函數的應用(一)2023-2024學年高一數學同步備課系列（人教A版2019必修）

3.4

函數的應用(一)自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學一、常見的函數模型1.在現(xiàn)實生活、生產中,有許多問題蘊含著量與量之間的關系,可通過建立變量之間的函數關系并對所得函數進行研究的方式,使問題得到解決.我們已經學過的函數模型有哪些?提示:一次函數、二次函數、分段函數、冪函數、反比例函數.2.常見的幾種函數模型二、解決函數實際應用問題的基本步驟解決函數實際應用問題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題,即建立函數模型,通過對函數性質的研究解決數學問題,從而達到解決實際問題的目的.解決函數實際應用問題的一般步驟是怎樣的?提示:(1)設恰當的變量:研究實際問題中的量與量之間的關系,確定變量之間的主動、被動關系,并用x,y表示問題中的變量.(2)建立函數模型:將y表示為x的函數,寫出y關于x的解析式,并注意標明函數的定義域.(3)求解函數模型:根據函數模型及其定義域,利用相應的函數知識求解函數模型.(4)給出實際問題的解:將數學模型的解還原為實際問題的解,得出實際問題的解.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)利潤=銷售單價×銷售量.(×)(2)實際應用問題中自變量的取值范圍由所得的函數解析式唯一確定.(×)(3)解函數應用題的基本步驟可概括為“四步八字”,即“審題、建模、解模、還原”.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

一次函數模型的應用【例1】

某音樂會預算票價為每張100元,容納觀眾人數不超過2000人,毛利潤y(單位:百元)關于觀眾人數x(單位:百人)之間的函數圖象如下圖所示,當觀眾人數超過1000人時,音樂會組織者需向保險公司繳納定額保險費5000元(不列入成本費用).請解答下列問題:(1)求當觀眾人數不超過1000人時,毛利潤y關于觀眾人數x的函數解析式和成本費用S(單位:百元)關于觀眾人數x的函數解析式;(2)若要使這次音樂會獲得36000元的毛利潤,則需售出多少張門票?需付成本費多少元?(注:當觀眾人數不超過1000人時,音樂會的毛利潤=門票收入-成本費用;當觀眾人數超過1000人時,音樂會的毛利潤=門票收入-成本費用-保險費)解:(1)當0≤x≤10時,設y關于x的函數解析式為y=kx-100.由400=10k-100,得k=50,即y=50x-100.S=100x-(50x-100),即S=50x+100.(2)當0≤x≤10時,由題意得50x-100=360,解得x=9.2(百張)=920(張).即S=50x+100=50×9.2+100=560(百元)=56

000(元).當10<x≤20時,設此時函數解析式為y=mx+n.可得y=50x-150,S=100x-(50x-150)-50,即S=50x+100.由50x-150=360,解得x=10.2(百張)=1

020(張).S=50×10.2+100=610(百元)=61

000(元).故需售門票920張或1

020張,相應地需支付成本費用分別為56

000元或61

000元.反思感悟在實際問題中,如果給出的兩個變量之間滿足一次函數關系或給出的函數圖象是直線,便可建立一次函數模型y=kx+b(k≠0),利用一次函數的有關性質解決問題.【變式訓練1】

某工廠生產某種產品,每件產品的出廠價為50元,其成本為25元/件.在生產過程中,平均每生產一件產品有0.5立方米污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設計兩種方案對污水進行處理,并準備實施.方案一:工廠污水先凈化處理后再排出,每處理1立方米污水所用原料費為2元,并且每月的排污設備損耗費為30000元;方案二:工廠將污水排到污水廠處理,每處理1立方米需付14元的排污費.問:(1)若工廠每月生產x件產品,每月利潤為y元,分別求出依方案一和方案二處理污水時,y關于x的解析式;(利潤=總收入-總支出)(2)當工廠每月生產6000件產品時,采用哪種污水處理方案可以節(jié)約支出,使工廠得到更多的利潤?解:(1)設工廠生產x件產品時,依方案一的利潤為y1元,依方案二的利潤為y2元,則y1=(50-25)x-2×0.5x-30

000=24x-30

000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(2)當x=6

000時,y1=114

000元,y2=108

000元.由y1>y2,知應選擇方案一處理污水.探究二

二次函數模型的應用【例2】

如圖所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM,使點P在邊DE上.(1)設MP=x米,PN=y米,將y表示成x的函數,求該函數的解析式及定義域;(2)求矩形BNPM面積的最大值.解:(1)如圖,作PQ⊥AF于點Q,則PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.因為△EPQ∽△EDF,S(x)是關于x的二次函數,其圖象開口向下,對稱軸為直線x=10,即當x∈[4,8]時,S(x)單調遞增,故當x=8米時,矩形BNPM的面積取得最大值,最大面積為48平方米.本例中,將(2)改為:若所截取的矩形BNPM的面積不小于42平方米,試求x的取值范圍.反思感悟解二次函數模型的策略(1)根據實際問題建立函數解析式(即二次函數解析式).(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法求函數的最值,從而解決實際問題中的最值問題.(3)解答二次函數最值問題最好結合二次函數的圖象.探究三

分段函數模型的應用【例3】

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時.研究表明,當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數.(1)當0<x≤200時,求函數v(x)的解析式;(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,單位:輛/時)f(x)=x·v(x)可以達到最大?并求出最大值.(精確到1輛/時).反思感悟構建分段函數模型的關鍵點建立分段函數模型的關鍵是確定分段的各邊界點,即明確自變量的取值區(qū)間,對每一區(qū)間進行分類討論,從而寫出函數的解析式.【變式訓練2】

某醫(yī)療研究所開發(fā)一種新藥,如果成人按規(guī)定的劑量服用,據監(jiān)測,服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:μg)與時間t(單位:h)之間近似滿足如圖所示的折線關系.(1)寫出服藥后y與t之間的函數解析式;(2)據測定,每毫升血液中含藥量不少于4μg時治療疾病有效,假若某病人一天中第一次服藥為上午7:00,問一天中怎樣安排服藥時間(共4次)效果最佳?易

錯

辨

析解決實際問題時忽視函數的定義域致錯【典例】

如圖,有一塊矩形空地ABCD,要在這塊空地上開辟一個內接四邊形EFGH為綠地,使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上(包括端點).已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,設AE=x,綠地EFGH的面積為y.(1)寫出y關于x的函數解析式,并求出它的定義域;(2)當x為何值時,綠地面積y最大?并求出最大值.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施解決實際問題時,一方面要結合問題的實際意義確定好變量的取值范圍,另一方面,在求函數模型的最值時,一定要根據該函數模型