專題02直線與圓的方程（基礎(chǔ)16種題型+能力提升題）（解析版）

專題02直線與圓的方程（基礎(chǔ)16種題型+能力提升題）一．確定直線位置的幾何要素（共1小題）1．（2022秋?瀏陽(yáng)市期末）如果AB＞0且BC＜0，那么直線Ax+By+C＝0不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由已知可確定直線斜率及縱軸截距的范圍，進(jìn)而可判斷直線所經(jīng)過(guò)的象限．【解答】解：因?yàn)锳B＞0且BC＜0，由Ax+By+C＝0可得y＝﹣x﹣，則﹣＜0，﹣＞0，故直線Ax+By+C＝0經(jīng)過(guò)一二四象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了確定直線位置的要素，屬于基礎(chǔ)題．二．直線的傾斜角（共4小題）2．（2022秋?黃埔區(qū)校級(jí)期末）直線l：x﹣3y+1＝0的傾斜角為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可求解．【解答】解：∵直線l的方程：可化為，∴直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為α，則，又∵α∈[0，π），∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關(guān)系求解．【解答】解：由直線l的方向向量是得直線l的斜率為，設(shè)直線的傾斜角是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．（多選）4．（2022秋?丹東期末）已知直線l：kx﹣2y﹣4k+1＝0，則下列表述正確的是（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，直線的傾斜角為45° B．當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線l恒過(guò)點(diǎn) C．當(dāng)直線l與直線x+2y﹣4＝0平行時(shí)，則兩條直線的距離為1 D．直線l與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4【分析】A選項(xiàng)，可求出直線斜率，即可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，將直線方程整理為k（x﹣4）+1﹣2y＝0，由此可得直線所過(guò)定點(diǎn)；C選項(xiàng)，由題可得k＝﹣1，后由平行直線距離公式可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，分別令x，y＝0，可得直線與y軸，x軸交點(diǎn)為，，則圍成三角形面積為，后由基本不等式可判斷選項(xiàng)．【解答】解：A選項(xiàng)，當(dāng)k＝2時(shí)，直線方程為2x﹣2y﹣7＝0，可得直線斜率為1，則傾斜角為45°，故A正確；B選項(xiàng)，由題可得k（x﹣4）+1﹣2y＝0，則直線過(guò)定點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)，因直線l與直線x+2y﹣4＝0平行，則，則直線方程為：﹣x﹣2y+5＝0，即x+2y﹣5＝0．則l與直線x+2y﹣4＝0之間的距離為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，分別令x，y＝0，可得直線與y軸，x軸交點(diǎn)為，．又交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸正半軸，則．故圍成三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．即面積最小值為4，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022秋?麗水期末）已知過(guò)點(diǎn)A（1，a），的直線的傾斜角為60°，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合直線的斜率公式及直線的傾斜角與斜率公式可求．【解答】解：由題意可得，直線的斜率k＝tan60°＝＝，故a＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的斜率公式及直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三．直線的斜率（共3小題）6．（2023春?汕尾期末）直線3x+2y﹣1＝0的一個(gè)方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）【分析】先根據(jù)直線方程得直線的一個(gè)法向量，再根據(jù)法向量可得直線的方向向量．【解答】解：依題意，（3，2）為直線的一個(gè)法向量，∴則直線的一個(gè)方向向量為（2，﹣3），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的方向向量，空間直線的向量，屬基礎(chǔ)題．7．（2022秋?辛集市期末）已知兩點(diǎn)A（﹣3，4），B（3，2），過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣3，4），B（3，2），過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，∴直線l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率為＝﹣1，PB的斜率為＝1，∴直線l的斜率k≥1或k≤﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．8．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）已知直線kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（﹣3，1），N（3，2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C．或 D．k≤﹣2或【分析】根據(jù)直線方程kx﹣y﹣k﹣1＝0得到恒過(guò)定點(diǎn)A（1，﹣1），利用坐標(biāo)得到，，然后結(jié)合圖象可得k的取值范圍【解答】解：因?yàn)橹本€kx﹣y﹣k﹣1＝0恒過(guò)定點(diǎn)A（1，﹣1），且，，由圖可知，或．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的斜率公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．直線的點(diǎn)斜式方程（共1小題）9．（2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末）過(guò)點(diǎn)P（，﹣2）且傾斜角為135°的直線方程為（）A． B． C． D．【分析】由直線的傾斜角為135°，所以可求出直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出即可．【解答】解：∵直線的傾斜角為135°，∴斜率k＝tan135°＝﹣1，又直線過(guò)點(diǎn)P（，﹣2），∴直線的點(diǎn)斜式為y+2＝﹣1（x﹣），即x+y+＝0．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的方程，理解直線的點(diǎn)斜式是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．五．直線的斜截式方程（共1小題）10．（2022秋?資興市校級(jí)期末）在直角坐標(biāo)系xOy中，在y軸上截距為﹣1且傾斜角為的直線方程為（）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0【分析】由直線的傾斜角可求直線的斜率，根據(jù)直線方程的斜截式可求直線方程【解答】解：由題意可得，直線的斜率k＝﹣1根據(jù)直線方程的截距式可知所求的直線方程為y＝﹣x﹣1即x+y+1＝0故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線方程的斜截式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題六．