二重積分的概念

關(guān)于二重積分的概念一.二重積分的概念1．引例——曲頂柱體的體積

曲頂柱體：

△

柱體的底是xoy面上的一有界閉區(qū)域D；

△側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面；

△頂是曲面z=f(x,y)(f(x,y)≥0),f在D

上連續(xù)。

區(qū)域的直徑：閉區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值，稱為閉區(qū)域的直徑。第2頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天平頂(z=f(x,y)=常數(shù))柱體的體積：

體積=高（z=常數(shù)）×

底面積（區(qū)域D的面積）

（請(qǐng)回憶在§6—1解決計(jì)算曲邊梯形面積的思想分析方法：……）oxyzDz=f(x,y)yxzz=f(x,y)oD(

i,

i)△

i·第3頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天曲頂柱體的體積V:①分割：D=△

1∪△

2∪…∪△

nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn

(△

i為△Vi窄條曲頂柱體的底；di為△

i的直徑。)②近似：近似地將小曲頂視為平頂（滿足條件：z=f(x,y)

連續(xù)，小區(qū)域△

i的直徑di很?。渣c(diǎn)(

i,i)

△

i的豎坐標(biāo)f(

i,i)為高，則得每個(gè)小窄條曲頂柱體的體積近似值△Vi≈f(

i,i)△

i(i=1,2,…,n)③求和：④取極限：

其中d=max｛d1,d2,…,dn｝,用△

i也示小區(qū)域的面積。第4頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．引例——平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密

“分割,,近似和,求極限”解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.第5頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天2)“近似”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量第6頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:第7頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.定義（二重積分）：設(shè)z=f(x,y)在區(qū)域D上有界，則①分割：用平面曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小區(qū)域△

1,△

2,…,△

n

各個(gè)小區(qū)域的面積是△

1,△

2,…,△

n

各個(gè)小區(qū)域的直徑是d1,d2,…,dn②近似：在各個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)(

i,i)

△

i

，作乘積

f(

i,i)△

i(i=1,2,…,n)③求和：第8頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天④取極限：當(dāng)n→∞且l=max｛d1,d2,…,dn｝→0時(shí)，

極限

存在，則稱此極限值為z=f(x,y)在D上的

二重積分，記為即

f(x,y)——

被積函數(shù)

f(x,y)d

——

被積表達(dá)式

d

——

面積元素

x,y——

積分變量

D——

積分區(qū)域

——

積分和式第9頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[注記](méi)：①

在直角坐標(biāo)系中，

i≈(xi)(yi)

面積元素

d=dxdy,故二重積分又有形式②

由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是③二重積分的幾何意義：

△當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積；

△當(dāng)f(x,y)≤0時(shí)，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負(fù)值；△當(dāng)f(x,y)在D上既有在若干分區(qū)域上取正值，也有在其余區(qū)域上取負(fù)值時(shí)，二重積分的幾何意義是：xoy面上方的柱體體積為正、下方的為負(fù)時(shí)的柱體體積的代數(shù)和。第10頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天

③函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

⑤

n→∞(l→0)時(shí)，積分和式極限存在，與對(duì)D

區(qū)域的分法無(wú)關(guān)，與(

i,i)

△

i的取法無(wú)關(guān)，僅與D和f(x,y)有關(guān)。

⑥“△

i的直徑很小”與“△

i的面積很小”對(duì)于“近似”有根本的區(qū)別，因此極限過(guò)程用

l→0，而不能僅用n→∞來(lái)描述。第11頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天二．二重積分的性質(zhì)⑴⑵⑶⑷（為D的面積）（D=D1+D2）第12頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天⑸在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，則特別地，在D上若f(x,y)≤0(≥0)

恒成立，則⑹⑺

在D上若m≤f(x,y)≤M，

為D的面積，則(≥0)第13頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天⑻

二重積分中值定理：

設(shè)f(x,y)∈C(D)，D為有界閉區(qū)域，

為D的面積，則至少

(,)∈D，使第14頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例題解析]例1設(shè)利用二重積分的幾何意義說(shuō)明I1和I2之間的關(guān)系第15頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：由二重積分的幾何意義知，I1表示底為D1，頂為曲面z=（x2+y2）3的曲頂柱體M1的體積；I2表示底為D2，頂為曲面z=（x2+y2）3的曲頂柱體M2的體積；由于位于D1上方的曲面z=（x2+y2）3關(guān)于yox面和zox面均對(duì)稱，故yoz面和zox面將M1分成四個(gè)等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為M2。由此可知xy1-1-22第16頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2利用二重積分的幾何意義確定二重積分的值，其中解：曲頂柱體的底部為圓盤(pán)其頂是下半圓錐面故曲頂柱體為一圓錐體，它的底面半徑及高均為3，所以第17頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3利用二重積分的幾何意義說(shuō)明：（1）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，f（x，y）為x的奇函數(shù)，即f（-x，y）=-f（x，y）時(shí)有（2）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，f（x，y）為x的偶函數(shù)，即f（-x，y）=f（x，y）時(shí)有（D1為D在x≥0的部分）第18頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天第19頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天[注記](méi)：結(jié)論的推廣（1）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，f（x，y）為y的奇函數(shù)，即f（x，-y）=-f（x，y）時(shí)有（2）當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，f（x，y）為y的偶函數(shù)，即f（x，-y）=f（x，y）時(shí)有（D1為D在y≥0的部分）第20頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4比較分析：主要考慮第21頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天【附注】比較和的大小先令得曲線在的兩側(cè)一般的有判斷D