人教版版八年級數(shù)學(xué)下冊專題17.1勾股定理【十大題型】(原卷版+解析)

專題17.1勾股定理【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用勾股定理求線段長】 1【題型2利用勾股定理求面積】 2【題型3利用勾股定理解決折疊問題】 3【題型4利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】 5【題型5利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 6【題型6勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】 7【題型7勾股樹問題】 9【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】 11【題型9直角三角形中的分類討論思想】 12【題型10利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】 13【知識點(diǎn)勾股定理】在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=【題型1利用勾股定理求線段長】【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方形ABCD的邊長為4，則圖2中E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為（）

A．26 B．213 C．10 D．【變式1-1】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的長．

【變式1-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB長比AC長大1，BC=15，D是AB上一點(diǎn)，BD=9，CD=12．(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC長．【變式1-3】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1

【題型2利用勾股定理求面積】【例2】（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以Rt△ABC∠ACB=90°的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作S1，左下不重疊部分的面積記作S2，若A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【變式2-1】（2023春·北京昌平·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3A．S1=S2 B．S2=【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，則△ACH的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．9【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為a，b，c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝()A．a(chǎn)＋b B．b＋c C．a(chǎn)＋c D．a(chǎn)＋b＋c【題型3利用勾股定理解決折疊問題】【例3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則BD的長為（

）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【變式3-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D為斜邊AB上的中點(diǎn)，E是直角邊AC上的一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊至△A'DE，A'E交BD于點(diǎn)F，若△DEF的面積是△ADE面積的一半，則DE為（

）A．2 B．25 C．22 【變式3-2】（2023春·福建廈門·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖的實(shí)線部分是由Rt△ABC經(jīng)過兩次折疊得到的，首先將Rt△ABC沿BD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C'處，再沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC'的延長線上的點(diǎn)A'處．若圖中∠C=90°【變式3-3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm．①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD=_________cm．②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點(diǎn)C與AB中點(diǎn)H重合，點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，則AM2、BN【題型4利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】【例4】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)坐標(biāo)P1(x1，y1)，P2(x2，y2(1)已知A(3,5)，B(?2,?1)，則A、B兩點(diǎn)間的距離為；(2)已知A，B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為?1，則A，B兩點(diǎn)間的距離為；(3)已知A，B在平行于x軸的直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5.且A，B兩點(diǎn)間的距離為3，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為；(4)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6)，B(?3,2)，C(3,2)，請判定此三角形的形狀，并說明理由．【變式4-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，Rt△AOB的頂點(diǎn)A2，1，B?2A．6 B．5 C．4 D．3【變式4-2】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(m,2n2?4)，且實(shí)數(shù)m，n滿足m?n2【變式4-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：說明代數(shù)式x2解：x2幾何意義：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn)，則(x?0)2+12可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離，(x?3)2+22可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)求最小值：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A′，則PA=PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′，B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：(1)代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)(2)代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)．與點(diǎn)A__________、點(diǎn)(3)求出代數(shù)式x2【題型5利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】【例5】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=______；（2）若AD=2，BC=5，則（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是______．【變式5-1】（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A=90°，則（

A．a(chǎn)2+b2=c2 B．【變式5-2】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．【變式5-3】（2023春·湖北·八年級校考期中）已知如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上．求證：（1）AD（2）若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．【題型6勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】【例6】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，則長方形的面積為______.【變式6-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1,S2,S3A．184 B．86 C．119 D．81【變式6-2】（2023春·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個(gè)大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（）