直線的截距式方程（共2小題）11．（2022秋?寧陽(yáng)縣校級(jí)期末）過(guò)點(diǎn)（3，﹣6）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是（）A．2x+y＝0 B．x+y+3＝0 C．x﹣y+3＝0 D．x+y+3＝0或2x+y＝0【分析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，用點(diǎn)斜式求得直線方程．當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x+y＝k，把點(diǎn)（3，﹣6）代入直線的方程可得k值，從而求得所求的直線方程，綜合可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y＝﹣2x，即2x+y＝0．當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x+y＝k，把點(diǎn)（3，﹣6）代入直線的方程可得k＝﹣3，故直線方程是x+y+3＝0．綜上，所求的直線方程為x+y+3＝0或2x+y＝0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用待定系數(shù)法求直線方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)的情況，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2022秋?華容縣期末）下列說(shuō)法中，正確的有（）A．過(guò)點(diǎn)P（1，2）且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y﹣3＝0 B．直線y＝kx﹣2在y軸的截距是2 C．直線的傾斜角為30° D．過(guò)點(diǎn)（5，4）且傾斜角為90°的直線方程為x﹣5＝0【分析】對(duì)于A，分截距為0，不為0兩種情況討論，即可求解；對(duì)于B，結(jié)合截距的定義，即可求解；對(duì)于C，先求出直線的斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解；對(duì)于D，根據(jù)已知條件，推得直線與x軸垂直，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)截距為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y＝kx，直線過(guò)點(diǎn)P（1，2），則直線為y＝2x，當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為x+y＝a（a≠0），直線過(guò)點(diǎn)P（1，2），則1+2＝a，即a＝3，故直線方程為x+y﹣3＝0，綜上所述，所求直線方程為2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線y＝kx﹣2在y軸的截距是﹣2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線的斜率為，則直線的的傾斜角為30°，故C正確；對(duì)于D，直線的傾斜角為90°，則直線的斜率不存在，直線過(guò)點(diǎn)（5，4），故所求直線的方程為x＝5，即x﹣5＝0，故D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的截距式方程，以及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．七．直線的一般式方程與直線的性質(zhì)（共1小題）13．（2022秋?永昌縣校級(jí)期末）已知直線l1：x﹣2y﹣2＝0的傾斜角為θ，直線l2的傾斜角為2θ，且直線l2在y軸上的截距為3，則直線l2的一般式方程為（）A．x+y﹣3＝0 B．4x﹣3y+9＝0 C．3x﹣4y+3＝0 D．2x+y﹣3＝0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，以及正切的二倍角公式，推得直線l2的斜率，再結(jié)合直線的斜截式方程，即可求解．【解答】解：直線l1：x﹣2y﹣2＝0的傾斜角為θ，則，∵直線l2的傾斜角為2θ，∴直線l2的斜率為tan2θ＝，∵直線l2在y軸上的截距為3，∴直線l2的方程為y＝，即4x﹣3y+9＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的一般式方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．八．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系（共3小題）14．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知直線（m+1）x+3y+1＝0與直線4x+my+1＝0平行，則m的值為（）A．3 B．﹣4 C．3或﹣4 D．3或4【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵直線（m+1）x+3y+1＝0與直線4x+my+1＝0平行，∴m（m+1）＝3×4，即m2+m﹣12＝0，解得m＝﹣4或m＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，直線（m+1）x+3y+1＝0與直線4x+my+1＝0重合，不符合題意，舍去，故m＝﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022秋?新化縣期末）若直線l1：ax+3y﹣4a＝0與直線l2：2x﹣y+2＝0平行，則a＝﹣6．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：直線l1：ax+3y﹣4a＝0與直線l2：2x﹣y+2＝0平行，則且，解得a＝﹣6．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）已知直線l1：kx﹣2y﹣2k+4＝0，直線l2：k2x+4y﹣4k2﹣8＝0．（Ⅰ）若直線l1在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l1的方程；（Ⅱ）若l1∥l2，求直線l2的方程．【分析】（Ⅰ）若直線l1過(guò)原點(diǎn)，則l1在坐標(biāo)軸的截距都為0，解得k＝2；若直線l1不過(guò)原點(diǎn)，則斜率為，解得k＝﹣2．由此能求出直線l1的方程．（Ⅱ）l1∥l2時(shí)，解得k＝0或k＝﹣2．由此能求出直線l2．【解答】解：（Ⅰ）①若直線l1過(guò)原點(diǎn)，則l1在坐標(biāo)軸的截距都為0，滿足題意，此時(shí)則﹣2k+4＝0，解得k＝2，②若直線l1不過(guò)原點(diǎn)，則斜率為，解得k＝﹣2．因此所求直線l1的方程為x﹣y＝0或x+y﹣4＝0（Ⅱ）①若l1∥l2，則k×4＝﹣2×k2解得k＝0或k＝﹣2．當(dāng)k＝0時(shí)，直線l1：﹣2y+4＝0，直線l2：4y﹣8＝0，兩直線重合，不滿足l1∥l2，故舍去；當(dāng)k＝﹣2時(shí)，直線l1：x+y﹣4＝0，直線l2：x+y﹣6＝0，滿足題意；因此所求直線l2：x+y﹣6＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，考查直線與直線平行、直線的截距等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．九．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系（共2小題）17．（2022秋?菏澤期末）已知直線l1：x﹣y﹣1＝0，若直線l2與l1垂直，則l2的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．【解答】解：∵直線l1：x﹣y﹣1＝0，∴，∵直線l2與l1垂直，∴，解得，∴l(xiāng)2的傾斜角為150°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18．