇指指向B，與（1）中右圖矛盾，故F在B的對面，E在C的對面．（2）～（6）按A、B、C順序給出對面的字母：（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；（5）E、D、F；（6）F、E、D．【例8】★★有一塊正方體的蛋糕．用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正六邊形，應該怎樣切呢？【解析】一般地，按照平常習慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正方形或者像（2）、（3）那樣的長方形．如果斜切下去時樣子就不一樣了，比如像（4）那樣，以打算切的頂點作一方，將不相鄰的某一邊的中點作另一方，沿它的連接線來切，切口變成菱形．如果再進一步，連接相鄰邊的中點，沿著它的連線來切，如上圖中（5）所示，因為切口的各邊都是連接邊和邊的中點的直線，所以長度都相等，相鄰邊夾角也相等，邊數(shù)是六，故是正六邊形．【例9】★★★如右圖，一個正方體形狀的木塊，棱長l米，沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊．那么，這60塊長方體表面積的和是多少平方米?【解析】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個面的面積．現(xiàn)在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方體一個面的面積1×l=1(平方米)，所以表面積增加了9×2×1=18(平方米)．原來正方體的表面積為6×1=6(平方米)，所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為6+18=24(平方米)．【例10】★★★一個長方體，六個面均涂滿紅色，沿著長邊等距離切5刀，沿著寬邊等距離切4刀，沿著高邊等距離切n刀，試問：當。取什么值時，可使各個面上均沒有紅色的小方塊有24塊?【解析】題中已知各面上沒有紅色的有24塊，而求全白的塊數(shù)的方法，_可用每邊切的刀數(shù)減1后的乘積去求．設高邊上切了n刀，則【小試牛刀】如圖2—53，棱長1分米的正方體，沿AB棱垂直切4刀，沿BF棱垂直切5刀，沿BD棱水平切6刀，共得大小長方體210個，問210個長方體的表面積之和是多少?【解析】210個長方體表面積的和由原正方體表面積和切口表面積兩部分組成．其中每切1刀，就增加2個正方形，面積為2平方分米，共切15刀，增加了30個正方形，即面積增加了30平方分米·216個長方體表面積之和為1.右圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。【解析】如果一面一面去數(shù)，那么雖然可以得到答案，但太麻煩，而且容易出錯。仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這個立體的上面與下面、左面與右面、前面與后面的面積分別相等。如上圖所示，可求得表面積為（9＋7＋8）×2=48（厘米2）。2.（小數(shù)報數(shù)學競賽決賽）右圖是一個表面被涂上紅色的棱長為lO厘米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成8個正方體，這些小正方體中沒有被涂上紅色的所有表面的面積和是多少平方厘米？【解析】10×10×6=600(平方厘米)．3.右圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l厘米的正方體，做成一種玩具．它的表面積是多少平方厘米?【解析】原正方體的表面積是4×4×6=96(平方厘米)．每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分．總的來看，每一個面都增加了4個邊長是1厘米從而，它的表面積是：96+4×6=120平方厘米．4.（首師大附小升初考試分班試