A．3 B．4 C．22 D．【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1,S2，S3【題型7勾股樹問題】【例7】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，?按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022A．122022 B．122021 C．【變式7-1】（2023春·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】【例8】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上；思維拓展：(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2、13、17，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．探索創(chuàng)新：(3)若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．(4)若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2、2m【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于3，則點(diǎn)A到邊BC的距離為（）A． B．2 C．4 D．3【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為65，此時(shí)正方形EFGH的而積為5．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為65時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是_____（不包括5）．【題型9直角三角形中的分類討論思想】【例9】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高為12，求BC的長．【變式9-1】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，若△ABE是直角三角形，則△ABE【變式9-2】（2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)校考期中）在△ABC中，AB=20，AC=13，AD為【變式9-3】（2023·黑龍江哈爾濱·八年級期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=【題型10利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】【例10】（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長的速度，沿射線BC運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，請解答以下問題：(1)BC邊的長為________；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值，寫出求解過程；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，直接寫出t的值．【變式10-1】（2023春·河南信陽·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)D重合）．連接EF把△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'總落在邊DC上．若△A'EC是以A'E為腰的等腰三角形，則A'D的長為_____________________．【變式10-2】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是______．【變式10-3】（2023·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（8，8），點(diǎn)C（m，0）為x正半軸上一個(gè)動點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝4時(shí)，寫出線段AC＝，BC＝．（2）當(dāng)0＜m＜8時(shí)，求△ABC的面積．（用含m的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動時(shí)，是否存在點(diǎn)C使△ABC為直角三角形，如果存在，請求出這個(gè)三角形的面積；如果不存在，請說明理由．專題17.1勾股定理【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用勾股定理求線段長】 1【題型2利用勾股定理求面積】 5【題型3利用勾股定理解決折疊問題】 7【題型4利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】 12【題型5利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 16【題型6勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】 19【題型7勾股樹問題】 24【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】 30【題型9直角三角形中的分類討論思想】 34【題型10利用勾股定理解決動點(diǎn)問題】 38【知識點(diǎn)勾股定理】在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=【題型1利用勾股定理求線段長】【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方形ABCD的邊長為4，則圖2中E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為（）

A．26 B．213 C．10 D．【答案】A【分析】作輔助線如解析圖，由七巧板和正方形的性質(zhì)可知，EG=1，F(xiàn)G=1+4=5，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過E作EG⊥FG于G，

由七巧板和正方形的性質(zhì)可知：EG=1FG=1+4=5在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，七巧板的特點(diǎn)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉根據(jù)七巧板的特點(diǎn)．【變式1-1】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的長．

【答案】BC=1+3，【分析】作AD⊥BC，在兩直角三角形中分別根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：作AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，∵AB=2，∠B=60°，∴∠BAD=30°，BD=1∴AD=2∵∠C=45°，∴AD=CD=3∴BC=1+3在Rt△ADCAC=A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正確做出輔助線并根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB長比AC長大1，BC=15，D是AB上一點(diǎn)，BD=9，CD=12．(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC長．【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）根據(jù)BC=15，BD=9，CD=12，得到BD2+C（2）設(shè)AC=x，則AD=x?8，根據(jù)勾股定理得到(x?8)2【詳解】（1）證明：∵BC=15，BD=9，CD=12，∴BD2+C∴BD∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB；（2）解：由題意得AB?AC=1，設(shè)AC=x，則AD=AB?BD=x+1?9=x?8，∵∠ADC=90°，∴AC∴(x?8)解得：x=13，即AC=13．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟知兩個(gè)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1

【答案】65【分析】先根據(jù)勾股定理，分別求出OP【詳解】解：根據(jù)題意可得：OPOPOPOP……OP∴OP故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、圖形的規(guī)律運(yùn)算，找到線段長度的變化規(guī)律并歸納公式是解決此題的關(guān)鍵．【題型2利用勾股定理求面積】【例2】（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎俏覈糯膫ゴ髷?shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以Rt△ABC∠ACB=90°的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作S1，左下不重疊部分的面積記作S2，若A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】B【分析】設(shè)Rt△ABC的直角邊AC=a，BC=b，BA=c．則a2+b2=c【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的直角邊AC=a，BC=b，BA=c∴a2∵面積為S2的矩形的長和寬分別是c?a，c?b∴S2∵面積為S1的正方形的邊長是a?∴S1∴a2∴2c∴c2∴S2故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，整式的乘法，解題個(gè)關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，以及整式的乘法運(yùn)算．【變式2-1】（2023春·北京昌平·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3A．S1=S2 B．S2=【答案】A【分析】由勾股定理，由整個(gè)圖形的面積減去以BC為直徑的半圓的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】Rt△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2∴S2＝12＝18＝S1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數(shù)學(xué)常識；熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，則△ACH的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可求AC2+BC2＝AB2，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴12AC2+12BC2＝12∵△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，∴△ACH的面積是10﹣8＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為a，b，c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝()A．a(chǎn)＋b B．b＋c C．a(chǎn)＋c D．a(chǎn)＋b＋c【答案】C【分析】求證△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根據(jù)S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c.【詳解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE,∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即，AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2,∴S3+S4=c,同理S1+S2=a,故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形面積的計(jì)算，正方形各邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定．本題中根據(jù)△ABC≌△CDE證明S3+S4=c是解題的關(guān)鍵.【題型3利用勾股定理解決折疊問題】【例3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則BD的長為（