（2022秋?川匯區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），線段AC的中點(diǎn)M；（1）求過(guò)M點(diǎn)和直線BC平行的直線方程；（2）求BC邊的高線所在直線方程．【分析】（1）根據(jù)A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，和直線直線BC的斜率，寫(xiě)出直線方程；（2）根據(jù)，得到BC邊的高線的斜率，寫(xiě)出直線方程．【解答】解：（1）因?yàn)锳（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），所以M（1，6），，所以過(guò)M點(diǎn)和直線BC平行的直線方程為，即x﹣3y+17＝0；（2）因?yàn)?，所以BC邊的高線的斜率為﹣3，所以BC邊的高線所在直線方程y﹣9＝﹣3（x+3），即3x+y＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．一十．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程（共1小題）19．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期末）已知A（2，4），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在直線x＝﹣1上，當(dāng)|PA|+|PB|取最小值時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C．（﹣1，2） D．（﹣1，1）【分析】作出A關(guān)于直線x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣4，4），連接A'B，與直線x＝﹣1交于P，即為所求．求出直線A，B的方程，可令x＝﹣1，可得P的坐標(biāo)．【解答】解：作出A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣4，4），連接A'B，與x＝﹣1交于P，即為所求．此時(shí)|PA|+|PB|取最小值|A'B|，由A'B的斜率為k＝﹣，可得方程：y＝﹣（x﹣1），令x＝﹣1，可得y＝，即為P（﹣1，），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查距離之和取最小值的情況，注意運(yùn)用對(duì)稱思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．一十一．兩條平行直線間的距離（共1小題）20．（2022秋?洛陽(yáng)期末）直線l1：x+2y+2＝0與直線l2：2x+4y﹣1＝0之間的距離為．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩條平行直線間的距離公式，即可求解．【解答】解：直線l1：x+2y+2＝0，即2x+4y+4＝0，則所求距離為＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．一十二．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）21．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期末）已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，﹣2），以O(shè)A為直徑的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝8 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝8【分析】先求出圓心與半徑，即可求解．【解答】解：O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，﹣2），則，OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），故以O(shè)A為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y+1）2＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．一十三．圓的一般方程（共1小題）22．（2022秋?游仙區(qū)校級(jí)期末）若圓C：x2+y2﹣2（m﹣1）x+2（m﹣1）y+2m2﹣6m+4＝0過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．2或1 B．﹣2或﹣1 C．2 D．1【分析】由題意，（0，0）代入可得2m2﹣6m+4＝0，求出m，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，（0，0）代入可得2m2﹣6m+4＝0，∴m＝2或1，m＝2時(shí)，方程為x2+y2﹣2x+2y＝0，滿足題意，m＝1時(shí)，方程為x2+y2＝0，不滿足題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．一十四．圓的切線方程（共1小題）23．（2022秋?遼寧期末）已知過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線與圓（x﹣1）2+y2＝5相切，且與直線ax﹣y+1＝0平行，則a＝（）A．2 B．1 C． D．【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線的方程為y﹣2＝k（x﹣2），由圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到k的值，由切線與ax﹣y+1＝0平行，可得答案．【解答】解：已知過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線與圓（x﹣1）2+y2＝5相切，將點(diǎn)P（2，2）代入圓（x﹣1）2+y2＝5恒成立，則點(diǎn)P在圓上．即過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線與圓（x﹣1）2+y2＝5相切的切線只有一條，令過(guò)點(diǎn)P（2，2）的切線的方程為y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切線與ax﹣y+1＝0平行，兩直線的斜率相等且y軸截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圓心到切線的距離等于圓的半徑，可得圓的半徑r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與直線平行充要條件，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．一十五．直線與圓的位置關(guān)系（共13小題）24．（2022秋?菏澤期末）已知圓C：x2+y2﹣6x＝0與直線l：2x+y＝1，則圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出圓心到直線的距離，結(jié)合半徑之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+y2＝9，則圓心坐標(biāo)為C（3，0），半徑R＝3，所以圓心到直線的距離d＝＝＜3，所以直線和圓相交，則R﹣d＝3﹣＜1，所以圓C上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．25．（2022秋?六盤(pán)水期末）已知點(diǎn)M在圓C：（x+1）2+（y+2）2＝1上，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣m+3＝0（m∈R），則點(diǎn)M到直線l的距離的最大值為（）A． B． C． D．【分析】求出直線l恒過(guò)的定點(diǎn)P（4，﹣7），計(jì)算定點(diǎn)P到圓C的圓心C的距離|PC|，即可求出點(diǎn)M到直線l的距離最大值|PC|+r．