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文檔簡介

2024屆河南正陽第二高級中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.2.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.83.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.若集合,,則()A. B. C. D.5.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.木匠師傅對一個圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件,則該木件的體積()A. B. C. D.7.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.8.若集合,,則()A. B. C. D.9.?dāng)?shù)列{an},滿足對任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.9910.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.11.在鈍角中,角所對的邊分別為,為鈍角,若,則的最大值為()A. B. C.1 D.12.已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,若對任意的恒成立,則實(shí)數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個月(按30天計算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為____尺,設(shè)該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.14.一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為__________.15.?dāng)?shù)列滿足遞推公式,且,則___________.16.已知拋物線,點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,則線段長度的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是線段PC中點(diǎn),G為線段EC中點(diǎn).Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.19.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計,可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓的半徑為,設(shè),圓錐的側(cè)面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時腰的長度.20.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長度21.(12分)已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:…,求{bn}的前n項(xiàng)和.22.(10分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)排除,,利用極限思想進(jìn)行排除即可.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,恒成立,排除,,?dāng)時,,當(dāng),,排除,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷,利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當(dāng)時,,由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當(dāng)時,,則不滿足題意;當(dāng)時,當(dāng)時,,沒有整數(shù)解當(dāng)時,,至少有兩個整數(shù)解綜上,實(shí)數(shù)的最大值為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.3、A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.4、B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.5、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時,直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為,圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°,底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為:.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.7、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗(yàn)計算,屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.10、B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得,即可得到,再求出,最后根據(jù)求出的最大值;【詳解】解:因?yàn)椋砸驗(yàn)樗?,即,,時故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用,余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.12、C【解析】

若對任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時,取得最大值,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、52【解析】

設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為,

,故答案為,52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識解決問題的能力,屬于中檔題.14、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長寬高分別為的長方體,體對角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個頂點(diǎn)在一個長方體上,該長方體的長寬高分別為,長方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長方體的體對角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過補(bǔ)體得到長方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.15、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得,依次寫出,,,,累加可得,再由得,代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有,從而,,,,將以上式子累加得.由得.令,有.故答案為:2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進(jìn)而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當(dāng)最小時,最小,設(shè)點(diǎn),則,所以當(dāng)時,,則,當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時,,此時,因?yàn)殡S著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)通過討論的范圍,分為,,三種情形,分別求出不等式的解集即可;(2)通過分離參數(shù)思想問題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出最值即可得到的范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,原不等式等價于,解得,所以,當(dāng)時,原不等式等價于,解得,所以此時不等式無解,當(dāng)時,原不等式等價于,解得,所以綜上所述,不等式解集為.(2)由,得,當(dāng)時,恒成立,所以;當(dāng)時,.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即或時,等號成立,所以;綜上的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查絕對值不等式的性質(zhì)以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn),,又平面,平面,所以平面(II)因?yàn)榱庑蜛BCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因?yàn)槠矫?,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.19、(1),(2)側(cè)面積取得最大值時,等腰三角形的腰的長度為【解析】試題分析:(1)由條件,,,所以S,;(2)令,所以得,通過求導(dǎo)分析,得在時取得極大值,也是最大值.試題解析:(1)設(shè)交于點(diǎn),過作,垂足為,在中,,,在中,,所以S,(2)要使側(cè)面積最大,由(1)得:令,所以得,由得:當(dāng)時,,當(dāng)時,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以在時取得極大值,也是最大值;所以當(dāng)時,側(cè)面積取得最大值,此時等腰三角形的腰長答:側(cè)面積取得最大值時,等腰三角形的腰的長度為.20、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長度為.……………14分21、(I);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)等

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