）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD=DE=xcm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對稱，∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，∴AB=10cm，∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，設(shè)CD=DE=xcm，則DB=BC-CD=（8-x）cm，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3cm．∴BD=8-x=8-3=5(cm)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D為斜邊AB上的中點(diǎn)，E是直角邊AC上的一點(diǎn)，連接DE，將△ADE沿DE折疊至△A'DE，A'E交BD于點(diǎn)F，若△DEF的面積是△ADE面積的一半，則DE為（

）A．2 B．25 C．22 【答案】C【分析】連接BE，過D作DG⊥AC于G，先判定△A'DE≌△EBF（SAS），即可得出A'D=BE=AD=25，再根據(jù)勾股定理求得CE的長，進(jìn)而得出EG和DG的長，再根據(jù)勾股定理即可得到DE【詳解】解：如圖所示，連接BE，過D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4，∴由勾股定理得AB=45由折疊可得，△ADE與△A'DE全等，∵△DEF的面積是△ADE面積的一半，∴△DEF的面積是△A'DE面積的一半，且DF=1∴是A'E的中點(diǎn)，又∵D是AB的中點(diǎn)，∴DF=12AD=12又∵∠A'FD=∠EFB，∴△A'DE≌△EBFSAS∴A'D=BE=AD=25又∵∠C=90°，∴Rt△BCE中，CE=B∵DG∥BC，D是∴G是AC的中點(diǎn)，即CG=1∴EG=CG?CE=4?2=2，DG=1∴Rt△DEG中，DE=D故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運(yùn)用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．【變式3-2】（2023春·福建廈門·八年級校考階段練習(xí)）如圖的實(shí)線部分是由Rt△ABC經(jīng)過兩次折疊得到的，首先將Rt△ABC沿BD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C'處，再沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC'的延長線上的點(diǎn)A'處．若圖中∠C=90°【答案】125【分析】由折疊的性質(zhì)得出∠BDC=∠BDC′=12∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，求出∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=90°，DC'⊥AB，由勾股定理得出BE=【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，∴∠C=90°，由折疊的性質(zhì)得：∠BDC=∠BDC′=12∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=12∠ADA'，∠BCD=∠∴∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=12×180°=90°，DC'⊥AB∴BE=DE2+B∵△BDE的面積=12BE×DC'=12DE×∴DC'=DE×BDBE故答案為：125【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm．①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD=_________cm．②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點(diǎn)C與AB中點(diǎn)H重合，點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，則AM2、BN【答案】（1）3；（2）答：AM2+BN【詳解】解：（1）解：如圖所示：∵將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，∴CD=DE，AC=AE，∠AED=∠C=90°，∵AC=6，BC=8，∴AB=10，設(shè)CD=DE=x，則BD=8-x，BE=10-6=4，在Rt△BED中，x2故答案為：3；（2）AM2+BN過點(diǎn)B作BP∥AC交MH延長線于點(diǎn)P，連接PN，∴∠A=∠PBH在△AMH和△BPH中∠A=∠PBH，AH=BH，∠AHM=∠BHP∴△AMH≌△BPH∴AM=BP，MH=PH又∵NH⊥MP∴MN=NP∵BP∥AC，∠C=90°∴∠NBP=90°∴B∴AM2+B【題型4利用勾股定理求平面坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離】【例4】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)坐標(biāo)P1(x1，y1)，P2(x2，y2(1)已知A(3,5)，B(?2,?1)，則A、B兩點(diǎn)間的距離為；(2)已知A，B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為?1，則A，B兩點(diǎn)間的距離為；(3)已知A，B在平行于x軸的直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5.且A，B兩點(diǎn)間的距離為3，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為；(4)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6)，B(?3,2)，C(3,2)，請判定此三角形的形狀，并說明理由．【答案】(1)61(2)6(3)2(4)等腰三角形，見解析【分析】（1）直接代入兩點(diǎn)間距離公式為P1（2）直接代入兩點(diǎn)間距離公式|y（3）分點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)還是右側(cè)兩種情況，左側(cè)橫坐標(biāo)減去距離，右側(cè)橫坐標(biāo)加上距離；（4）先分別用公式求出三邊長，再依據(jù)邊的長度判定三角形是等腰三角形．【詳解】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AB=(3+2)（2）由題意可得：|y（3）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5+3=8或5?3=2；（4）由兩點(diǎn)間距離公式可得：AB=(0+3)BC=(?3?3)AC=(0?3)∴AB=AC，∴Δ【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式和三角形的分類，關(guān)鍵是正確代入公式計(jì)算．【變式4-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，Rt△AOB的頂點(diǎn)A2，1，B?2A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵Rt△AOB的頂點(diǎn)A∴OB∵∠AOB=90°，∴OB∴n2∴n2解得n=4，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟知坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(m,2n2?4)，且實(shí)數(shù)m，n滿足m?n2【答案】4【分析】根據(jù)勾股定理先表示出PO，然后根據(jù)m?n2+4=0【詳解】解：∵點(diǎn)P(m,2n2?4)∴PO=(m?0∵m?n∴n∴PO=m=m=m=5(m+∵(m+8∴5(m+∴PO的最小值是45故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、完全平方公式的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，用含m的式子表示出PO．【變式4-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：說明代數(shù)式x2解：x2幾何意義：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn)，則(x?0)2+12可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離，(x?3)2+22可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)求最小值：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A′，則PA=PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′，B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：(1)代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)(2)代數(shù)式x2+49+x2?12x+37的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)．與點(diǎn)A__________、點(diǎn)(3)求出代數(shù)式x2【答案】(1)（(2)（(3)10【分析】（1）先把原式化為(x?1)（2）先把原式化為(x?0)2+72+(x?6（3）在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，利用勾股定理得出結(jié)論即可．【詳解】（1）∵原式化為(x?1)∴代數(shù)式(x?1)2+1+(x?2)2+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)故答案為（2（2）∵原式化為(x?0)∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A（0，故答案為：（0（3）如圖所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，則PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短，∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，∵A∴A′（∴A'∴代數(shù)式x2+49+【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想解決問題．【題型5利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】【例5】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=______；（2）若AD=2，BC=5，則（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】427【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到AB（3）由（2）得求解過程可以得到AB【詳解】（1）∵AC⊥BD，∴∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=90°，∴OB===4，∴CB===42故答案為42（2）由（1）得：∴OB2+OC2=BC2，∵AD=2，BC=∴A=7．故答案為7．（3）由（2）得：AB∴m故答案為m2【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A=90°，則（