【解答】解：直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣m+3＝0可化為m（2x+y﹣1）+（x+y+3）＝0，令，解得，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)P（4，﹣7）；定點(diǎn)P到圓C：（x+1）2+（y+2）2＝1的圓心C（﹣1，﹣2）的距離為|PC|＝＝5，所以點(diǎn)M到直線l的距離最大值為|PC|+r＝5+1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線恒過(guò)定點(diǎn)以及圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．26．（2022秋?滄州期末）已知A（0，3），圓C的圓心為C（4，0），過(guò)點(diǎn)A到圓C的切線長(zhǎng)是半徑的2倍，則圓C截直線y＝x﹣3所得的弦長(zhǎng)為．【分析】計(jì)算|AC|的長(zhǎng)，求出圓的半徑R，再計(jì)算圓心C到直線y＝x﹣3的距離d，即可求出弦長(zhǎng)|MN|．【解答】解：如圖所示，計(jì)算|AC|＝＝5，設(shè)半徑為R，則（2R）2+R2＝52，解得，所以圓心C到直線y＝x﹣3的距離為d＝＝，所以弦長(zhǎng)為|MN|＝2＝2＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的方程、圓的切線以及直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．27．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是圓（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列點(diǎn)M中，使得△MAB為鈍角三角形的是（）A．M（0，0） B． C． D．【分析】對(duì)于圓（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，可得A（4，0），B（0，2），可得直線AB的方程x+2y﹣4＝0．圓心C（2，1）滿足直線BA的方程，下列點(diǎn)M中，使得△MAB為鈍角三角形，點(diǎn)M必須在⊙C的內(nèi)部，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于圓（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，令x＝0，解得y＝0，2；令y＝0，解得x＝0，4．不妨取A（4，0），B（0，2），可得直線AB的方程：+＝1，即x+2y﹣4＝0．圓心C（2，1）滿足直線BA的方程，下列點(diǎn)M中，使得△MAB為鈍角三角形，則點(diǎn)M必須在⊙C的內(nèi)部．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證（0，0），（2，1﹣）在⊙C上，點(diǎn)（4，）在⊙C的外部，只有點(diǎn)M（1，2）在圓的內(nèi)部，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)及其直線與圓的位置關(guān)系、鈍角三角形、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）28．（2022秋?沈陽(yáng)期末）已知圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直線l的方程為x+my﹣m﹣2＝0，下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，1） B．直線與圓相交 C．直線被圓所截最短弦長(zhǎng)為 D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使直線l經(jīng)過(guò)圓心C【分析】化簡(jiǎn)直線l的方程為x﹣2+m（y﹣1）＝0，結(jié)合方程組的解，可判定A正確；求得圓心到定點(diǎn)（2，1）的距離，得到點(diǎn)P在圓內(nèi)，進(jìn)而得到直線l與圓相交，可判定B正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，得到當(dāng)直線l和直線PC垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，求得最短弦長(zhǎng)，可判定C正確；將圓心坐標(biāo)代入直線l的方程，可判定D不正確．【解答】解：對(duì)于A項(xiàng)，由直線l的方程x+my﹣m﹣2＝0，可化為x﹣2+m（y﹣1）＝0，聯(lián)立方程組，解得x＝2，y＝1，即直線l恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，1），所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由圓C的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，可得圓心C（1，1），半徑r＝2，又由|PC|＝1＜2＝r，可得P（2，1）在圓內(nèi)，所以直線l與圓相交，所以B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由|PC|＝1，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線l和直線PC垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D項(xiàng)，將圓心C（1，1）代入直線l的方程x+my﹣m﹣2＝0，可得1+m﹣m﹣2＝﹣1≠0，所以不存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得直線l過(guò)圓心C，所以D不正確．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．29．（2022秋?滄州期末）直線l：x＝t（y﹣4）與曲線C：（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝2交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則t的值有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】畫(huà)出曲線（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝2表示的圖象，根據(jù)直線l：x＝t（y﹣4）恒過(guò)點(diǎn)P，求出y軸被圓所截得弦長(zhǎng)，結(jié)合圖形即可求出滿足|AB|＝2的t的值有3個(gè)．【解答】解：畫(huà)出曲線（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝2表示的圖象如圖所示，因?yàn)橹本€l：x＝t（y﹣4）恒過(guò)點(diǎn)P（0，4），計(jì)算圓心C1（﹣1，1）到y(tǒng)軸的距離為1，y軸被圓C1所截得弦長(zhǎng)為|QO|＝2＝2，根據(jù)圓的對(duì)稱性知圖中|AB|＝|MN|＝|QO|＝2，所以t的值有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓及其性質(zhì)、圓方程的變形、直線過(guò)定點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，是中檔題．30．（2022秋?津南區(qū)校級(jí)期末）已知直線l：mx+y﹣2﹣2m＝0與圓x2+y2﹣2x﹣8＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|取最小值時(shí)直線l的方程是x+2y﹣6＝0．【分析】化簡(jiǎn)直線方程得m（x﹣2）+y﹣2＝0，從而確定直線l恒過(guò)點(diǎn)C（2，2）；而圓x2+y2﹣2x﹣8＝0的圓心為D（1，0），從而確定當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，直線l的斜率為﹣，從而解直線l的方程．