2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 線面垂直的性質(zhì)與空間距離 學(xué)案

第2課時(shí)線面垂直的性質(zhì)與空間距離學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)2．理解空間距離相關(guān)定義并會(huì)求相應(yīng)的距離．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)如圖，是我們比較熟悉的廣場(chǎng)中的路燈．問(wèn)題：(1)燈桿與水平面有什么樣的位置關(guān)系？(2)燈桿與燈桿之間有什么樣的位置關(guān)系？(3)由此你能得出什么結(jié)論？知識(shí)點(diǎn)1直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線____符號(hào)語(yǔ)言a⊥α圖形語(yǔ)言在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直線與平面ABCD位置關(guān)系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關(guān)系？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知識(shí)點(diǎn)2空間距離1．過(guò)一點(diǎn)作____于已知平面的直線，則該點(diǎn)與____間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，____________叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．2．一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上________到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．3．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的________到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為_(kāi)_____；平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為_(kāi)_______．類型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)．(2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2空間中的距離問(wèn)題【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求點(diǎn)D到平面PBC的距離．[思路導(dǎo)引]點(diǎn)D到平面PBC的距離轉(zhuǎn)化化歸點(diǎn)A到平面PBC的距離．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離．(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離．(3)通過(guò)換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．(1)證明：直線BC1∥平面D1AC；(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求證：PB⊥EF.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________關(guān)于線面垂直判定、性質(zhì)的應(yīng)用(1)分析已知的垂直關(guān)系，得出能夠推出的線線、線面垂直，即挖掘已知條件，以方便后續(xù)證明．(2)證明垂直關(guān)系時(shí)往往需要逆向思維，如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b，可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.(3)掌握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求證：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點(diǎn)H的位置；若不存在，說(shuō)明理由．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是()A．b∥αB．b?αC．b⊥αD．b∩α＝A2．(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD3．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)_______．4．已知四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件______時(shí)，有PC⊥BD(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可)．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，你能表述一下他們間的轉(zhuǎn)化關(guān)系嗎？2．點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離以及平面到平面的距離之間是如何轉(zhuǎn)化的？第2課時(shí)線面垂直的性質(zhì)與空間距離[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1平行a∥b思考提示：棱AA′，BB′所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線互相平行．知識(shí)點(diǎn)21.垂直垂足垂線段的長(zhǎng)度2.任意一點(diǎn)3.任意一點(diǎn)課前自主體驗(yàn)24[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1證明：因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.跟進(jìn)訓(xùn)練1．證明：因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.例2解：法一(幾何法)：因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是點(diǎn)D到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面PBC的距離．如圖，在平面PAB內(nèi)作AH⊥PB交PB于點(diǎn)H.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AH?平面PAB，所以BC⊥AH.又PB∩BC＝B，且PB?平面PBC，BC?平面PBC，所以AH⊥平面PBC.即AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離．在直角三角形PAB中，AB＝AP＝1，故PB＝2，由S△PAB＝12PB×AH＝12PA×得AH＝PA×ABPB＝1即點(diǎn)A到平面PBC的距離為22所以點(diǎn)D到平面PBC的距離為22法二(等體積轉(zhuǎn)化法)：因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是點(diǎn)D到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面PBC的距離，設(shè)為h，連接AC(圖略)，則V三棱錐A-PBC＝V三棱錐P-ABC，即13×S△PBC×h＝13×S△ABC×因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形．又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2,PB＝2，所以h＝12AB×BC×PA1則點(diǎn)D到平面PBC的距離為22跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)證明：∵ABCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴BC1∥AD1，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1∥平面D1AC.(2)直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離，設(shè)為h，考慮三棱錐D1-ABC的體積，以平面ABC為底面，可得V＝13×1∵在△AD1C中，AC＝D1C＝5，AD1＝2，∴cos∠ACD1＝45，sin∠ACD1＝3∴S△AD∴V＝13×32×h＝13即直線BC1到平面D1AC的距離為23例3證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC.又AB是圓O的直徑，所以AC⊥BC.又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以BC⊥AF.因?yàn)锳F⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：(1)證明：由題意，可得DC＝AC＝2，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)镻A∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC.(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC，垂足為H，由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，所以AH⊥平面PCD，因?yàn)樵赗t△PAC中，PA＝2，AC＝2，PHPA＝PAPC，解得PH＝263，所以PH＝23PC，即在棱PC上存在點(diǎn)H，