A．a(chǎn)2+b2=c2 B．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：∵∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，∠A=90°，∴a為斜邊，∴b故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)各部分圖形的面積和差系導(dǎo)出a、b、c三者關(guān)系進(jìn)行判斷便可．【詳解】解：①由圖形可知，(b?a)2整理得a2故①符合題意；②由圖形可知，c2整理得a2故②符合題意；③由下圖知，2×1整理得a2故③符合題意；④由下圖知，S△ADE即12∴DF=a∴DE=c?a由△ABE的面積公式得12整理得a2故④符合題意；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的證明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·湖北·八年級校考期中）已知如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上．求證：（1）AD（2）若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．【答案】（1）見詳解；（2）AB【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相減即可得解；（2）根據(jù)（1）的求解思路列式整理即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝CE，在Rt△ADE中，AD2?AE2＝DE2，在Rt△ACE中，AC2?AE2＝CE2，兩式相減得，AD2?AC2＝DE2?CE2＝（DE?CE）（DE＋CE）＝（DE?BE）CD＝BD?CD，即AD2?AB2＝BD?CD；（2）結(jié)論為：AB2?AD2＝BD?CD．證明如下：與（1）同理可得，AD2?AE2＝DE2，AC2?AE2＝CE2，∵點(diǎn)D在CB上，∴AB＞AD，即：AC＞AD，∴AC2?AD2＝CE2?DE2＝（CE?DE）（CE＋DE）＝（BE?DE）（CE＋DE）＝BD?CD，∴AC2?AD2＝BD?CD，即AB2?AD2＝BD?CD．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【題型6勾股定理驗(yàn)證方法的應(yīng)用】【例6】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，則長方形的面積為______.【答案】12【分析】欲求矩形的面積，則求出圖1中陰影部分小三角形長直角邊邊長即可，由此可設(shè)其為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求出該矩形的面積．【詳解】解：設(shè)如圖1陰影部分小三角形長直角邊邊長為x，∵a=3，∴AB=x+3，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，整理得，x=2，∴該矩形的面積=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明以及運(yùn)用和一元二次方程的運(yùn)用，得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1,S2,S3A．184 B．86 C．119 D．81【答案】B【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理可得AD2+AB2【詳解】解：連接BD，根據(jù)勾股定理可得AD2+A即S1∴S2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，根據(jù)直角的信息提示，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校校考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個(gè)大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（）