【解答】解：∵mx+y﹣2﹣2m＝0，∴m（x﹣2）+y﹣2＝0，故直線l恒過(guò)點(diǎn)C（2，2）；圓x2+y2﹣2x﹣8＝0的圓心為D（1，0），kCD＝＝2，故當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，直線l的斜率為﹣，即﹣m＝﹣，故m＝，故直線l的方程為x+y﹣2﹣1＝0，即x+2y﹣6＝0；故答案為：x+2y﹣6＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用及直線恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．31．（2022秋?海淀區(qū)期末）已知直線l：y＝kx+b，⊙O：x2+y2＝1，則“|b|＜1”是“直線l與⊙O相交”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【解答】解：⊙O：x2+y2＝1，則⊙O的圓心為（0，0），半徑為1，圓心到直線l的距離為，當(dāng)|b|＜1時(shí)，＜1，故直線l與⊙O相交，充分性成立，當(dāng)直線l與⊙O相交，則＜1，即|b|＜，必要性不成立，故“|b|＜1”是“直線l與⊙O相交”的充分而不必要條件，故A正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（多選）32．（2022秋?衡南縣期末）已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及點(diǎn)Q（﹣2，3），則下列說(shuō)法正確的是（）A．直線kx﹣y﹣2k+1＝0與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn) B．圓C與x軸不相切 C．若點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，則直線PQ的斜率為 D．若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為【分析】求出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，求出直線過(guò)的定點(diǎn)判斷A；求出點(diǎn)C到x軸距離判斷B；求出m值，再計(jì)算斜率判斷C；求出CQ長(zhǎng)并求出|MQ|范圍判斷D作答．【解答】解：圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0，即圓C：（x﹣2）2+（y﹣7）2＝8，圓心C（2，7），半徑，對(duì)于A，直線kx﹣y﹣2k+1＝0恒過(guò)定點(diǎn)（2，1），而點(diǎn)（2，1）在圓C外，則過(guò)點(diǎn)（2，1）的直線與圓C可能相離，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，點(diǎn)C（2，7）到x軸距離為7，大于圓C的半徑，則圓C與x軸相離，即圓C與x軸不相切，故B正確，對(duì)于C，點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，則（m﹣2）2+（m﹣6）2＝8，解得m＝4，而點(diǎn)Q（﹣2，3），則直線PQ的斜率為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，點(diǎn)Q在圓C外，∵|CQ|﹣r≤|MQ|≤|CQ|+r，∴，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．33．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)期末）已知點(diǎn)M（3，1），圓O1：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）若直線ax﹣y+4＝0與圓O1相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，求a的值；（2）求過(guò)點(diǎn)M的圓O1的切線方程．【分析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線ax﹣y+4＝0的距離d，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝1，解可得a的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，分切線的斜率是否存在2種情況討論，分別求出切線的方程，綜合即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，圓O1：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圓心為（1，2），半徑r＝2，若弦AB的長(zhǎng)為2，則圓心到直線ax﹣y+4＝0的距離d＝＝1，又由圓心為（1，2），直線ax﹣y+4＝0，則有d＝＝1，解得a＝﹣；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，其方程為x＝3，與圓相切，符合條件，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y﹣1＝k（x﹣3），圓心到它的距離＝2，解得k＝﹣，切線方程為3x﹣4y﹣5＝0，所以過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為x＝3或3x﹣4y﹣5＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．34．（2022秋?新余期末）已知圓C：x2+y2﹣8y+12＝0，直線l：ax+y+2a＝0，（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切．（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝2時(shí)，求直線l的方程．【分析】（1）圓C的圓心C（0，4）半徑r＝2，由直線l：ax+y+2a＝0與圓相切，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，能求出a的值．（2）直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝2時(shí)，d＝＝，再由圓心到直線的距離d＝，列出方程，求出a，由此能求出直線方程．【解答】（12分）解：（1）設(shè)圓心到直線的距離為d，圓C：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心C（0，4）半徑r＝＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵直線l：ax+y+2a＝0與圓相切，∴d＝＝2，解得a＝﹣．﹣﹣﹣5分（2）∵圓心到直線的距離d＝，直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝2時(shí)，d＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣7分∴d＝＝，解得a＝﹣7或a＝﹣1．∴所求直線為7x﹣y+14＝0或x﹣y+2＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相切時(shí)實(shí)數(shù)值的求法，考查直線方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．35．（2022秋?越秀區(qū)期末）已知圓M：（x﹣2）2+y2＝4，點(diǎn)P（﹣1，t）（t∈R）．（1）若t＝0，求以P為圓心且與圓M相切的圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)P的兩條直線被圓M截得的弦長(zhǎng)均為，且與y軸分別交于點(diǎn)S、T，，求t的值．