第四章 全等三角形 模型 專題講義 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第頁(yè)全等三角形模型1.平移模型把△ABC沿著某一條直線平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線.常見(jiàn)模型：【例1】如圖,點(diǎn)B,E,C,F在一條直線上,AB//DE,AC//DF,BE=CF.試說(shuō)明:△ABC≌△DEF.【變式1-1】如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，連接AD，AC、DE交于點(diǎn)O．下列結(jié)論一定正確的是（）∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=DF D．AC、DE互相平分【變式1-2】如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB=CD，BC=DE．(1)求證：；【變式1-3】如圖，點(diǎn)D，A，E，B在同一直線上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.試說(shuō)明：∠F＝∠C.【變式1-4】如圖,EC//FB，EC=FB,其中點(diǎn)A,B,C,D在一條直線上.請(qǐng)給題目添上一組條件,使得△ACE≌△DBF,并說(shuō)明理由. 【變式1-5】如圖，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．(1)求證：△AFB≌△CFD；(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．2.軸對(duì)稱模型將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.常見(jiàn)模型：【例2】如圖,已知CE,BD分別是等腰△ABC中AB,AC邊上的中線,判斷CE,BD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【變式2-1】閱讀材料，并回答下列問(wèn)題如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180°，可以變換到△ABD的位置；如圖2，把△ABC沿射線AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個(gè)三角形是另一個(gè)三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．班里學(xué)習(xí)小組針對(duì)三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論（1）請(qǐng)你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），．（2）如圖2，前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC＝5，則DC＝．（3）如圖3，圓夢(mèng)小組展開(kāi)了探索活動(dòng)，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，且得出一個(gè)結(jié)論：2∠A′＝∠1+∠2．請(qǐng)你對(duì)這個(gè)結(jié)論給出證明．（4）如圖4，奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A′的位置，此時(shí)∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明．【變式2-2】如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=12【變式2-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在邊AB，邊BC上，連接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求證：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度數(shù)．3.旋轉(zhuǎn)模型將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件.常見(jiàn)模型:【例3】如圖,AB//CD，AB=CD,AD,BC相交于點(diǎn)0,BE//CF,BE,CF分別交AD于點(diǎn)E,F.試說(shuō)明:(1)△AB0≌△DC0;(2)BE=CF【變式3-1】如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時(shí)點(diǎn)G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式3-2】如圖,已知AE=AC,∠C=LE,下列條件中,無(wú)法判定△ABC≌△ADE的是() A.∠B=∠D B.BC=DE C.∠1=∠2 D.AB=AD【變式3-3】將兩個(gè)三角形紙板△ABC和△DBE按如圖所示的方式擺放，連接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．

(1)試說(shuō)明△ABC≌(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度數(shù)．4.一線三等角模型（“K”）基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，【同側(cè)】條件：B,E,C三點(diǎn)共線，【異側(cè)】條件：B,E,C三點(diǎn)共線，【例4】如圖,已知C是線段AB上一點(diǎn),∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.（1）說(shuō)明△ACD與△BEC全等的理由.（2）說(shuō)明AB=AD+BE的理由.【變式4-1】（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【變式4-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【變式4-3】通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：BC=AE．[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_(kāi)____________．【變式4-4】（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫出此題答案：（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF5.倍長(zhǎng)中線模型中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．常見(jiàn)模型:【例5】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法，他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED?△CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：(1)小明證明△BED?△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：AB=AC．【變式5-1】如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),若AC=3,AD=4,則AB的長(zhǎng)不可能是（）.A.5 B.7 C.8 D.9【變式5-2】如圖,在△ABC中,點(diǎn)0為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn),ONLOM交AC于點(diǎn)N,試說(shuō)明:BM+CN>MN.【變式5-3】如圖,AD是△ABC的中線,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,CE=AB,∠BAC=LBCA.試說(shuō)明:AE=2AD.6.截長(zhǎng)補(bǔ)短模型截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程,截長(zhǎng)補(bǔ)短法(往往需證2次全等)。模型圖示：截長(zhǎng):在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE(2)補(bǔ)短:將短線段延長(zhǎng),證與長(zhǎng)線段相等?！纠?】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且.試說(shuō)明:EF=AE+CF.【變式6-1】如圖,已知四邊形ABCD中,AD//BC,若DAB的平分線AE交CD于E，連接BE,且BE恰好平分∠ABC,則AB的長(zhǎng)與AD+BC長(zhǎng)度的大小關(guān)系是 () A.AB>AD+BC B.AB<AD+BC C.AB=AD+BC D.無(wú)法確定 【變式6-2】如圖,在△ABC中,ABC=60°,△ABC的角平分線AD,CE交于點(diǎn)0.求證:AC=AE+CD.【變式6-3】如圖,把兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊重合，∠CAD=∠CBD=90°,組成一個(gè)四邊形ACBD,以D為頂點(diǎn)作∠MDN,交邊CA,BC的延長(zhǎng)線于M,N.當(dāng)∠ACD+∠MDN=90°時(shí),AM,MN,BN之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由。7.半角模型如圖：已知∠2=12∠AOB，【說(shuō)明】連接F′B，將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF【例7】如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是邊BC,CD上的點(diǎn),∠EAF=45°.求證:EF=DF+BE.【變式7-1】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，（3）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D