A．3 B．4 C．22 D．【答案】D【分析】由圖形2可知，中間四邊形的邊長為a?b的小正方形，由大正方形的面積由四個(gè)全等的直角三角形加中間小正方形的面積得出ab2×4+a?b2=25，再結(jié)合ab=8【詳解】解：由圖形2可知，中間四邊形的邊長為a?b的小正方形，∵大正方形的面積為25，∴AB又∵大正方形的面積由四個(gè)全等的直角三角形加中間小正方形的面積，∴ab2∴a?b2∴a?b2∴a?b=3（負(fù)值已舍），即圖2中小正方形的邊長為3，∴EF=3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，正確得出大正方形的面積是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1,S2，S3【答案】6【分析】設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，構(gòu)建方程組，利用整體的思想思考問題，求出x+4y即可．【詳解】解：設(shè)四邊形MTKN的面積為x，八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面積為6．故答案為6【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．【題型7勾股樹問題】【例7】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，?按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022A．122022 B．122021 C．【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2＝S1，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律Sn＝（12）n﹣1【詳解】解：在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示．∵正方形ABCD的邊長為1，△CDE為等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1＝12＝1，S2＝12S1＝1S3＝12S2＝(S4＝12S3＝(…，∴Sn＝（12）n﹣1當(dāng)n＝2022時(shí)，S2022＝（12）2022﹣1＝（12）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律Sn＝（12）n-1．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，寫出部分Sn【變式7-1】（2023春·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4…OAn=n，即可得到OA3·OAn=3·n，再根據(jù)OA3·OA【詳解】由題意得OAOAOOA∵1≤n≤30，∴OA3·OAn的值是整數(shù)，∴·OAn的值可以是3，23，是整數(shù)的有3個(gè)．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；探索圖形規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級校考階段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【答案】2024【分析】根據(jù)勾股定理可得第一代勾股樹中所有正方形的面積為2，再一次求出第二代、第三代勾股樹中所有三角形的面積，總結(jié)出一般規(guī)律，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，根據(jù)勾股定理可得：a2∵c2∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為=a同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2a第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4c第n代勾股樹中所有正方形的面積為=n+1∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．故答案為：2024．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)勾股定理總結(jié)出變化的一般規(guī)律．【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2【答案】(1)①3；②滿足，證明見解析(2)m【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，用x，y，z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，根據(jù)x2+y2=z2，求解S1，（2）由題意知，SA=a2，SB=b【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為x，y，斜邊為z，則圖2中，S1∵x2∴S1圖3中，S1=πx2∵πx∴S1圖4中，S1=12x?x?∵3x∴S1∴這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1故答案為：3；②解：滿足，證明如下：由題意知a2+b2=∴S1（2）解：由題意知，SA=a2，SB=b∴a2故答案為：m2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股樹．解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積．【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】【例8】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上；思維拓展：(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2、13、17，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．探索創(chuàng)新：(3)若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．(4)若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2、2m【答案】(1)7(2)SΔ(3)SΔ(4)SΔ【分析】（1）利用分割法求三角形的面積即可；（2）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；（3）利用網(wǎng)格圖，構(gòu)造三角形，利用分割法求解即可；（4）構(gòu)造長方形，利用分割法求解即可．（1）解：S△ABC＝3×3?12×1×2?12×2×3（2）解∶如圖，△ABC如圖所示．S△ABC＝2×4?12×2×3?12解∶如圖，△ABC即為所求．S△ABC＝2a×4a?12×2a×2a?12×2a×a?12（4）解∶根據(jù)題意，構(gòu)造長為2n，寬為3m的長方形，作出邊長為為m2+16n2、9mS△ABC＝3m×4n?12×3m×2n?12×2m×2n?1【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于3，則點(diǎn)A到邊BC的距離為（）A． B．2 C．4 D．3【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC的長，再根據(jù)三角形的面積為3，即可求出點(diǎn)A到邊BC的距離．解：∵BC=12+∴點(diǎn)A到邊BC的距離為62故選B．考點(diǎn)：勾股定理;三角形面積．【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為65，此時(shí)正方形EFGH的而積為5．