【分析】（1）由題意，可設(shè)圓P的方程為（x+1）2+y2＝r2，判斷出點(diǎn)P在圓外，則圓P與圓M外切或內(nèi)切，分類討論兩圓內(nèi)切與外切兩種情況，列方程求解r，從而可得圓P的方程；（2）先排除過(guò)點(diǎn)P與x軸垂直的情況，從而設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y﹣t＝k（x+1），再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式建立方程并化簡(jiǎn)可得8k2+6tk+t2﹣1＝0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及，從而可得t的方程，解方程即可得解．【解答】解：（1）當(dāng)t＝0時(shí)，P（﹣1，0），設(shè)圓P的方程為（x+1）2+y2＝r2，因?yàn)椋ī?﹣2）2+02＝9＞4，所以點(diǎn)P在圓外，所以圓P與圓M外切或內(nèi)切，又M（2，0），圓M的半徑為2，當(dāng)兩圓外切時(shí)：|PM|＝2+r＝|2﹣（﹣1）|，可得r＝1，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：|PM|＝r﹣2＝|2﹣（﹣1）|，可得r＝5，所以以P為圓心且與圓M相切的圓的方程為（x+1）2+y2＝1或（x+1）2+y2＝25；（2）若過(guò)點(diǎn)P（﹣1，t）的直線與x軸垂直時(shí)，直線方程為x＝﹣1，圓心M到直線x＝﹣1的距離為3，直線與圓相離，不滿意題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，由題意得，，化簡(jiǎn)得8k2+6tk+t2﹣1＝0，設(shè)直線PS、PT的斜率分別為k1，k2，則，且Δ＝36t2﹣32（t2﹣1）＝4t2+32＞0，對(duì)過(guò)點(diǎn)P的直線y﹣t＝k（x+1），令x＝0，得y＝k+t，S（0，k1+t），T（0，k2+t），，解得t＝±1，故t＝±1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．36．（2022秋?銅仁市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1：x2+y2+12x﹣14y+60＝0，設(shè)圓O2與x軸相切，與圓O1外切，且圓心O2在直線x＝﹣6上．（1）求圓O2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)垂直于OO2的直線l與圓O1相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|＝3，求直線l的方程．【分析】（1）把圓O1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合條件，利用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系求出圓O2的圓心和半徑，可得圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出直線l的斜率為6，設(shè)直線l的方程為y＝6x+m，利用勾股定理可得圓心O1到直線l的距離d，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于m的方程，即可求解．【解答】解：（1）圓O1：x2+y2+12x﹣14y+60＝0，則圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+6）2+（y﹣7）2＝25，即圓O1的圓心坐標(biāo)為（﹣6，7），半徑為5，因?yàn)閳AO2與x軸相切，與圓O1外切，則圓心O2（﹣6，n），n＞0，則圓O2的半徑為n，則7﹣n＝5+n，解得n＝1，即圓O2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+6）2+（y﹣1）2＝1；（2）由（1）知O2（﹣6，1），則k＝﹣，所以直線l的斜率為6，設(shè)直線l的方程為y＝6x+m，因?yàn)閨BC|＝3，則圓心O1到直線l的距離d＝＝，所以＝，解得m＝或m＝，所以直線l的方程為y＝6x+或y＝6x+．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．一十六．圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共1小題）（多選）37．（2022秋?寶安區(qū)期末）圓O1：x2+y2﹣2x＝0和圓O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交點(diǎn)為A，B，則有（）A．公共弦AB所在直線方程為x﹣y＝0 B．公共弦AB的長(zhǎng)為 C．線段AB中垂線方程為x+y﹣1＝0 D．P為圓O2上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，已知圓O1：x2+y2﹣2x＝0和圓O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交點(diǎn)為A，B，兩個(gè)圓的方程作差可得：x﹣y＝0，即公共弦AB所在直線方程為x﹣y＝0，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，將圓O1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式可得：（x﹣1）2+y2＝1，則該圓的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為1，則圓心到直線x﹣y＝0的距離為，則公共弦AB的長(zhǎng)為2×，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由已知可得：線段AB中垂線的斜率為﹣1，且過(guò)點(diǎn)（1，0），則線段AB中垂線的方程為x+y﹣1＝0，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，將圓O2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式可得：（x+1）2+（y﹣2）2＝5，則該圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為，則圓心到直線x﹣y＝0的距離為，P為圓O2上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了點(diǎn)到直線的距離，屬基礎(chǔ)題．一十七．兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定（共1小題）38．（2022秋?青山區(qū)校級(jí)期末）圓C1：x2+y2﹣6y+5＝0與圓C2：x2+y2﹣8x+7＝0的公切線條數(shù)為3．【分析】將兩圓的公切線條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，然后由兩圓心之間的距離與兩半徑之間的關(guān)系判斷即可．【解答】解：圓，圓心C1（0，3），半徑r1＝2；圓，圓心C2（4，0），半徑r2＝3．因?yàn)?，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線條數(shù)為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?大英縣校級(jí)期末）已知圓C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，動(dòng)圓M與圓C1，圓C2均相切，P是△MC1C2的內(nèi)心，且，則a的值為（）A．9 B．11 C．17或19 D．19【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，由動(dòng)圓M與圓C1，圓C2均相切，可得C1M+C2M＝a+1或3C1C2＝18＝a﹣1，由，可得C1M+C2M＝3C1C2，從而可求得a的值．