函數(shù)的單調(diào)性和最值 高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊

3函數(shù)的單調(diào)性和最值2024/4/24新課引入我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型，這樣我們可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認識，那么什么是函數(shù)性質(zhì)呢？

總體而言，函數(shù)性質(zhì)就是“變化中的不變性”，變化中的規(guī)律性。所以研究函數(shù)性質(zhì)，就是要學會在運動變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。2024/4/242024/4/24

二、由形入數(shù)

、

提出問題

觀察下列函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)他們有那些特征嗎？y=x+2y=-x+1y=x2

同學們的回答涉及了函數(shù)的很多方面：如升降變化、對稱性、最高點或是最低點等，今天我們重點關(guān)注函數(shù)圖像從左到右升降變化的特點。我們一起看下面的實例實例分析

從圖像上我們可以直觀地看出，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；而在區(qū)間[-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上，函數(shù)值f（x）隨x值的增大而減小。

三、師生共探、

抽象定義

探究一：圖2-9中，怎樣用數(shù)學的符號語言表達在區(qū)間[-6,-5]上函數(shù)值y隨x值的增大而增大呢？

本節(jié)課我們要用定量的方法來刻畫函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減?。┑淖兓?guī)律----函數(shù)的單調(diào)性

問題1：我們之前研究過二次函數(shù)，現(xiàn)在我們以函數(shù)y=x2為例，從圖像上我們可以看出在區(qū)間上，y隨x的增大而減小，請問你是怎么理解“y隨x的增大而減小”的？你能說說它的數(shù)量特征嗎？

問題2：“x增大了”，如何用符號語言表示？“對應的函數(shù)值y減小”，又該如何表示？觀察下表，你能給出具體描述嗎？x...-5-4-3-2-1...f（x)...2516941...當x從-5增大到-4，函數(shù)值f（x）從25減小到16；當x從-4增大到-3，函數(shù)值f（x）從16減小到9；當x從-3增大到-2，函數(shù)值f（x）從9減小到4；當x從-2增大到-1，函數(shù)值f（x）從4減小到1。問題3：這樣的變化過程能寫完嗎？你能借助字母符號，歸納上述具體數(shù)值變化的共同點嗎？只要

x1<x2，就有

f(

x1)>

f(

x2)。

問題4：這里對，有什么要求？只取區(qū)間上的某些數(shù)對可以嗎？你能舉例說明嗎？所以我們在實際證明過程中，要保證所有x1<x2，有

f(

x1)>

f(

x2)。但在實際操作中，所有是不容易實現(xiàn)，我們一般用量詞任取來代替

問題5：同學們你現(xiàn)在會用數(shù)學符號語言來表達“y隨x的增大而減小”

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)>

f(

x2)

。

問題6：對于函數(shù)，你能模仿上述方法，給出“在區(qū)間上，y隨x的增大而增大”的符號語言刻畫嗎？

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)<

f(

x2)

練習：請你模仿上述過程，用符號語言刻畫函數(shù)y=-x2單調(diào)性。

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)<

f(

x2)

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)>

f(

x2)

探究二：通過以上兩個函數(shù)單調(diào)性的刻畫方法，你能給出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上單調(diào)性的符號表述嗎？

設函數(shù)y=f（x）定義域為D如果對于任意的x1，x2D

，當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù);特別地，當I是定義域的一個區(qū)間時，稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增。函數(shù)的單調(diào)性定義圖形表示

設函數(shù)y=f（x）定義域為D如果對于任意的x1，x2D

，當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù);特別地，當I是定義域的一個區(qū)間時，稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減。

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性。此時，區(qū)間I為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。圖形表示2024/4/24

問題1：你能舉出在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)（即增函數(shù)）例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？y=x+2y=x2-2

注意：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”。所以我們在描述函數(shù)單調(diào)性時，要說哪個函數(shù)，在哪個區(qū)間，單調(diào)性怎樣。

允許函數(shù)在某些區(qū)間上單調(diào)遞增，在另一些區(qū)間單調(diào)遞減，但只有在整個定義域上單調(diào)遞增才叫增函數(shù)，是函數(shù)的“整體性質(zhì)”。2024/4/24

問題2：從函數(shù)圖像上我們可以看出函數(shù)的單調(diào)性，那么我們?nèi)绾芜M行嚴格的代數(shù)證明呢？

對于x1，x2我們可以先假定他們的大小，一般假設x1<x2,所以剩下的問題就是如何比較f（x1）與f（x2）的大小，那么我們?nèi)绾巫C明f（x1）與f（x2）的大小呢？

要對兩個函數(shù)值比大小，實質(zhì)上是不等式的代數(shù)證明。在證明單調(diào)性時我們一般采用作差法。辨析

（1）若定義在[-2,3]的函數(shù)f（x）滿足f（-2）<f（3），

則函數(shù)在[-2,3]上一定是增函數(shù)嗎？（2）若函數(shù)在（1,3）和[3,5]都是增函數(shù)，

則函數(shù)在（1,5）上一定是增函數(shù)嗎？（3）函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間是什么關(guān)系？（4）

在整個定義域上是減函數(shù)嗎？2024/4/24例1下圖是定義在[-1,5]的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應用探索解:函數(shù)在[-1,0]上是單調(diào)遞減,在[0,2]上是單調(diào)遞增,在[2,4]上是單調(diào)遞減,在[4,5]上是單調(diào)遞增.

解：

應用探索

解：

應用探索

課堂小結(jié)：最后我們回顧一下這節(jié)課的內(nèi)容，請同學們思考一下問題（1）什么是增函數(shù)？