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為65時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是_____（不包括5）．【答案】9或13或49.【詳解】分析：共有三種情況：①當(dāng)DG=13，CG=213時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=13，可得正方形EFGH的面積為13；②當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49；③當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9.詳解：①當(dāng)DG=13，CG=213時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=13，可得正方形EFGH的面積為13．②當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49；③當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9.故答案為9或13或49．點(diǎn)睛：本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式8-3】（2023春·河南鄭州·八年級校考期末）作圖．網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都是1，(1)在圖1網(wǎng)格中作一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是整數(shù)；(2)在圖2網(wǎng)格中作一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；(3)在圖3網(wǎng)格中作一個(gè)鈍角三角形，使它的面積等于6．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；（2）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；（3）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可．【詳解】（1）解：如圖所示，AB=4，BC=3，∴△ABC即為所求；（2）如圖所示：DE=32+32∵DE∴△DEF為直角三角形，符合題意；（3）如圖所示，NO=3且NO邊上的高為4，∴△MNO的面積為：12∴△MNO即為所求．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理與網(wǎng)格問題，理解題意，根據(jù)勾股定理作出相應(yīng)三角形是解題關(guān)鍵．【題型9直角三角形中的分類討論思想】【例9】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高為12，求BC的長．【答案】BC=21或11【分析】由于三角形的高的位置隨三角形的形狀改變而變化，分別根據(jù)題意畫出當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上、點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)的圖形，分別利用勾股定理得出答案即可．【詳解】解：設(shè)BC邊上的高為AD，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1所示：在Rt△ABD中，AB=20，AD=12根據(jù)勾股定理：BD=A在Rt△ACD中，AC=13，AD=12根據(jù)勾股定理：CD=A∴BC=BD+CD=16+5=21；當(dāng)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖2所示：同理可知：BD=16，CD=5，∴BC=BD?CD=16?5=11；綜上所述：BC=21或11.【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形高的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意利用分類討論正確畫出圖形是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，若△ABE是直角三角形，則△ABE【答案】6或50【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求出AC的長，即可求出△ABE的面積；②當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，設(shè)CE=x,，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，即可求出BE的長，進(jìn)而可求出△ABE的面積.【詳解】①當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，E點(diǎn)與C點(diǎn)重合∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，∴AC=即AE=4∴②如圖，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，設(shè)CE=x,在Rt△ACE中,AE2在Rt△ABE中，B∴解得x=∴BE=3+∴∴△ABE的面積是6或50故答案為：6或50【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和求直角三角形面積，分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式9-2】（2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學(xué)校考期中）在△ABC中，AB=20，AC=13，AD為【答案】44或54【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用勾股定理列式求出CD、BD，再分CD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求出BC，然后根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．【詳解】解：∵AB=20，AC=13，BC邊上的高AD=12，∴BD=AB2如圖1，CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+DC=16+5=21，此時(shí)，△ABC的周長=20+13+21=54，如圖2，CD在△ABC外部時(shí)，BC=BD?CD=16?5=11，此時(shí)，△ABC的周長=20+13+11=44，綜上所述，△ABC的周長為44或54．故答案為：44或54．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出BC的長，作出圖形更形象直觀．【變式9-3】（2023·黑龍江哈爾濱·八年級期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=【答案】1或7【分析】分∠A是銳角和鈍角兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)三角形的面積公式求得CD=12，再求出AD,再根據(jù)圖形求得【詳解】解：①如圖：當(dāng)∠A是銳角時(shí)，當(dāng)過C作AB的垂線交AB于D∵S∴12CD?AC=34,即∴AD=∴BD=AB?AD=∴BC=②如圖：如圖：當(dāng)∠A是鈍角時(shí)，當(dāng)過C作AB的垂線交BA的延長線于D∵S∴12AB?CD=34∴AD=∴BD=AB+AD=∴BC=故答案是：1或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理求得BD的長是解答本題的關(guān)鍵．【題型