【解答】解：根據(jù)題意：圓C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圓心C1（﹣3，0），半徑R1＝a，圓C2：（x﹣3）2+y2＝1，其圓心C2（3，0），半徑R2＝1，又因?yàn)閍＞7，所以圓心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圓C2內(nèi)含于圓C1，如圖1，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1，圓C2均相切，設(shè)圓M的半徑為r，分2種情況討論：①動(dòng)圓M與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切（r＜a），則有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，所以C1M+C2M＝a+1，即M的軌跡為以C1，C2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a+1的橢圓，因?yàn)镻為△MC1C2的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r0，又由，則有所以×C1M×r0+×C2M×r0＝3××C1C2×r0，所以C1M+C2M＝3C1C2，所以3C1C2＝18＝a+1，所以a＝17，②圓C2內(nèi)切于動(dòng)圓M，動(dòng)圓M內(nèi)切于圓C1，則有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r﹣1，所以C1M+C2M＝a﹣1，同理可得：3C1C2＝18＝a﹣1，則有a＝19；綜合可得：a＝17或19；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及軌跡方程的求法以及橢圓的定義，屬于難題．二．多選題（共3小題）（多選）2．（2022秋?鐵東區(qū)期末）過(guò)直線kx+y+4＝0（k＞0）上一點(diǎn)M作圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線．切點(diǎn)分別為A，B，若四邊形MACB周長(zhǎng)的最小值是6，則（）A．k＝2 B．∠AMB的最大度數(shù)為60° C．直線AB必過(guò)點(diǎn) D．|AB|的最小值為【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得四邊形MACB的周長(zhǎng)，再求|MC|的最小值，結(jié)合條件列方程求k，判斷A；求∠AMB的余弦及其最小值，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求∠AMB的最大度數(shù)，判斷B；求過(guò)點(diǎn)M，A，C，B的圓的方程，再求其與圓C的公共弦方程，確定其所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷C；利用等面積法可得，由此可求|AB|的最小值，判斷D．【解答】解：∵方程x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1，∴圓x2+y2﹣2y＝0的圓心為C（0，1），半徑r＝1，∴|CA|＝|CB|＝1，∵M(jìn)A，MB為圓x2+y2﹣2y＝0的切線，切點(diǎn)分別為A，B，∴MA⊥CA，MB⊥CB，∴|MA|＝|MB|，，如圖四邊形MACB的周長(zhǎng)，∵四邊形MACB周長(zhǎng)的最小值是6，∴|MC|的最小值為，∴點(diǎn)C到直線kx+y+4＝0（k＞0）的距離為，∴，∴k＝2，A正確；∠AMB＝2∠AMC，，∴，∴當(dāng)|MC|取最小值時(shí)，cos∠AMB取最小值為，即，又余弦函數(shù)y＝cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，∴（∠AMB）max＜60°，B錯(cuò)誤；∵M(jìn)A⊥CA，MB⊥CB，∴點(diǎn)M，A，C，B四點(diǎn)共圓，且線段MC為該圓的直徑，設(shè)M（a，﹣2a﹣4），過(guò)點(diǎn)M，A，C，B的圓的方程為，化簡(jiǎn)可得x2﹣ax+y2+（2a+3）y﹣2a﹣4＝0，∵圓x2+y2﹣2y＝0與圓x2﹣ax+y2+（2a+3）y﹣2a﹣4＝0相交，將圓x2+y2﹣2y＝0與圓x2﹣ax+y2+（2a+3）y﹣2a﹣4＝0方程相減可得ax﹣（2a+5）y+2a+4＝0，化簡(jiǎn)可得a（x﹣2y+2）﹣5y+4＝0，故直線AB的方程為a（x﹣2y+2）﹣5y+4＝0，又由，可得，∴直線AB必過(guò)點(diǎn)，C正確；∵△AMC的面積，∴，∴當(dāng)|MC|取最小值時(shí)，|AB|取最小值為，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題為直線與圓的綜合問(wèn)題，涉及直線外一點(diǎn)到直線的最小距離，直線過(guò)定點(diǎn)，圓的切線的性質(zhì)，相交圓的公共弦的求法等方面，難度較大．（多選）3．（2022秋?懷化期末）已知圓M：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．過(guò)點(diǎn)A（1，2）與圓M相切的直線方程為x＝1 B．圓M上的點(diǎn)到直線4x﹣3y+5＝0的距離的最大值為3 C．過(guò)點(diǎn)（1，1）可以做兩條直線與圓M相切 D．圓M與圓N：（x+4）2+（y﹣6）2＝1相交【分析】對(duì)于A，結(jié)合切線的性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解，對(duì)于B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解，對(duì)于C，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化點(diǎn)（1，1）與圓心M（﹣1，2）的距離大于半徑r，對(duì)于D，根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，即可求解．【解答】解：圓M：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，則（x+1）2+（y﹣2）2＝4，故圓心M（﹣1，2），半徑r＝2，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的直線斜率不存在時(shí)，x＝1與圓M相切，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的直線斜率存在時(shí)，設(shè)該直線為y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，圓心M（﹣1，2）到直線kx﹣y+2﹣k＝0的距離d＝，無(wú)解，故過(guò)點(diǎn)A（1，2）與圓M相切的直線方程為x＝1，故A正確，對(duì)于B，圓心M（﹣1，2）到直線4x﹣3y+5＝0的距離，圓M上的點(diǎn)到直線4x﹣3y+5＝0的距離的最大值為d1+r＝1+2＝3，故B正確，對(duì)于C，∵點(diǎn)（1，1）與圓心M（﹣1，2）的距離為＞r＝2，∴過(guò)點(diǎn)（1，1）可以做兩條直線與圓M相切，故C正確，對(duì)于D，∵圓N：（x+4）2+（y﹣6）2＝1，∴圓心N（﹣4，6），r2＝1，∴＞r1+r2＝2，∴圓M與圓N相離，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于難題．（多選）4．（2022秋?江岸區(qū)期末）已知圓M：（x+1）2+（y+1）2＝4，直線l：x+y﹣2＝0，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，則下列說(shuō)法正確的是（）A．四邊形MAPB面積的最小值為4 B．線段AB的最小值為 C．當(dāng)直線AB的方程為x+y＝0時(shí)，∠APB最小 D．若動(dòng)直線l1∥l，l1且交圓M于C、D兩點(diǎn)，且弦長(zhǎng)，則直線l1橫截距的取值范圍為【分析】由切線性質(zhì)PA⊥AM，PB⊥MB，|PA|＝|PB|，由點(diǎn)到直線距離公式求得圓心M到直線l的距離，結(jié)合四邊形MAPB面積計(jì)算判斷AB，當(dāng)AB方程為x+y＝0時(shí)，由對(duì)稱性求得AB，求出∠APB，然后再取一特殊值得出∠APB比此時(shí)的小可判斷C，由CD弦長(zhǎng)求出圓心到弦CD的距離的范圍，從而設(shè)直線方程為x+y+m＝0后可求得m的范圍，從而可得橫截距范圍判斷D．【解答】解：圓M：（x+1）2+（y+1）2＝4的圓心M（﹣1，﹣1），半徑為r＝2，可知|MA|＝|MB|＝2，PA⊥AM，，SMAPB＝2S△APM＝＝，當(dāng)|PM|取最小值時(shí)，四邊形MAPB面積取得最小值，此時(shí)，所以四邊形MAPB面積的最小值為，故A正確；又圓心M（﹣1，﹣1）到直線l的距離，所以當(dāng)SMAPB取得最小值時(shí)，，可得，故|AB|最小值，故B正確；當(dāng)直線AB的方程為x+y＝0時(shí)，kAB＝﹣1，kOM＝1，則kAB?kOM＝﹣1，所以直線AB與直線OM垂直，又O是AB中點(diǎn)，|MA|＝|MB|＝2，，所以，則|MA|2+|MB|2＝|AB|2，所以MA⊥MB，易得四邊形MAPB是正方形，此時(shí)∠APB＝90°，而當(dāng)|PM|＝4時(shí)，直角三角形中，∠APM＝30°，∠APB＝60°＜90°，故C錯(cuò)誤；設(shè)M到直線l1的距離為d1，因?yàn)?，且，所以，則，設(shè)l1：x+y+m＝0，所以，即，解得，故直線l1的橫截距﹣m的取值范圍為，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．三．解答題（共8小題）5．（2022秋?項(xiàng)城市校級(jí)期末）已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4外的有一點(diǎn)P（4，﹣1），過(guò)點(diǎn)P作直線l．（1）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；（2）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．【分析】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx﹣y﹣k﹣1＝0，由圓心到直線的距離等于圓的半徑列式求得k，則直線方程可求；（2）由直線的傾斜角求得斜率，得到直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，再由垂徑定理求得直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．【解答】解：（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，則，解得，∴l(xiāng)的方程為3x+4y﹣8＝0，綜上，直線l的方程為x＝4或3x+4y﹣8＝0；（2）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，直線l的方程為x+y﹣3＝0，圓心到直線l的距離，∴所求弦長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．6．（2022秋?佛山期末）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l1與圓C：x2+y2﹣8x+12＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡Γ的方程；（2）若直線l2：y＝kx上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓與Γ有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．【分析】（1）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，結(jié)合垂徑定理，利用兩條直線的垂直關(guān)系，可得解，注意x的取值范圍；（2）由（1）知，軌跡Γ是一段劣弧，再分k＝0，k＞0和k＜0三種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可得解．【解答】解：（1）將圓C：x2+y2﹣8x+12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為（x﹣4）2+y2＝4，其中圓心C為（4，0），半徑r＝2，當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，A，B兩點(diǎn)均在x軸上，此時(shí)M與C重合，即線段AB的中點(diǎn)M（4，0）；當(dāng)直線l1的斜率不為0時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由垂徑定理知，kOM?kCM＝﹣1，所以?＝﹣1，即x2﹣4x+y2＝0，聯(lián)立，解得x＝3，y＝或x＝3，y＝﹣，即圓C與圓x2﹣4x+y2＝0有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)E和F，則E（3，），F(xiàn)（3，﹣），故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡Γ的方程為x2﹣4x+y2＝0（3＜x≤4）．（2）由（1）知，軌跡Γ是不含E，F(xiàn)兩點(diǎn)的劣弧EF，當(dāng)k＝0時(shí)，存在圓P：x2﹣4x+y2＝0滿足題意；當(dāng)k＞0時(shí)，只需點(diǎn)E（3，）到直線l2：y＝kx的距離d＜2，即＜2，解得0＜k＜；當(dāng)k＜0時(shí)，只需點(diǎn)F（3，﹣）到直線l2：y＝kx的距離d＜2，即＜2，解得﹣＜k＜0，綜上所述，k的取值范圍為（﹣，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離公式，軌跡方程的求法是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．7．（2022秋?大英縣校級(jí)期末）已知圓C的圓心在直線3x+y﹣1＝0上，且圓C在x軸、y軸上截得的弦長(zhǎng)AB和MN分別為和．（1）求圓C的方程；（2）若圓心C位于第四象限，點(diǎn)P（x，y）是圓C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且x，y滿足，求的范圍．【分析】（1）設(shè)圓心為（a，b），半徑為r，利用待寶系數(shù)法能求出圓C的方程．（2）由圓心C在第四象限，得圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝9，從而，，進(jìn)而，由此能求出的范圍．【解答】解：（1）設(shè)圓心為（a，b），半徑為r，則有得或，圓C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9或．（2）∵圓心C在第四象限，∴圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝9，∴，，∴，∵x，y滿足，∴（或），又∵P在圓C內(nèi)，滿足（x﹣1）2+（y+2）2＜9且∴4y2+8y﹣5＜0，解得，∴．∴的范圍[﹣，10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求法，考查向量和數(shù)量積的取值范圍的求法，考查直線、圓、和向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．8．（2022秋?潢川縣校級(jí)期末）已知：圓C：x2+y2﹣8y+12＝0，直線l：ax+y+2a＝0．（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB＝2時(shí)，求直線l的方程．【分析】（1）將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心與半徑，利用線l與圓C相切，則有＝2，即可求出a的值；（2）確定圓心到直線的距離，可求a，即可求直線l的方程．【解答】解：將圓C的方程x2+y2﹣8y+12＝0配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣4）2＝4，則此圓的圓心為（0，4），半徑為2．（1）若直線l與圓C相切，則有＝2，解得a＝﹣．…（5分）（2